Тильтинго-котильтинговое соответствие
Дело было так: я начал думать про коалгебры осенью 1994 года, в связи с задачей про кошулевость в гипотезе Блоха-Като. Мы тогда с Сашей В. про это статью написали (но довести этот подход до доказательства гипотезы нам не удалось, ее потом Воеводский своим способом доказал и прославился этим). Никакой литературой по коалгебрам я не пользовался (или почти не пользовался), а переоткрывал для себя все сам. В результате терминология, связанная с коаугментационной фильтрацией, конильпотентностью и т.д., в моих текстах отличается от таковой в классических источниках.
Написав эту статью, я стал размышлять про мотивную интерпретацию кошулевости алгебры Милнора, и уже по возвращении из Бостона в Москву, где-то в начале 1995 года понял, что это связано с глупыми фильтрациями на триангулированной категории тейтовских мотивов. Лето 1995 года я провел за изучением понятия точной категории (тоже не по текстам, а самостоятельно), и, вернувшись в Гарвард аспирантом, где-то, наверное, с весны 1996 начал думать о том, как обобщить результат про глупые фильтрации и кошулевость с тейтовских на артин-тейтовские мотивы. Задачу эту мне поставили, насколько мне помнится, как Бейлинсон, так и Воеводский независимо.
Заменить тейтовские мотивы на артин-тейтовские в моих вычислениях -- значило заменить коалгебру над полем на кокольцо над неполупростым, некоммутативным кольцом. Хуже того, кокольцо это не является даже плоским модулем над своим кольцом. Много месяцев в 1996 году я провел, пытаясь пробить лбом стенку вопроса о вычислении Ext-ов в точной категории A-проективных комодулей над неплоским кокольцом C над кольцом A. Стандартным в этом контексте термином "кокольцо" я тогда не пользовался, почерпнув его из литературы намного позже, где-то во второй половине 00-х годов, видимо; в 90-х же я говорил сам с собой об этом как-то по-другому.
Так или иначе, стенку эту мне пробить не удалось. Ext-ы такие я вычислять не умею до сих пор, а задачу про глупые фильтрации на категории артин-тейтовских мотивов и кошулевость я решил только в феврале-марте 2010 года, насколько помнится. Там действительно фигурируют неплоские кокольца (хотя роль их и менее важна, чем в подходе, который я пытался реализовать в 1996 году), и дается некоторый ответ на вопрос, что такое кошулевость градуированного кольца, неплоского над своей нулевой компонентой. Общий вывод, сделанный мною из этих попыток, состоял, все же, в том, что неплоскими кокольцами пользоваться более-менее невозможно.
Совершенно отдельно от всего вышеописанного, где-то, кажется, в 1995 году Б. Фейгин поставил на своем семинаре для нас, тогдашних аспирантов НМУ, задачу определить полубесконечные когомологии ассоциативных алгебр. Первые работы на эту тему написал Сережа А. Позже появился препринт Ромы Б., где предлагался другой подход.
Летом 2000 года мы собрались втроем (Сережа, Рома и я) в одной из аудиторий в НМУ и стали обсуждать это. Совместным решением было поручить мне "демистифицировать" конструкцию алгебры A^# из Сережиных работ. Вскоре я написал серию из четырех писем к Сереже и Роме под общим сабджектом "demystifying A^#". Еще через два года, в конце лета 2002, я написал еще два письма, подлиннее. (Собственно, вот они, эти письма, с позднейшими добавлениями -- https://positselski.livejournal.com/314.html .)
Главная идея этих писем состояла в том, что "полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур" -- это гомологическая алгебра в модульных категориях над объектом, двойственным к кокольцу. Кокольцо -- это как бы коалгебра над алгеброй, а тут нужна алгебра над коалгеброй. Где-то года с 2006 я начал называть такую структуру "полуалгеброй".
Та же проблема, с которой я раньше столкнулся, занимаясь кокольцами, имеет место и для полуалгебр: разумную теорию можно построить только в предположении, что кокольцо плоско над своим кольцом, а полуалгебра инъективна над своей коалгеброй. На мое счастье, все полуалгебры, возникавшие у меня в контексте полубесконечной гомологической алгебры, удовлетворяли этому условию.
