Сила Магнуса
Сначала видео для прояснения темы. Можно смотреть с 55 секунды.
Что происходит - автор ролика кидает с дамбы Гордон в Тасмании два баскетбольных мяча. Первый мяч просто отпускает, он падает почти вертикально вниз и судя по звуку разбивается о дамбу. Второй мяч он при броске подкручивает. Мяч падает вниз, начинает планировать и пролетев 70 м по горизонтали благополучно падает в озеро. Мяч планирует под действием эффекта Магнуса. Сила Магнуса отталкивает летящие по воздуху и вращающиеся предметы под прямым углом к направлению их движения (строго говоря, под прямым углом к потоку воздуха). Т.е. воздух не только тормозит мяч за счет аэродинамического сопротивления, но и отклоняет его траекторию вперед.
Если попытаться записать это математически - на мяч действуют три силы:
Сила тяжести, равная m*g, направлена вертикально вниз. (m - масса мяча, g - ускорение свободного падения)
Сила сопротивления воздуха, равная 0.5*C_d*A*rho*v^2, толкает мяч назад по траектории движения. Т.е. если бы он падал строго вниз, она бы действовала вверх, а поскольку в видео он планирует под углом, сопротивление воздуха будет толкать его вверх и назад. Здесь C_d - коэффицент аэродинамического сопротивления, А - площадь поперечного сечения мяча, rho - плотность тасманийского воздуха на высоте дамбы, v - скорость мяча.
Сила Магнуса, равная 0.5*C_l*A*rho*v^2 - это самое интересное - действует под прямым углом к траектории и оси вращения. В начале, когда мяч падает вниз, она толкает его вперед. В конце траектории, когда мяч планирует, она направлена вверх и вперед. Формула очень похожа на силу сопротивления воздуха, но есть нюанс: C_l - коэффициент силы Магнуса, сильно отличается от C_d: он больше при высокой скорости вращения мяча и меньше при большой скорости падения.
В общем, если записать как мяч падает и летит вперед, получатся два дифференциальных уравнения - одно для падения (y) и одно для полета вперед (x):
y" = -g + (0.5*C_l*rho*A*x'*vel-0.5*C_d*rho*A*y'*vel)/m
x" = (-0.5*C_l*rho*A*y'*vel - 0.5*C_d*rho*A*x'*vel)/m
x и y - расстояние от дамбы по горизонтали и высота, соответственно x', y', x" и y" - скорость и ускорение полета по горизонтали и вертикали, vel - абсолютная величина скорости, квадратный корень суммы (x')^2 + (y')^2. Плотность воздуха я принял равной 95% от уровня моря, т.к. дело происходит на высоте 400 м. Массу и поперечное сечение взял для 7 размера баскетбольного мяча, он весит 623 г, а диаметр 23.9 см дает площадь 0.045 м^2. Не буду утомлять подробностями решения, я проинтегрировал эту систему численно в Маткаде и получил вот такой график.
На графике мяч падает с высоты 140 м до уровня озера (0 м) и пролетает ~68 м по горизонтали. Падение происходит примерно через 7.6 секунды после броска. Скорость в момент падения 30 м/с, из них примерно 24 м/с по вертикали и 18 м/с по горизонтали. Я рассчитал для C_l для скорости вращения мяча в 8 оборотов в секунду. Если бы мяч не крутился, то долетел бы за 6.8 секунды, скорость при падении была бы около 32 м/с. С другой стороны, если закрутить его побыстрее, скажем до 20 оборотов, мяч бы летел больше 20 секунд, улетел на 260 м и опустился на воду почти вдвое медленнее. А при 50 оборотах в секунду мячик бы делал горки и планировал как бумажный самолетик почти 5 минут, за которые улетел бы больше чем на километр.
Вот такая вот физика.
Click to viewЧто происходит - автор ролика кидает с дамбы Гордон в Тасмании два баскетбольных мяча. Первый мяч просто отпускает, он падает почти вертикально вниз и судя по звуку разбивается о дамбу. Второй мяч он при броске подкручивает. Мяч падает вниз, начинает планировать и пролетев 70 м по горизонтали благополучно падает в озеро. Мяч планирует под действием эффекта Магнуса. Сила Магнуса отталкивает летящие по воздуху и вращающиеся предметы под прямым углом к направлению их движения (строго говоря, под прямым углом к потоку воздуха). Т.е. воздух не только тормозит мяч за счет аэродинамического сопротивления, но и отклоняет его траекторию вперед.
Если попытаться записать это математически - на мяч действуют три силы:
Сила тяжести, равная m*g, направлена вертикально вниз. (m - масса мяча, g - ускорение свободного падения)
Сила сопротивления воздуха, равная 0.5*C_d*A*rho*v^2, толкает мяч назад по траектории движения. Т.е. если бы он падал строго вниз, она бы действовала вверх, а поскольку в видео он планирует под углом, сопротивление воздуха будет толкать его вверх и назад. Здесь C_d - коэффицент аэродинамического сопротивления, А - площадь поперечного сечения мяча, rho - плотность тасманийского воздуха на высоте дамбы, v - скорость мяча.
Сила Магнуса, равная 0.5*C_l*A*rho*v^2 - это самое интересное - действует под прямым углом к траектории и оси вращения. В начале, когда мяч падает вниз, она толкает его вперед. В конце траектории, когда мяч планирует, она направлена вверх и вперед. Формула очень похожа на силу сопротивления воздуха, но есть нюанс: C_l - коэффициент силы Магнуса, сильно отличается от C_d: он больше при высокой скорости вращения мяча и меньше при большой скорости падения.
В общем, если записать как мяч падает и летит вперед, получатся два дифференциальных уравнения - одно для падения (y) и одно для полета вперед (x):
y" = -g + (0.5*C_l*rho*A*x'*vel-0.5*C_d*rho*A*y'*vel)/m
x" = (-0.5*C_l*rho*A*y'*vel - 0.5*C_d*rho*A*x'*vel)/m
x и y - расстояние от дамбы по горизонтали и высота, соответственно x', y', x" и y" - скорость и ускорение полета по горизонтали и вертикали, vel - абсолютная величина скорости, квадратный корень суммы (x')^2 + (y')^2. Плотность воздуха я принял равной 95% от уровня моря, т.к. дело происходит на высоте 400 м. Массу и поперечное сечение взял для 7 размера баскетбольного мяча, он весит 623 г, а диаметр 23.9 см дает площадь 0.045 м^2. Не буду утомлять подробностями решения, я проинтегрировал эту систему численно в Маткаде и получил вот такой график.
На графике мяч падает с высоты 140 м до уровня озера (0 м) и пролетает ~68 м по горизонтали. Падение происходит примерно через 7.6 секунды после броска. Скорость в момент падения 30 м/с, из них примерно 24 м/с по вертикали и 18 м/с по горизонтали. Я рассчитал для C_l для скорости вращения мяча в 8 оборотов в секунду. Если бы мяч не крутился, то долетел бы за 6.8 секунды, скорость при падении была бы около 32 м/с. С другой стороны, если закрутить его побыстрее, скажем до 20 оборотов, мяч бы летел больше 20 секунд, улетел на 260 м и опустился на воду почти вдвое медленнее. А при 50 оборотах в секунду мячик бы делал горки и планировал как бумажный самолетик почти 5 минут, за которые улетел бы больше чем на километр.
Вот такая вот физика.