Ниточки
АтОмную ось обсуждать не буду - увольте, а вот спин - отличная иллюстрация дефекта в рассуждениях Гельмгольца и Ли о движениях твердых тел и вытекающей из них геометрии, от которого отталкивался Пуанкаре; помянуть о нем уместно.
Если смотреть на движения твердых тел, их рассуждение справедливо. Привяжем теперь к телу резиновые ниточки, соединенные с неподвижной рамой и будем смотреть на ниточки. Повернем тело на 360 градусов. Ниточки запутаются. Повернем тело еще на 360 градусов. Ниточки распутаются.
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/physics/22.bmp
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/physics/23.bmp
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/physics/24.bmp
(картинки из Biedenharn & Louck, Angular Momentum in Quantum Physics).
Для запутывания важна не "твердость" тела, а его непроницаемость для ниточек. Можно показать (теорема Ньюмена), что минимальное количество ниточек, приводящих к запутыванию, равно трем. Конструкция показывает, что лишь поворот на 720 градусов гарантированно воссоздает систему, а поворот на 360 - не обязательно. В переводе на житейский язык, группа вращений пространства SO(3) допускает двойное покрытие группой SU(2). Это фундаментальное свойство групп; было бы удивительно, если бы оно не отражалось в физике. Есть отличная статья, в которой это объяснено по понятиям
...it is a magic trick which is not magic, but which reflects a fundamental yet little known property of the space in which we live. The analogy between the spinor spanner and the neutron suggests that the state of the latter depends not only on its position and momentum but on which of two topologically distinct ways it is tied to its surroundings. A full turn about an axis leaves its position and momentum unchanged but reverses its topological relation to the rest of the universe. https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/math/geometry/Spinor%20Spanner%201973.pdf
Cвойство менять фазу при вращении с необходимостью связано со свойством менять фазу при перестановке одинаковых тел. Свяжем их теми же резиновыми ниточками!
...if two things connected by lots of strings are interchanged, the strings are left twisted up exactly as if one particle had been rotated by 360 degrees. So the conclusion is that interchanging two particles is topologically indistinguishable from a rotation of one particle by 360 degrees - a particle which changes sign after a rotation will be antisymmetric with respect to pairwise interchange.
http://math.ucr.edu/home/baez/spin_stat.html
К элементарным частицам спин прямого отношения не имеет; описание спинорами требовали бы любые "жесткие" тела если бы - если бы что-то вело себя как резиновые ниточки. "Материальная точка" не всегда тождественна бесконечно малому телу: необходимо дополнительное указание, могут ли ниточки проходить через нее или нет. Дело за малым: за ниточками (если их не существует, беспокоиться не о чем).
Для этого квантовой механики мало, нужна квантовая теория поля. Но если ниточки все же есть, у "материальной точки" (бесконечно малого жесткого тела) должен быть спин, соответствующий вектору, "вмороженному" в это тело и задающего его ориентацию. Такой вектор может быть либо аксиальным (меняющим направление при изменении направления координатных осей), либо полярным (не меняющим). Если изменить все направления, ниточки запутаются, т.е. вектор полярный, и спин соответствует моменту. Не неведомый внутренний момент дает спин, а спиноры с необходимостью определяют момент.
Рассуждая таким образом, можно сообразить, что в плоском мире частицы могут иметь любой спин и любую статистику, потому что группа вращений плоскости абелева. Нет коммутаторов, которые надо квантовать, и ограничений на собственные значения не возникает. Не важно, существуют такие частицы на самом деле или нет - такая возможность прошита в группе трансформации "твердых тел" на плоскости точно так, как возможность целого и полуцелого спина прошита в такую же группу в пространстве.
Понять спин как раз просто - не как мистическое свойство, непонятно как и откуда берущееся, с еще более таинственными последствиями - а как естественный способ описания связанных резиновыми ниточками тел.
Трудно понять, откуда берутся ниточки, но это уже другая история.
Если смотреть на движения твердых тел, их рассуждение справедливо. Привяжем теперь к телу резиновые ниточки, соединенные с неподвижной рамой и будем смотреть на ниточки. Повернем тело на 360 градусов. Ниточки запутаются. Повернем тело еще на 360 градусов. Ниточки распутаются.
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/physics/22.bmp
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/physics/23.bmp
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/physics/24.bmp
(картинки из Biedenharn & Louck, Angular Momentum in Quantum Physics).
Для запутывания важна не "твердость" тела, а его непроницаемость для ниточек. Можно показать (теорема Ньюмена), что минимальное количество ниточек, приводящих к запутыванию, равно трем. Конструкция показывает, что лишь поворот на 720 градусов гарантированно воссоздает систему, а поворот на 360 - не обязательно. В переводе на житейский язык, группа вращений пространства SO(3) допускает двойное покрытие группой SU(2). Это фундаментальное свойство групп; было бы удивительно, если бы оно не отражалось в физике. Есть отличная статья, в которой это объяснено по понятиям
...it is a magic trick which is not magic, but which reflects a fundamental yet little known property of the space in which we live. The analogy between the spinor spanner and the neutron suggests that the state of the latter depends not only on its position and momentum but on which of two topologically distinct ways it is tied to its surroundings. A full turn about an axis leaves its position and momentum unchanged but reverses its topological relation to the rest of the universe. https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/math/geometry/Spinor%20Spanner%201973.pdf
Cвойство менять фазу при вращении с необходимостью связано со свойством менять фазу при перестановке одинаковых тел. Свяжем их теми же резиновыми ниточками!
...if two things connected by lots of strings are interchanged, the strings are left twisted up exactly as if one particle had been rotated by 360 degrees. So the conclusion is that interchanging two particles is topologically indistinguishable from a rotation of one particle by 360 degrees - a particle which changes sign after a rotation will be antisymmetric with respect to pairwise interchange.
http://math.ucr.edu/home/baez/spin_stat.html
К элементарным частицам спин прямого отношения не имеет; описание спинорами требовали бы любые "жесткие" тела если бы - если бы что-то вело себя как резиновые ниточки. "Материальная точка" не всегда тождественна бесконечно малому телу: необходимо дополнительное указание, могут ли ниточки проходить через нее или нет. Дело за малым: за ниточками (если их не существует, беспокоиться не о чем).
Для этого квантовой механики мало, нужна квантовая теория поля. Но если ниточки все же есть, у "материальной точки" (бесконечно малого жесткого тела) должен быть спин, соответствующий вектору, "вмороженному" в это тело и задающего его ориентацию. Такой вектор может быть либо аксиальным (меняющим направление при изменении направления координатных осей), либо полярным (не меняющим). Если изменить все направления, ниточки запутаются, т.е. вектор полярный, и спин соответствует моменту. Не неведомый внутренний момент дает спин, а спиноры с необходимостью определяют момент.
Рассуждая таким образом, можно сообразить, что в плоском мире частицы могут иметь любой спин и любую статистику, потому что группа вращений плоскости абелева. Нет коммутаторов, которые надо квантовать, и ограничений на собственные значения не возникает. Не важно, существуют такие частицы на самом деле или нет - такая возможность прошита в группе трансформации "твердых тел" на плоскости точно так, как возможность целого и полуцелого спина прошита в такую же группу в пространстве.
Понять спин как раз просто - не как мистическое свойство, непонятно как и откуда берущееся, с еще более таинственными последствиями - а как естественный способ описания связанных резиновыми ниточками тел.
Трудно понять, откуда берутся ниточки, но это уже другая история.