Матан 1 (про теорему о среднем и теорему о мин/макс на замкнутом интервале)
Есть у нас классический матан.1. И средне-слабые студенты, не из каких-то там мат.школ. И вот непрерывные функции, и две теоремы из subj. Обычный подход:
1. Любое число между f(a), f(b) достигается как значение функции. [Потом примеры/следствия, док-во]
2. Функция [a,b]->R достигает мин/макс. [Потом примеры/следствия, док-во]
------------
А почему-бы не сказать так: "Образ функции [a,b]->R есть замкнутый интервал" ?
А потом всякие следствия (включая эти две теоремы). А потом доказательство.
Мне это нравится потому-что "вот есть главная теорема, из неё всё сразу следует" вместо "есть такая теорема, а ещё такая, а ещё вот такая".
Возможное возражение: "Эти две теоремы отражают совершенно разные свойства, да как вы смеете это смешивать? У студентов каша в голове будет."
Мой ответ: средне-слабым студентам первого семестра связность и компактность совершенно параллельны. [К тому-же в одномерии вообще всё плохо различимо.] Вот как дойдут до функций R^n->.., так и будем различать.
Так почему бы их не обьединить???
И это тему будем называть не "Некоторые свойства непрерывных функций", а "Теорема об образе".
------------------
* Стандартная студ.проблема: в некоем курсе есть 100500 теорем, как их всех запомнить? Даже если студент старательный, к концу семестра у него распухает голова от материала. И уже непонятно где тут дедушка, а где бабушка. И вот у нас есть неделя подготовки к экзамену. ААААА!
* Кстати, во многих книгах сначала даётся теорема "Если f(a)*f(b)<0, то у функции есть ноль." А потом теорема n+1: "Любое число между f(a), f(b) достигается". Повбывав бы!
* Предположим это Матан.1 не для математиков а для физиков/электронщиков. (Обе теоремы в силлабусе.) Тогда ваша реакия другая?
1. Любое число между f(a), f(b) достигается как значение функции. [Потом примеры/следствия, док-во]
2. Функция [a,b]->R достигает мин/макс. [Потом примеры/следствия, док-во]
------------
А почему-бы не сказать так: "Образ функции [a,b]->R есть замкнутый интервал" ?
А потом всякие следствия (включая эти две теоремы). А потом доказательство.
Мне это нравится потому-что "вот есть главная теорема, из неё всё сразу следует" вместо "есть такая теорема, а ещё такая, а ещё вот такая".
Возможное возражение: "Эти две теоремы отражают совершенно разные свойства, да как вы смеете это смешивать? У студентов каша в голове будет."
Мой ответ: средне-слабым студентам первого семестра связность и компактность совершенно параллельны. [К тому-же в одномерии вообще всё плохо различимо.] Вот как дойдут до функций R^n->.., так и будем различать.
Так почему бы их не обьединить???
И это тему будем называть не "Некоторые свойства непрерывных функций", а "Теорема об образе".
------------------
* Стандартная студ.проблема: в некоем курсе есть 100500 теорем, как их всех запомнить? Даже если студент старательный, к концу семестра у него распухает голова от материала. И уже непонятно где тут дедушка, а где бабушка. И вот у нас есть неделя подготовки к экзамену. ААААА!
* Кстати, во многих книгах сначала даётся теорема "Если f(a)*f(b)<0, то у функции есть ноль." А потом теорема n+1: "Любое число между f(a), f(b) достигается". Повбывав бы!
* Предположим это Матан.1 не для математиков а для физиков/электронщиков. (Обе теоремы в силлабусе.) Тогда ваша реакия другая?