Об определениях аменабельности групп
В моей записи о парадоксе Банаха -- Тарского был затронут вопрос о (не)аменабельных группах. По просьбе одного из юзеров я решил сделать небольшой обзор наиболее популярных определений аменабельности. Их существует не менее десятка; все они эквивалентны. Доказательство эквивалентности далеко не всегда простое. Но сами определения во всей их совокупности очень важны в том смысле, что одни из них срабатывают легко в одних ситуациях, а другие -- в совершенно других. Сейчас я постараюсь перечислить несколько наиболее важных определений.
1) Существование инвариантной меры. Это определение в каком-то смысле можно считать основным. Группа G называется (право)аменабельной, если на ней можно задать конечно-аддитивную вероятностную правоинвариантную меру такую, что все подмножества оказываются измеримыми.
Эквивалентное определение получится, если право- заменить на лево-, а также если потребовать инвариантности и справа, и слева.
2) Существование инвариантного среднего. Рассматривается пространство ограниченных функций на G, и на нём вводится функционал, ставящий в соответствие каждой такой функции её "среднее значение" на G. Оно должно удовлетворять нескольким естественным условиям и быть также инвариантным относительно "сдвигов" графиков функций.
Существует прямая связь между 1) и 2). Если есть мера на группе, то среднее значение функции задаётся просто как интеграл Лебега от неё по G. Обратно, если есть "среднее", то мерой подмножества назовём среднее значение его индикаторной функции.
Взаимодействие между 1) и 2) также важно для демонстрации перехода от односторонней инвариантности к двусторонней.
Замечание. Свойство аменабельности локально, т.е. группа аменабельна тогда и только тогда, когда все её конечно-порождённые подгруппы аменабельны. Поэтому далее будем для удобства считать, что группа G конечно-порождена.
3) Критерий аменабельности Фёлнера. Пусть G порождена конечным множеством A. Существует такая система подмножеств в G, что среди них имеются множества со сколь угодно малой границей по отношению к числу элементов самого множества.
Имеется по крайней мере 4 естественных способа определить границу множества для системы (G,A), т.е. фактически для графа Кэли группы. Например, точку x множества X можно объявить граничной, если при умножении справа на хотя бы один из порождающих или ему обратный получается элемент, не принадлежащий X.
Вот типичный пример. Возьмём целочисленную решётку. Это граф Кэли прямого произведения ZxZ с двумя порождающими. Пусть X_n -- это множество точек квадрата [-n,n]x[-n,n]. Очевидно, что в X_n всего порядка n^2 точек, а граничных точек -- лишь порядка n. Поскольку n=o(n^2) при n \to \infty, получаем систему множеств Фёлнера. Это доказывает аменабельность группы.
Данное определение не зависит от выбора конечной системы порождающих.
4) Критерий "удвоения" Громова. Здесь речь пойдёт о критерии неаменабельности. Это и есть та самая "финансовая пирамида". Пусть (G,A) означает то же, что и выше. Группа неаменабельна тогда и только тогда, когда существует такое отображение f из G в G такое, что a) все точки из G смещаются в графе Кэли под действием f на ограниченное расстояние; б) любой элемент из G имеет ровно два прообраза относительно f (вариант: не менее двух прообразов).
Можно дать такую иллюстрацию. В каждой точке графа Кэли сидит блоха. Блохи умеют прыгать только на ограниченное расстояние. Допустим, что мы сумели организовать прыжки так, что после одновременного совершения прыжков в каждой вершине оказалось не менее двух блох (т.е. всё как бы удвоилось). Это в точности означает, что группа неаменабельна.
То же самое можно трактовать как "финансовую пирамиду". Персонаж из вершины g платит доллар персонажу из f(g); при этом все обогащаются как минимум на доллар.
Определение не зависит от системы порождающих. Правда, для разных систем дальность полёта блох может быть разной. Важно, чтобы она была ограниченной по всем элементам группы.
Можно расширить систему так, чтобы дальность полёта не превосходила 1. Тогда в "пирамиде" каждый будет платить или соседу, или сам себе.
5) Критерий Кестена. Это довольно важный критерий. Мы имеем систему (G,A). Пусть A состоит из m элементов. Рассмотрим все пути длиной n в графе Кэли, стартующие в единице. Очевидно, их всего (2m)^n. Некоторые из них возвращаются "домой", т.е. в единицу. Обозначим их число через p_n. Вопрос в том, насколько быстро растёт p_n. Извлечём корень n-ой степени из p_n и рассмотрим верхний предел. Он не превосходит 2m. Оказывается, аменабельность группы в точности означает, что этот верхний предел принимает максимально возможное значение, т.е. 2m. То есть, грубо говоря, в графе Кэли много петель данной длины, т.е. много соотношений между образующими.
