Ничего :) уже хоть что-то понятно с 8-9 и 53 вопросами, 4-5 совсем в общих чертах... Спасибо :) И еще: у нас куча задач по курсу.. все давать не буду, не волнуйтесь, но про некоторые спрошу: 1. Привести пример гладкого гомеоморфизма, не являющегося диффеоморфизмом.
Гомеоморфизм.burivykhJanuary 18 2005, 12:02:35 UTC
x -> x^3 на вещественной прямой. Гомеоморфизм, гладкий, но производная в точке x=0 обращается в 0, поэтому обратное отображение негладкое. А для диффеоморфизма нужно, чтобы гладкими были оба отображения, и вперед, и назад.
Тут тебе что то много всего умного по поводу второй задачи написали, но можно решить проще.
1. В частном случае когда n=2 а m=3 вообще просто - если выкинуть одну точку то R3 будет связно, а R2 - нет. Поэтому даже не гомеомеорфны. Но это так, к слову. Теперь :
2. Общий случай. Пусть существует диффеоморфизм f из Rn в Rm. У него есть обратный. Чтобы не париться с индексами обозначим его g.
Тогда e0 = f(g(Q)) - тождественное отображение для всех Q из Rm. e1 = g(f(P)) - тождественное отображение для всех P из Rn.
Тогда, так как матрица якоби композиции равна произведению матриц Якоби, то : de0 = df*dg = единичная матрица размера m de1 = dg*df = единичная матрица размера n
Для рангов отображений верно (так как rk(AB)<=min(rk(A), rk(B)) : m = rk(de0) <=min(m, n); n = rk(de1) <=min(m, n);
На самом деле, этот частный случай обобщается (вместо связности рассматривается т.н. n-связность), и (фактически) именно это обобщение описал Jedal выше :). В случае 2 и 3 пространство без точки односвязно, а плоскость без точки - нет.
Comments 31
Reply
Спасибо :)
И еще: у нас куча задач по курсу.. все давать не буду, не волнуйтесь, но про некоторые спрошу:
1. Привести пример гладкого гомеоморфизма, не являющегося диффеоморфизмом.
Reply
Reply
Reply
1. В частном случае когда n=2 а m=3 вообще просто - если выкинуть одну точку то R3 будет связно, а R2 - нет. Поэтому даже не гомеомеорфны. Но это так, к слову. Теперь :
2. Общий случай. Пусть существует диффеоморфизм f из Rn в Rm. У него есть обратный. Чтобы
не париться с индексами обозначим его g.
Тогда e0 = f(g(Q)) - тождественное отображение для всех Q из Rm.
e1 = g(f(P)) - тождественное отображение для всех P из Rn.
Тогда, так как матрица якоби композиции равна произведению матриц Якоби, то :
de0 = df*dg = единичная матрица размера m
de1 = dg*df = единичная матрица размера n
Для рангов отображений верно (так как rk(AB)<=min(rk(A), rk(B)) :
m = rk(de0) <=min(m, n);
n = rk(de1) <=min(m, n);
Поэтому m=n
Reply
Reply
В случае 2 и 3 пространство без точки односвязно, а плоскость без точки - нет.
Reply
ЗдОрово!
Reply
Leave a comment