Многомерная геометрия - или - свободы захотели?!
Часть 1, точная.
Неделю назад один хороший человек, не имеющий ЖЖ - а такие бывают - навел меня на утверждение: в многомерной геометрии очень многое происходит по-другому, нежели в маломерной. Маломерная - это размерность два, три, многомерная - десять и выше. Неделю я как-то крутил и обсуждал разные штучки, и вот теперь записываю. Нижеследующие утверждения довольно просто выводятся - но при этом они как-то там тренируют эту самую многомерную интуицию, тем мне и интересны.
Сколько нужно размерностей, чтобы утверждения "заработали" - вопрос диалектический. Но с ростом числа размерностей эффекты возрастают стремительнейшим домкратом, просто мама дорогая!... Итак.
- Начнем с довольно известного: в многомерном арбузе, даже если корка очень тонкая, масса/вес мякоти просто ничтожен по сравнению с весом корки.
- Немного сложнее: если в многомерном пространстве взять два случайных вектора - они будут почти всегда почти перпендикулярны. Подумав, многие задают вопрос: а что тут такое "случайный вектор"? Вопрос действительно существенный, отвечаю: это случайная точка равномерного распределения на многомерной (N-1) сфере.
- Из чего следует, что подавляющая часть треугольников на многомерной сфере - почти не отличаются от правильных треугольников, у которых дуги, соединяющие вершины, почти равны четвертушке окружности радиуса этой самой сферы. Тетраэдры - тоже почти правильные. И вообще, пока число вершин у симплекса существенно меньше N/2 - все оказывается правильным. (У Энгельса в Антидюринге прописано, и во всех хрестоматиях соотв. времени воспроизводилось следующее: возьмем две прямые, они как правило пересекаются - но стоит их слегка пошевелить - и они станут параллельными. Я ничего не путаю, Энгельс этот бред написал, а не я! Так вот, тут похожая фигура получается!)
- Ну, и воспользовавшись фактом про многомерный арбуз, получаем: большинство треугольников/тетраэдров/прочих маломерных симплексов в многомерном шаре - почти правильные, да еще и почти одинаковые. Эталонные!
Но что мы все про шар? Разве это типичный случай?
- Естественно, что масса многомерного куба - тоже сосредоточена около границы. Но у какой ее части? У ребер/граней - но какой размерности? Довольно легко убедиться, что около тех, у которых размерность около N/2.
- Ну, и очевидно (вернее, не пробовал, но все-таки очевидно), что в случае выпуклого гипермногогранника общего положения - будет та же свистопляска: тяжелыми будут ребра именно половинной размерности.
Часть 2, интерпретации и спекуляции.
Представим себе мир, в котором много измерений, степеней свободы. Десяток и больше. Кто-то спросит: куда нам из нашего трехмерия - но не спешите, нынешние социальные технологии уже позволяют иметь много степеней свободы, при чем уже невозможно выяснить, какая из них - многих, обществу ценнее. В-общем, аналогия вполне актуальна. И что же мы видим в таком замечательном свободном социуме?
Как истинно отметил самый выдающийся русский аналитик и политтехнолог Козьма Прутков, необъятное объять невозможно. Будем поэтому обнимать обнимаемое.
Замечаем: даже если много степеней свободы - по каждому направлению рано или поздно наступает упор, граница, дальше двигаться невозможно. То есть: мы нарисовали в нашем многомерии границы, что-то типа многогранника, и смотрим, что внутри.
Так вот, оказывается, что при сколь-нибудь равномерном распределении персонажей по многомерию - большинство из них с неизбежностью окажется не в центре, а именно на границе. Границы бывают разные, очень разные, но, однако, практически для все будет выполняться следующее свойство: примерно по половине размерностей персонажи могут свободно перемещаться, а вот по другой - нет, им будет сильно мешать граница. Вот такая вот свобода.
Теперь дальше. Абстрагируем политические пристрастия персонажа в таком обществе - до вектора. У одного персонажа один вектор, у другого - другой, у третьего - третий... Стоп! Но ведь они же ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ! То есть: если не собирать сразу много людей, то получится: всем на всех - даже при очень милом друг к другу отношении - НАПЛЕВАТЬ! Вот и попробуйте построить в таких условиях из этого материала хоть одну партию! Или даже циничнее: попробуйте найти своих политических противников! Прекрасное общество!
Ну, и напоследок. Похожую тривиальную модель можно приложить при желании и к нынешней политической раскладке в нашем дорогом государстве. Описать, так сказать, выросший из Вертикали Бирнамский лес. Ну, или вообще к любой анархии. Но только это уныло. И так всё в-общем-то понятно - кому это надо...