От выбора системы образующих определение также не зависит.
Есть ещё интересное определение в терминах потоков на графе Кэли, в терминах групповых колец и много других.
1) Существование инвариантной меры. Это определение в каком-то смысле можно считать основным. Группа G называется (право)аменабельной, если на ней можно задать конечно-аддитивную вероятностную правоинвариантную меру такую, что все подмножества оказываются измеримыми.
Эквивалентное определение получится, если право- заменить на лево-, а также если потребовать инвариантности и справа, и слева.
2) Существование инвариантного среднего. Рассматривается пространство ограниченных функций на G, и на нём вводится функционал, ставящий в соответствие каждой такой функции её "среднее значение" на G. Оно должно удовлетворять нескольким естественным условиям и быть также инвариантным относительно "сдвигов" графиков функций.
Существует прямая связь между 1) и 2). Если есть мера на группе, то среднее значение функции задаётся просто как интеграл Лебега от неё по G. Обратно, если есть "среднее", то мерой подмножества назовём среднее значение его индикаторной функции.
Взаимодействие между 1) и 2) также важно для демонстрации перехода от односторонней инвариантности к двусторонней.
Замечание. Свойство аменабельности локально, т.е. группа аменабельна тогда и только тогда, когда все её конечно-порождённые подгруппы аменабельны. Поэтому далее будем для удобства считать, что группа G конечно-порождена.
3) Критерий аменабельности Фёлнера. Пусть G порождена конечным множеством A. Существует такая система подмножеств в G, что среди них имеются множества со сколь угодно малой границей по отношению к числу элементов самого множества.
Имеется по крайней мере 4 естественных способа определить границу множества для системы (G,A), т.е. фактически для графа Кэли группы. Например, точку x множества X можно объявить граничной, если при умножении справа на хотя бы один из порождающих или ему обратный получается элемент, не принадлежащий X.
Вот типичный пример. Возьмём целочисленную решётку. Это граф Кэли прямого произведения ZxZ с двумя порождающими. Пусть X_n -- это множество точек квадрата [-n,n]x[-n,n]. Очевидно, что в X_n всего порядка n^2 точек, а граничных точек -- лишь порядка n. Поскольку n=o(n^2) при n \to \infty, получаем систему множеств Фёлнера. Это доказывает аменабельность группы.
Данное определение не зависит от выбора конечной системы порождающих.
4) Критерий "удвоения" Громова. Здесь речь пойдёт о критерии неаменабельности. Это и есть та самая "финансовая пирамида". Пусть (G,A) означает то же, что и выше. Группа неаменабельна тогда и только тогда, когда существует такое отображение f из G в G такое, что a) все точки из G смещаются в графе Кэли под действием f на ограниченное расстояние; б) любой элемент из G имеет ровно два прообраза относительно f (вариант: не менее двух прообразов).
Можно дать такую иллюстрацию. В каждой точке графа Кэли сидит блоха. Блохи умеют прыгать только на ограниченное расстояние. Допустим, что мы сумели организовать прыжки так, что после одновременного совершения прыжков в каждой вершине оказалось не менее двух блох (т.е. всё как бы удвоилось). Это в точности означает, что группа неаменабельна.
То же самое можно трактовать как "финансовую пирамиду". Персонаж из вершины g платит доллар персонажу из f(g); при этом все обогащаются как минимум на доллар.
Определение не зависит от системы порождающих. Правда, для разных систем дальность полёта блох может быть разной. Важно, чтобы она была ограниченной по всем элементам группы.
Можно расширить систему так, чтобы дальность полёта не превосходила 1. Тогда в "пирамиде" каждый будет платить или соседу, или сам себе.
5) Критерий Кестена. Это довольно важный критерий. Мы имеем систему (G,A). Пусть A состоит из m элементов. Рассмотрим все пути длиной n в графе Кэли, стартующие в единице. Очевидно, их всего (2m)^n. Некоторые из них возвращаются "домой", т.е. в единицу. Обозначим их число через p_n. Вопрос в том, насколько быстро растёт p_n. Извлечём корень n-ой степени из p_n и рассмотрим верхний предел. Он не превосходит 2m. Оказывается, аменабельность группы в точности означает, что этот верхний предел принимает максимально возможное значение, т.е. 2m. То есть, грубо говоря, в графе Кэли много петель данной длины, т.е. много соотношений между образующими.
От выбора системы образующих определение также не зависит.
Есть ещё интересное определение в терминах потоков на графе Кэли, в терминах групповых колец и много других.