(no subject)
.
Тут задали вопрос, рассказать о чем-нибудь вкусненьком, чем я в настоящее время занимаюсь? Тут вкусненького на самом деле не так уж много, так как немалая часть - это работа с компаниями, а у них все строго - почти как в СССР со второй формой.
Тем не менее, могу пока сформулировать из вкусненького вот что.
1.Несколько лет назад я придумал некую систему, которая в буквальном смысле не позволяет незамеченной пролететь и мухе, в том числе, если эта муха находится практически где угодно территориально и летает на высоте хоть в один метр. И пофигу мороз и Стелл-технолоджи. Система абсолютно уникальна и предназначена, разумеется, не только для ловли мух. Кстати о мухах. С их помощью ( с помощью мух - но не только мух, конечно), система позволяет видеть, скажем, торнадо и "пылевые дьяволы", лесные пожары и даже измерять (без помощи мух) глубину не слишком глубокого зеркала подземных вод, дождь и, тем более, уровень воды при наводнениях по площадям. И все это на постоянной основе, в качестве бесплатного бонуса при решении основной задачи системы и даже без привлечения каких бы то ни было специальных источников энергии - то есть почти "даром". Подробнее писать не могу, далее начинаются ноу-хау. А поскольку в США и не только в США вор на воре сидит и им же погоняет, пока воздержусь от объяснений. Но некий процесс пошел. Сформирована, к примеру, команда и кое-что уже сделано. Вообще возможности систему поистине удивительны и обо всех опять же не могу пока не только рассказывать, но и намекать. Подождем пол-года - год. Прочитаете, надеюсь, в газетах. А не прочитаете, сам расскажу.
2. Еще одна моя система в работе - это прибор, позволяющий картировать диэлектрическую проницаемость неоднородных материалов в гигагерцовом диапазоне с разрешением в доли милиметра . Поясняю - достижимое разрешение в тысячи раз (!) меньше длины волны. Причем на глубине в том числе превышающей длину волны. То есть ничего общего с микроскопией ближнего поля. Опять кажется в такой формулировке чудом... Но ни фига - чистая физика.
3. Буквально с завтрашнего дня - вот тут можно подробнее, для тех кто понимает! - возвращаюсь к методу квантовомеханических расчетов, который я предложил еще в 1994 году, по которому была опубликована книжка в серии "Математика и механика", вместе с со своим другом и бывшим сотрудником Шуриком Локшиным и Асей Саакян.
Для тех, кто немного в курсе математики, идею могу раскрыть на детском уровне.
Хочется режить уравнение Шредингера. Вот такое:
Если потенциал достаточно сложен, например, рассматривается многоатомная молекула, даже численное решение этого уравнения крайне трудоемко. Часто задача сводится к определению основного состояния системы, что может быть сделано, например, с помощью некоей процедуры минимамизации:: волновая функция представляется в виде разложения по некоей "части" полной системе функций - чем больше "часть", тем точнее, - а потом находится минимизируется функционал следующего вида:
Поскольку для достижения мало-мальски приличной точности число коэффициентов по которым производится минимизация, должно быть велико (особенно с учетом и ядер, и электронов и исчисляется многими тысячами), процедура минимизация, сопряженная с обращением матриц, чудовищно грозмозка и расчеты даже сравнительно простых молеул крайне затруднительно даже после существенных упрощений задачи и, к примеру, переходу к так называемой теории функционала плотности, которая сводит задачу к одноэлектронной. Причем увеличение точности крайне дорого: трудоемкость пропорциональна КУБУ числа базисных функций.
Хотелось бы что-то более эффективное. Хорошо бы решать задачу метотом прямого расчета, когда никаких обращений матриц не требуется. В принципе, есть соблазнительный метод: метод неподвижной точки. Его смысл определяется теоремой Банаха. Если в Гильертовом пространстве есть ограниченный оператор с нормой меньше единицы, то у такого оператора существует (единственная) неподвижная точка, то есть элемент гильбертова пространства, не меняющийся при действии оператора :
На самом деле, чтоб обеспечить сходящуюся последовательно достаточно ограниченности оператора, так ка к:
Вот, казалось бы, какие проблемы? - Просто перепишем уравнение Шредингера так:
- И итерируй на здоровье! - Пытались в 80-е. В США.
Но хорошо не получается. Проблема в том, что кинетическая часть уравнения Шредингера содержит вторую производную. Итерировать надо до бесконечности. Это значит даже чисто формально, что начальная функция должна принадлежать как минимум пространству бесконечно дифференцируемых функций. Но хуже другое. Численное диффереренцирование неустойчиво по любому. В результате, результат начинает зависеть он выбранной начальной функции и если ответ заранее неизвестен, никакой уверенности, что приехал куда надо, нет, да и расходятся итерации только так.