Весной 2006 года я вернулся к этим своим письмам. В конце октября 2006 меня осенила светлая идея писать об этом текст в намного большей общности, чем та, в которой были написаны письма: вместо полуалгебры над коалгеброй над полем, работать с полуалгеброй над кокольцом над некоммутативным кольцом. Тогда же, осенью 2006 года, я обнаружил, что, по сразу нескольким, на вид независимым, причинам, в этой теории лучше предполагать базовое кольцо -- нижний этаж этой трехэтажной конструкции -- имеющим конечную гомологическую размерность.
Первоначальной мотивацией к рассмотрению полуалгебр над кокольцами стало желание построить теорию, включающую в себя, наряду с представлениями бесконечномерных алгебр Ли и т.д., и совсем другие объекты -- квазикогерентные пучки над неаффинными схемами и стэками, и их некоммутативные аналоги. Впоследствии из моих размышлений на эти темы вырастет теория контрагерентных копучков.
Я начал писать черновик, потом, где-то с февраля 2007, собственно то, что сначала мыслилось, как статья, но потом оказалось размером с книгу. Вышедшая из печати в сентябре 2010 года, монография эта до сих пор остается сингулярно, с большим отрывом наиболее содержательным источником не только по полубесконечной гомологической алгебре, но и по гомологической алгебре модульных категорий над кокольцами и полуалгебрами.
Главным результатом этой книжки поначалу, видимо, считалась теорема сравнения классических полубесконечных гомологий бесконечномерных алгебр Ли с "моими" полубесконечными гомологиями соответствующих (полу)ассоциативных полуалгебр. Теорема эта как бы означала, что моя теория решает ту задачу, которую она призвана решать. Со временем, однако, в качестве главного результата я стал обычно упоминать эквивалентность полупроизводных категорий абелевых категорий О и О-контра, с подходящим образом сдвинутым центральным зарядом, для бесконечномерной алгебры Ли. (Оба эти результата -- совместные с Сережей А.)
Эта эквивалентность экзотических производных категорий, в полной общности произвольных коколец и полуалгебр, стала называться комодульно-контрамодульным или полумодульно-полуконтрамодульным соответствием. Разные варианты и разновидности его, от ковариантной двойственности Серра-Гротендика, до эквивалентностей между как обычными производными, так и ко- и контрапроизводными категориями квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков, и до MGM-двойственности, обсуждались в длинной серии последующих моих работ.
В 2012-14 годах в Москве я размышлял над задачей построения теории контрагерентных копучков контрамодулей над формальными схемами и инд-схемами. Одной из ключевых технических проблем, возникавших в этой связи, было доказательство полноты и конкретное описание плоских и очень плоских теорий кокручения в категориях контрамодулей над коммутативными топологическими кольцами. Несколько ad hoc конструкций, доказывавших полноту таких теорий кокручения, появились в аппендиксах к очередным версиям препринта про контрагерентные копучки, обнародованным в марте 2013 и феврале 2014 годов.
В сентябре-октябре 2015 года я был с двухмесячным визитом в Брно, за которым последовал, в ноябре-декабре, двухмесячный визит в Прагу. Где-то в начале октября проводился традиционный совместный воркшоп математиков из Брно и Праги в одном из небольших населенных пунктов примерно на полпути между этими двумя главными городами Чехии. В 2014-2017 годах я поучаствовал в нескольких таких воркшопах. Конкретно в октябре 2015, в замке, принадлежащем чешской академии наук в городке Тжешть, я рассказал про эти свои конструкции полных теорий кокручения в категориях контрамодулей.
Йиржи Р., у которого я был визитором в Брно, вскоре написал мне несколько небольших е-мейлов со ссылками на литературу и соображениями о том, как распространить с категорий модулей над кольцами и категорий Гротендика на произвольные локально представимые абелевы категории стандартные общие результаты о полноте теорий кокручения и существовании покрытий. На протяжении последующих недель в Брно мы обсуждали это. Он начал писать статью, которую я дописал к концу декабря в Праге, и мы вывесили ее в Архив. Во введении к этой статье обсуждалось место категорий контрамодулей, как локально представимых абелевых категорий с достаточным количеством проективных объектов, в общем контексте теории категорий.
