Занимательная математика

[rainy_]

Вспомните себя, ну какому школьнику интересно почему какой-то там блок перевешивает какой-то там груз или почему какой-то треугольник подобен другому. Зачастую задаешь себе вопрос - ну зечем мне всё это надо, эти уравнения парабол или формула кинетической энергии... А мне в голову иногда приходят жизненные задачи, где поневоле приходится вспоминать

Comments

[shadow_of_venom]

Если коридор одинаковой ширины, то максимальная длина балки равна гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника. :)

[rainy_]

если ты имеешь в виду треугольник, катеты которого - ширины коридоров, то конечно нет! Нарисуй хотя бы мысленно эту гипотенузу, очевидно, что балка может быть длиннее. Даже нарисованную мной балку можно пронести, а на явно больше предложенной тобой гипотенузы.

И нет, предположим, ширина коридоров разная.

[timyr_lan]

Максимальная длинна фигни равна сумме ширины обоих коридоров, помноженной на корень из 2х.

примерно 1.4*(a+b)

[rainy_]

а откуда корень из 2х?

[integral_lebega]

Поиграл пока в случай, когда ширины коридоров одинаковые (a). Там всё более-менее несложно:

1) сначала показываем, что если есть способ протащить палку - то наверняка есть точно такой же способ протащить палку, прижав её концами к краям коридора. (Если завести систему координат, так, что х - координата одной вершины, а у - координата второй вершины, из прямоугольного треугольника y=sqrt(L^2-x^2) (L - длина палки), если концы палки прижаты к стенкам, то получаем, что

для любой траектории концов (a(t)+x,0), (0,b(t)+y), где a(t)>=0, b(t)>=0 и каждая точка палки внутри коридора (т.е. для каждого А от 0 до 1 включительно либо A*(a(t)+x)<=a, либо (1-A)*(b(t)+y)<=a), верно, что траектория (x,0),(0,y) также является такой, для которой каждая точка лежит внутри коридора, т.е. для любого A либо A*x<=a, либо (1-A)*y<=a. Это очевидно, т.к. A*a(t)>=0, (1-A)*b(t)>=0.

Теперь нам достаточно искать только траектории, которые концами елозят по краям коридоров. Это, кстати, совершенно также обобщается на случай разной ширины коридоров.

[integral_lebega]

2) В каждой такой траектории и в каждый момент этой траектории, очевидно, существует точка на нашей палке, которая имеет одинаковые x и y координаты (прямые y=x и y=b-k*x, k>0, b>0, пересекаются в точке x=y=b/(k+1)). Кроме того, поскольку в начальный момент это один конец (0, 0*y(t_нач)), а в конечный момент - другой конец ((1-1)*x(t_кон),0), то по непрерывности для каждого С от 0 до 1 найдётся точка (С*х(t), (1-С)*y(t)) в какой-то момент движения t, такая, что эти координаты равны. (Функция С(t) в начале 0, в конце 1 и в процессе движения непрерывна - значит, принимает на этом отрезке все значения). Итак, для любого С от о до 1 найдётся d такое, что:

С*x=d
(1-C)*sqrt(L^2-x^2)=d

Выражаем из верхнего уравнения х, а из нижнего L. Получаем

L=d * sqrt(2C^2-2C+1) / (C*(1-C)).

Исходя из того, что в нашей траектории все точки внутри коридора, т.е. d<=a, получаем

L<=a * sqrt(2C^2-2C+1) / (C*(1-C

[integral_lebega]

3) осталось показать, что при L=a*2*sqrt(2) существует возможность пронести палку. Если палка меньше - совмещаем её нижний конец с концом нижеуказанной траектории, палку кладём параллельно и тащим точно так же.

Ясно, что если тащить палку так, чтобы она касалась боковых стен, то начало и конец палки у нас всё время в коридоре.

Опять же, воспользуемся тем, что в пути для любого момента времени существуют С и d такие, что

С*x=d
(1-C)*sqrt(L^2-x^2)=d

3.1) Если d=0, то мы в одном из крайних положений и палка в коридоре.
3.2) Если 0a, то x>a/C; (выделенный случай С=0 и С=1 я не рассматриваю - я уже сказал, что концы в коридоре, поэтому смело делю на C и 1-C