Предложенная мною идея элементарна. Давайте модифицируем уравнение Щредингера следующим образом:
Где введен новый, "регуляризующий" оператор G . Очевидно, что если G не имеет общих собственных функций с гамильтонианом (то есть, не коммутирует с энергией! То это уравнение эквивалетно уравнению Шредингера. Тогда задача состоит в том, чтобы найти регулярный способ подбора оператора G, такого, что:
Так вот в книжке показано как это делать и в каком смысле. Еще один коллега, Пупышев реализовал алгоритм и показал, что он работает великолепно.
Тут есть один нюанс: на самом деле, сходится не в "аболютном" смысле, оно сжимающее на ортогональном подпростраве к собственной функции. И и вообще, есть всякие нюансы с вырожнными собственными числами ит.д. Но на то и книжка.
Так что еще нужно? Зачем возвращаться к пройденному? - А вот зачем. Запишем уранение чуть иначе:
Теперь G должен быть антисопряженным, Более того, он может быть генератором Группы Ли. И вообще, уравнение Шредингера самым естественным образом можно представить в виде:
при котором автоматически сохраняется норма, так как экспоненциальный оператор слева - унтиарный. Это значит, в частности что за условием нормировки пси-функции можно вообще не следить, что есть "хороший знак знак". И все это вместе открывет интересные перспективы для квантовой механики вообще и в частности.
В чем нюанс? Сегодня вся квантовая механика строится фактически как теория возмущений. Вся фейнмановская техника - это процедура суммирования рядов теории возмущений, начальным приближением которой являются "свободные", то есть невзаимодействующие поля. Это порождает проблемы: теория возмущений строится только если есть некий малый параметр, чтобы ряд сходился. Если с этим проблемы, приходится заниматься "перенормировкой" - то есть вместо свободых полей вводить некие суррогаты, взаимодействие которых слабо. Иногда, даже часто! - это удается. И жто гениально. Но... Но весьма криво и не всегда.
Если бы удалось в квантовой механике отказаться от теории возмущений в принципе и заменить ее итерационным подходом, особенно с унитарными операторами, это изменило бы ситуацию качественно!. В частности сам вид последней процедуры указывает смысл происходящего: просто в результате итераций - то есть "длинного действия":
ВЫЖИВАЕТ ТОЛЬКО ТО СОСТОЯНИЕ, НАКОПЛЕННАЯ ФАЗА КОТОРОГО РАВНА НУЛЮ . Тут есть прямая аналогия с обычной оптикой и/или с фейнманновскими интегралами...
Так вот я и собираюсь посмотреть, как далеко можно по этому пути пройти... Если есть кого сие может заинтересовать практически, велком.
Тут задали вопрос, рассказать о чем-нибудь вкусненьком, чем я в настоящее время занимаюсь? Тут вкусненького на самом деле не так уж много, так как немалая часть - это работа с компаниями, а у них все строго - почти как в СССР со второй формой.
Тем не менее, могу пока сформулировать из вкусненького вот что.
1.Несколько лет назад я придумал некую систему, которая в буквальном смысле не позволяет незамеченной пролететь и мухе, в том числе, если эта муха находится практически где угодно территориально и летает на высоте хоть в один метр. И пофигу мороз и Стелл-технолоджи. Система абсолютно уникальна и предназначена, разумеется, не только для ловли мух. Кстати о мухах. С их помощью ( с помощью мух - но не только мух, конечно), система позволяет видеть, скажем, торнадо и "пылевые дьяволы", лесные пожары и даже измерять (без помощи мух) глубину не слишком глубокого зеркала подземных вод, дождь и, тем более, уровень воды при наводнениях по площадям. И все это на постоянной основе, в качестве бесплатного бонуса при решении основной задачи системы и даже без привлечения каких бы то ни было специальных источников энергии - то есть почти "даром". Подробнее писать не могу, далее начинаются ноу-хау. А поскольку в США и не только в США вор на воре сидит и им же погоняет, пока воздержусь от объяснений. Но некий процесс пошел. Сформирована, к примеру, команда и кое-что уже сделано. Вообще возможности систему поистине удивительны и обо всех опять же не могу пока не только рассказывать, но и намекать. Подождем пол-года - год. Прочитаете, надеюсь, в газетах. А не прочитаете, сам расскажу.
2. Еще одна моя система в работе - это прибор, позволяющий картировать диэлектрическую проницаемость неоднородных материалов в гигагерцовом диапазоне с разрешением в доли милиметра . Поясняю - достижимое разрешение в тысячи раз (!) меньше длины волны. Причем на глубине в том числе превышающей длину волны. То есть ничего общего с микроскопией ближнего поля. Опять кажется в такой формулировке чудом... Но ни фига - чистая физика.
