Целозначные многочлены
Многочлен с рациональными коэффициентами называется целозначным, если он вцелых точках принимает целые значения. Например, целозначным является многочлен x(x+1)/2.
Если известно, что степень многочлена не превосходит n, то для того, чтобы проверить многочлен f(x) на целозначность, достаточно проверить, что f принимает целые значения в n+1 последовательной целой точке (например, от 0 до n). Это легко проверить, например, по индукции, рассмотрев разностный многочлен f(x+1)-f(x), или воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа. Заметим, что n точек для проверки целозначности f недостаточно: эти точки могут оказаться корнями нашего многочлена, а старший коэффициент никак не проконтролировать.
То же определение целозначности можно дать в любой области целостности (коэффициенты многочлена лежат в поле частных). Рассмотрим например кольцо целых гауссовых чисел Z[i]. Там целозначным будет, например, многочлен f(z)=z(z+1)/(1+i), а z(z+1)/2 уже не будет. Вопрос: при каких n можно указать n+1 целую гауссову точку так, что многочлен, принимающий в этих точках целые гауссовы значения, принимает целые гауссовы значения во всех целых гауссовых точках? При n=1,2,3,5 такие "универсальные" наборы точек существуют (соотв. {0,1}, {0,1,i}, {0,1,i,1+i}, {0,1,2,i,i+1,i+2}). А при n=4 не бывает универсального набора из 5 точек.
Очень похоже на то, что при больших n универсальных наборов нет. Дело в том, что "естественные" наборы точек (например, точки круга |z|^2 < n/pi) содержат пары точек с разностью p, где p --- простое гауссово число нормы больше n. Такие наборы заведомо нецелозначные. Но доказать что-то не получается.
Если известно, что степень многочлена не превосходит n, то для того, чтобы проверить многочлен f(x) на целозначность, достаточно проверить, что f принимает целые значения в n+1 последовательной целой точке (например, от 0 до n). Это легко проверить, например, по индукции, рассмотрев разностный многочлен f(x+1)-f(x), или воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа. Заметим, что n точек для проверки целозначности f недостаточно: эти точки могут оказаться корнями нашего многочлена, а старший коэффициент никак не проконтролировать.
То же определение целозначности можно дать в любой области целостности (коэффициенты многочлена лежат в поле частных). Рассмотрим например кольцо целых гауссовых чисел Z[i]. Там целозначным будет, например, многочлен f(z)=z(z+1)/(1+i), а z(z+1)/2 уже не будет. Вопрос: при каких n можно указать n+1 целую гауссову точку так, что многочлен, принимающий в этих точках целые гауссовы значения, принимает целые гауссовы значения во всех целых гауссовых точках? При n=1,2,3,5 такие "универсальные" наборы точек существуют (соотв. {0,1}, {0,1,i}, {0,1,i,1+i}, {0,1,2,i,i+1,i+2}). А при n=4 не бывает универсального набора из 5 точек.
Очень похоже на то, что при больших n универсальных наборов нет. Дело в том, что "естественные" наборы точек (например, точки круга |z|^2 < n/pi) содержат пары точек с разностью p, где p --- простое гауссово число нормы больше n. Такие наборы заведомо нецелозначные. Но доказать что-то не получается.