В январе 2016 года в Хайфе я получил е-мейл от Яна Ш. из Праги, адресованный Йиржи Р. и мне. В нем рассказывалось, что Ян прочитал введение к нашей статье и заметил, что локально представимые абелевые категории с проективной образующей играют важную роль в том, что называется infinite (или infinitely generated) tilting theory. Я размышлял об этих вопросах на протяжении последующих месяцев в Хайфе, но был отвлечен другими делами (рецензирование и проч.) и полноценно заняться этим вопросом смог только в конце мая, после того, как закончил написание двух препринтов про контрамодули в коммутативной алгебре (навеянных общением в Праге осенью 2015 года).
В июне 2016 года произошел концептуальный прорыв, вскоре отлившийся в два довольно сырых текста, над совершенствованием которых Ян много работал в последующие почти полтора года (сперва в переписке со мной, а потом и сам, особенно, когда я тоже был в Праге, так что мы могли это обсуждать). В октябре-ноябре 2017 года революция свершилась -- два наших препринта на эту тему были обнародованы на Архиве.
С современной точки зрения, сложившейся в результате этой революции, комодульно-контрамодульное/полумодульно-полуконтрамодульное соответствие -- это, с одной стороны, не более, чем частный случай -- а с другой стороны, важный, многое проясняющий частный случай -- того, что мы называем теперь тильтинго-котильтинговым соответствием. Последнее представляет собой (хотя и не покрывающую все известные случаи, но) в целом очень общую и очень естественную формулировку бесконечно порожденной, гомологически бесконечномерной тильтинговой теории.
Таким образом, бесконечномерные алгебры Ли типа Вирасоро и Каца-Муди, модули Верма, категории О и О-контра -- более общим образом, комодули и контрамодули, полумодули и полуконтрамодули -- и, с другой стороны, классический тильтинг конечной гомологической размерности, конечномерных представлений конечномерных алгебр -- все это теперь частные случаи одной теории. Сформулированной на языке абелевых категорий достаточно общего вида, их резольвентных и корезольвентных точных подкатегорий, экзотических производных категорий и t-структур производного типа.
В каких контекстах окажутся важными эти разработки? Важны ли они для теории представлений? Или для гомологической алгебры колец и модулей? Или для каких-то алгебро-геометрических или арифметических приложений? Ничего этого мы пока не знаем.
Написав эту статью, я стал размышлять про мотивную интерпретацию кошулевости алгебры Милнора, и уже по возвращении из Бостона в Москву, где-то в начале 1995 года понял, что это связано с глупыми фильтрациями на триангулированной категории тейтовских мотивов. Лето 1995 года я провел за изучением понятия точной категории (тоже не по текстам, а самостоятельно), и, вернувшись в Гарвард аспирантом, где-то, наверное, с весны 1996 начал думать о том, как обобщить результат про глупые фильтрации и кошулевость с тейтовских на артин-тейтовские мотивы. Задачу эту мне поставили, насколько мне помнится, как Бейлинсон, так и Воеводский независимо.
Заменить тейтовские мотивы на артин-тейтовские в моих вычислениях -- значило заменить коалгебру над полем на кокольцо над неполупростым, некоммутативным кольцом. Хуже того, кокольцо это не является даже плоским модулем над своим кольцом. Много месяцев в 1996 году я провел, пытаясь пробить лбом стенку вопроса о вычислении Ext-ов в точной категории A-проективных комодулей над неплоским кокольцом C над кольцом A. Стандартным в этом контексте термином "кокольцо" я тогда не пользовался, почерпнув его из литературы намного позже, где-то во второй половине 00-х годов, видимо; в 90-х же я говорил сам с собой об этом как-то по-другому.
Так или иначе, стенку эту мне пробить не удалось. Ext-ы такие я вычислять не умею до сих пор, а задачу про глупые фильтрации на категории артин-тейтовских мотивов и кошулевость я решил только в феврале-марте 2010 года, насколько помнится. Там действительно фигурируют неплоские кокольца (хотя роль их и менее важна, чем в подходе, который я пытался реализовать в 1996 году), и дается некоторый ответ на вопрос, что такое кошулевость градуированного кольца, неплоского над своей нулевой компонентой. Общий вывод, сделанный мною из этих попыток, состоял, все же, в том, что неплоскими кокольцами пользоваться более-менее невозможно.
