(Untitled)

[66george]

Кажется, дурацкий ляп в последней главке (нашёл только что один программист). Я помню, что без аксиомы выбора можно добиться, чтобы все множества действительных чисел были измеримы по Лебегу. Поскольку я лет тридцать не вычислял интегралы, я сделал логический вывод, что у каждой функции тогда будет определённый интеграл на отрезке. Но не сообразил

Comments

[rus4]

У неотрицательной (измеримой, но мы во вселенной где все функции измеримы) функции интеграл всегда есть, но иногда равен бесконечности. У знакопеременной бывает что совсем не интеграла (интегралы от положительной и отрицательной части оба равны бесконечности, и их не вычесть).

[66george]

Спасибо! Будем поправлять.

А может, просто доопределить обычный интеграл равным нулю, если его нет или равен бесконечности? Без всяких разговоров об аксиоме выбора? Нужен оператор, связывающий переменную и принимающий в качестве значения действительное число.

[rus4]

Обычно от интеграла хоть что-то ещё (например, линейность относительно функции)

[66george]

В данном случае неважно! Мы не вычисляем эти интегралы, мы подстановку учимся вычислять. Объясню, что это кривой, но простой пример (оператора, связывающего переменную).

[french_man]

Ну возьмите N, натуральные числа, и на нем «мощность» в качестве меры. Все множества измеримы, и все функции N->R тоже. Но не все они интегрируемые, и я не вижу никакой возможности определить интеграл для всех функций, даже если разрешить +-∞

[66george]

Ладно, просто дооопределю интеграл равным нулю там, где его нет. Мы всё равно не вычисляем эти интегралы, мы подстановку учимся вычислять. Скажу, что это кривой, но простой пример (оператора, связывающего переменную).

[french_man]

Я бы так делать не стал, но дело Ваше.

[66george]

Подумаю ещё. У меня вся глава на примере интегралов построена. Их можно итерировать (двойной интеграл, тройной и т.д.), а меру на натуральных числах нельзя.