Неделю назад один хороший человек, не имеющий ЖЖ - а такие бывают - навел меня на утверждение: в многомерной геометрии очень многое происходит по-другому, нежели в маломерной. Маломерная - это размерность два, три, многомерная - десять и выше. Неделю я как-то крутил и обсуждал разные штучки, и вот теперь записываю. Нижеследующие утверждения довольно просто выводятся - но при этом они как-то там тренируют эту самую многомерную интуицию, тем мне и интересны.
Сколько нужно размерностей, чтобы утверждения "заработали" - вопрос диалектический. Но с ростом числа размерностей эффекты возрастают стремительнейшим домкратом, просто мама дорогая!... Итак.
- Начнем с довольно известного: в многомерном арбузе, даже если корка очень тонкая, масса/вес мякоти просто ничтожен по сравнению с весом корки.
- Немного сложнее: если в многомерном пространстве взять два случайных вектора - они будут почти всегда почти перпендикулярны. Подумав, многие задают вопрос: а что тут такое "случайный вектор"? Вопрос действительно существенный, отвечаю: это случайная точка равномерного распределения на многомерной (N-1) сфере.
- Из чего следует, что подавляющая часть треугольников на многомерной сфере - почти не отличаются от правильных треугольников, у которых дуги, соединяющие вершины, почти равны четвертушке окружности радиуса этой самой сферы. Тетраэдры - тоже почти правильные. И вообще, пока число вершин у симплекса существенно меньше N/2 - все оказывается правильным. (У Энгельса в Антидюринге прописано, и во всех хрестоматиях соотв. времени воспроизводилось следующее: возьмем две прямые, они как правило пересекаются - но стоит их слегка пошевелить - и они станут параллельными. Я ничего не путаю, Энгельс этот бред написал, а не я! Так вот, тут похожая фигура получается!)
- Ну, и воспользовавшись фактом про многомерный арбуз, получаем: большинство треугольников/тетраэдров/прочих маломерных симплексов в многомерном шаре - почти правильные, да еще и почти одинаковые. Эталонные!
Но что мы все про шар? Разве это типичный случай?
- Естественно, что масса многомерного куба - тоже сосредоточена около границы. Но у какой ее части? У ребер/граней - но какой размерности? Довольно легко убедиться, что около тех, у которых размерность около N/2.
- Ну, и очевидно (вернее, не пробовал, но все-таки очевидно), что в случае выпуклого гипермногогранника общего положения - будет та же свистопляска: тяжелыми будут ребра именно половинной размерности.
Часть 2, интерпретации и спекуляции.
Представим себе мир, в котором много измерений, степеней свободы. Десяток и больше. Кто-то спросит: куда нам из нашего трехмерия - но не спешите, нынешние социальные технологии уже позволяют иметь много степеней свободы, при чем уже невозможно выяснить, какая из них - многих, обществу ценнее. В-общем, аналогия вполне актуальна. И что же мы видим в таком замечательном свободном социуме?
Как истинно отметил самый выдающийся русский аналитик и политтехнолог Козьма Прутков, необъятное объять невозможно. Будем поэтому обнимать обнимаемое.
Замечаем: даже если много степеней свободы - по каждому направлению рано или поздно наступает упор, граница, дальше двигаться невозможно. То есть: мы нарисовали в нашем многомерии границы, что-то типа многогранника, и смотрим, что внутри.
Так вот, оказывается, что при сколь-нибудь равномерном распределении персонажей по многомерию - большинство из них с неизбежностью окажется не в центре, а именно на границе. Границы бывают разные, очень разные, но, однако, практически для все будет выполняться следующее свойство: примерно по половине размерностей персонажи могут свободно перемещаться, а вот по другой - нет, им будет сильно мешать граница. Вот такая вот свобода.
Теперь дальше. Абстрагируем политические пристрастия персонажа в таком обществе - до вектора. У одного персонажа один вектор, у другого - другой, у третьего - третий... Стоп! Но ведь они же ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ! То есть: если не собирать сразу много людей, то получится: всем на всех - даже при очень милом друг к другу отношении - НАПЛЕВАТЬ! Вот и попробуйте построить в таких условиях из этого материала хоть одну партию! Или даже циничнее: попробуйте найти своих политических противников! Прекрасное общество!
Ну, и напоследок. Похожую тривиальную модель можно приложить при желании и к нынешней политической раскладке в нашем дорогом государстве. Описать, так сказать, выросший из Вертикали Бирнамский лес. Ну, или вообще к любой анархии. Но только это уныло. И так всё в-общем-то понятно - кому это надо...