Совершенно отдельно от всего вышеописанного, где-то, кажется, в 1995 году Б. Фейгин поставил на своем семинаре для нас, тогдашних аспирантов НМУ, задачу определить полубесконечные когомологии ассоциативных алгебр. Первые работы на эту тему написал Сережа А. Позже появился препринт Ромы Б., где предлагался другой подход.
Летом 2000 года мы собрались втроем (Сережа, Рома и я) в одной из аудиторий в НМУ и стали обсуждать это. Совместным решением было поручить мне "демистифицировать" конструкцию алгебры A^# из Сережиных работ. Вскоре я написал серию из четырех писем к Сереже и Роме под общим сабджектом "demystifying A^#". Еще через два года, в конце лета 2002, я написал еще два письма, подлиннее. (Собственно, вот они, эти письма, с позднейшими добавлениями -- https://positselski.livejournal.com/314.html .)
Главная идея этих писем состояла в том, что "полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур" -- это гомологическая алгебра в модульных категориях над объектом, двойственным к кокольцу. Кокольцо -- это как бы коалгебра над алгеброй, а тут нужна алгебра над коалгеброй. Где-то года с 2006 я начал называть такую структуру "полуалгеброй".
Та же проблема, с которой я раньше столкнулся, занимаясь кокольцами, имеет место и для полуалгебр: разумную теорию можно построить только в предположении, что кокольцо плоско над своим кольцом, а полуалгебра инъективна над своей коалгеброй. На мое счастье, все полуалгебры, возникавшие у меня в контексте полубесконечной гомологической алгебры, удовлетворяли этому условию.
Весной 2006 года я вернулся к этим своим письмам. В конце октября 2006 меня осенила светлая идея писать об этом текст в намного большей общности, чем та, в которой были написаны письма: вместо полуалгебры над коалгеброй над полем, работать с полуалгеброй над кокольцом над некоммутативным кольцом. Тогда же, осенью 2006 года, я обнаружил, что, по сразу нескольким, на вид независимым, причинам, в этой теории лучше предполагать базовое кольцо -- нижний этаж этой трехэтажной конструкции -- имеющим конечную гомологическую размерность.
Первоначальной мотивацией к рассмотрению полуалгебр над кокольцами стало желание построить теорию, включающую в себя, наряду с представлениями бесконечномерных алгебр Ли и т.д., и совсем другие объекты -- квазикогерентные пучки над неаффинными схемами и стэками, и их некоммутативные аналоги. Впоследствии из моих размышлений на эти темы вырастет теория контрагерентных копучков.
Я начал писать черновик, потом, где-то с февраля 2007, собственно то, что сначала мыслилось, как статья, но потом оказалось размером с книгу. Вышедшая из печати в сентябре 2010 года, монография эта до сих пор остается сингулярно, с большим отрывом наиболее содержательным источником не только по полубесконечной гомологической алгебре, но и по гомологической алгебре модульных категорий над кокольцами и полуалгебрами.
Главным результатом этой книжки поначалу, видимо, считалась теорема сравнения классических полубесконечных гомологий бесконечномерных алгебр Ли с "моими" полубесконечными гомологиями соответствующих (полу)ассоциативных полуалгебр. Теорема эта как бы означала, что моя теория решает ту задачу, которую она призвана решать. Со временем, однако, в качестве главного результата я стал обычно упоминать эквивалентность полупроизводных категорий абелевых категорий О и О-контра, с подходящим образом сдвинутым центральным зарядом, для бесконечномерной алгебры Ли. (Оба эти результата -- совместные с Сережей А.)
Эта эквивалентность экзотических производных категорий, в полной общности произвольных коколец и полуалгебр, стала называться комодульно-контрамодульным или полумодульно-полуконтрамодульным соответствием. Разные варианты и разновидности его, от ковариантной двойственности Серра-Гротендика, до эквивалентностей между как обычными производными, так и ко- и контрапроизводными категориями квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков, и до MGM-двойственности, обсуждались в длинной серии последующих моих работ.
В 2012-14 годах в Москве я размышлял над задачей построения теории контрагерентных копучков контрамодулей над формальными схемами и инд-схемами. Одной из ключевых технических проблем, возникавших в этой связи, было доказательство полноты и конкретное описание плоских и очень плоских теорий кокручения в категориях контрамодулей над коммутативными топологическими кольцами. Несколько ad hoc конструкций, доказывавших полноту таких теорий кокручения, появились в аппендиксах к очередным версиям препринта про контрагерентные копучки, обнародованным в марте 2013 и феврале 2014 годов.
В сентябре-октябре 2015 года я был с двухмесячным визитом в Брно, за которым последовал, в ноябре-декабре, двухмесячный визит в Прагу. Где-то в начале октября проводился традиционный совместный воркшоп математиков из Брно и Праги в одном из небольших населенных пунктов примерно на полпути между этими двумя главными городами Чехии. В 2014-2017 годах я поучаствовал в нескольких таких воркшопах. Конкретно в октябре 2015, в замке, принадлежащем чешской академии наук в городке Тжешть, я рассказал про эти свои конструкции полных теорий кокручения в категориях контрамодулей.
Йиржи Р., у которого я был визитором в Брно, вскоре написал мне несколько небольших е-мейлов со ссылками на литературу и соображениями о том, как распространить с категорий модулей над кольцами и категорий Гротендика на произвольные локально представимые абелевы категории стандартные общие результаты о полноте теорий кокручения и существовании покрытий. На протяжении последующих недель в Брно мы обсуждали это. Он начал писать статью, которую я дописал к концу декабря в Праге, и мы вывесили ее в Архив. Во введении к этой статье обсуждалось место категорий контрамодулей, как локально представимых абелевых категорий с достаточным количеством проективных объектов, в общем контексте теории категорий.
В январе 2016 года в Хайфе я получил е-мейл от Яна Ш. из Праги, адресованный Йиржи Р. и мне. В нем рассказывалось, что Ян прочитал введение к нашей статье и заметил, что локально представимые абелевые категории с проективной образующей играют важную роль в том, что называется infinite (или infinitely generated) tilting theory. Я размышлял об этих вопросах на протяжении последующих месяцев в Хайфе, но был отвлечен другими делами (рецензирование и проч.) и полноценно заняться этим вопросом смог только в конце мая, после того, как закончил написание двух препринтов про контрамодули в коммутативной алгебре (навеянных общением в Праге осенью 2015 года).
В июне 2016 года произошел концептуальный прорыв, вскоре отлившийся в два довольно сырых текста, над совершенствованием которых Ян много работал в последующие почти полтора года (сперва в переписке со мной, а потом и сам, особенно, когда я тоже был в Праге, так что мы могли это обсуждать). В октябре-ноябре 2017 года революция свершилась -- два наших препринта на эту тему были обнародованы на Архиве.
С современной точки зрения, сложившейся в результате этой революции, комодульно-контрамодульное/полумодульно-полуконтрамодульное соответствие -- это, с одной стороны, не более, чем частный случай -- а с другой стороны, важный, многое проясняющий частный случай -- того, что мы называем теперь тильтинго-котильтинговым соответствием. Последнее представляет собой (хотя и не покрывающую все известные случаи, но) в целом очень общую и очень естественную формулировку бесконечно порожденной, гомологически бесконечномерной тильтинговой теории.
Таким образом, бесконечномерные алгебры Ли типа Вирасоро и Каца-Муди, модули Верма, категории О и О-контра -- более общим образом, комодули и контрамодули, полумодули и полуконтрамодули -- и, с другой стороны, классический тильтинг конечной гомологической размерности, конечномерных представлений конечномерных алгебр -- все это теперь частные случаи одной теории. Сформулированной на языке абелевых категорий достаточно общего вида, их резольвентных и корезольвентных точных подкатегорий, экзотических производных категорий и t-структур производного типа.
В каких контекстах окажутся важными эти разработки? Важны ли они для теории представлений? Или для гомологической алгебры колец и модулей? Или для каких-то алгебро-геометрических или арифметических приложений? Ничего этого мы пока не знаем.