3. Буквально с завтрашнего дня - вот тут можно подробнее, для тех кто понимает! - возвращаюсь к методу квантовомеханических расчетов, который я предложил еще в 1994 году, по которому была опубликована книжка в серии "Математика и механика", вместе с со своим другом и бывшим сотрудником Шуриком Локшиным и Асей Саакян.
Для тех, кто немного в курсе математики, идею могу раскрыть на детском уровне.
Хочется режить уравнение Шредингера. Вот такое:
Если потенциал достаточно сложен, например, рассматривается многоатомная молекула, даже численное решение этого уравнения крайне трудоемко. Часто задача сводится к определению основного состояния системы, что может быть сделано, например, с помощью некоей процедуры минимамизации:: волновая функция представляется в виде разложения по некоей "части" полной системе функций - чем больше "часть", тем точнее, - а потом находится минимизируется функционал следующего вида:
Поскольку для достижения мало-мальски приличной точности число коэффициентов по которым производится минимизация, должно быть велико (особенно с учетом и ядер, и электронов и исчисляется многими тысячами), процедура минимизация, сопряженная с обращением матриц, чудовищно грозмозка и расчеты даже сравнительно простых молеул крайне затруднительно даже после существенных упрощений задачи и, к примеру, переходу к так называемой теории функционала плотности, которая сводит задачу к одноэлектронной. Причем увеличение точности крайне дорого: трудоемкость пропорциональна КУБУ числа базисных функций.
Хотелось бы что-то более эффективное. Хорошо бы решать задачу метотом прямого расчета, когда никаких обращений матриц не требуется. В принципе, есть соблазнительный метод: метод неподвижной точки. Его смысл определяется теоремой Банаха. Если в Гильертовом пространстве есть ограниченный оператор с нормой меньше единицы, то у такого оператора существует (единственная) неподвижная точка, то есть элемент гильбертова пространства, не меняющийся при действии оператора :
На самом деле, чтоб обеспечить сходящуюся последовательно достаточно ограниченности оператора, так ка к:
Вот, казалось бы, какие проблемы? - Просто перепишем уравнение Шредингера так:
- И итерируй на здоровье! - Пытались в 80-е. В США.
Но хорошо не получается. Проблема в том, что кинетическая часть уравнения Шредингера содержит вторую производную. Итерировать надо до бесконечности. Это значит даже чисто формально, что начальная функция должна принадлежать как минимум пространству бесконечно дифференцируемых функций. Но хуже другое. Численное диффереренцирование неустойчиво по любому. В результате, результат начинает зависеть он выбранной начальной функции и если ответ заранее неизвестен, никакой уверенности, что приехал куда надо, нет, да и расходятся итерации только так.
Предложенная мною идея элементарна. Давайте модифицируем уравнение Щредингера следующим образом:
Где введен новый, "регуляризующий" оператор G . Очевидно, что если G не имеет общих собственных функций с гамильтонианом (то есть, не коммутирует с энергией! То это уравнение эквивалетно уравнению Шредингера. Тогда задача состоит в том, чтобы найти регулярный способ подбора оператора G, такого, что:
Так вот в книжке показано как это делать и в каком смысле. Еще один коллега, Пупышев реализовал алгоритм и показал, что он работает великолепно.
Тут есть один нюанс: на самом деле, сходится не в "аболютном" смысле, оно сжимающее на ортогональном подпростраве к собственной функции. И и вообще, есть всякие нюансы с вырожнными собственными числами ит.д. Но на то и книжка.
Так что еще нужно? Зачем возвращаться к пройденному? - А вот зачем. Запишем уранение чуть иначе:
Теперь G должен быть антисопряженным, Более того, он может быть генератором Группы Ли. И вообще, уравнение Шредингера самым естественным образом можно представить в виде:
при котором автоматически сохраняется норма, так как экспоненциальный оператор слева - унтиарный. Это значит, в частности что за условием нормировки пси-функции можно вообще не следить, что есть "хороший знак знак". И все это вместе открывет интересные перспективы для квантовой механики вообще и в частности.
В чем нюанс? Сегодня вся квантовая механика строится фактически как теория возмущений. Вся фейнмановская техника - это процедура суммирования рядов теории возмущений, начальным приближением которой являются "свободные", то есть невзаимодействующие поля. Это порождает проблемы: теория возмущений строится только если есть некий малый параметр, чтобы ряд сходился. Если с этим проблемы, приходится заниматься "перенормировкой" - то есть вместо свободых полей вводить некие суррогаты, взаимодействие которых слабо. Иногда, даже часто! - это удается. И жто гениально. Но... Но весьма криво и не всегда.
Если бы удалось в квантовой механике отказаться от теории возмущений в принципе и заменить ее итерационным подходом, особенно с унитарными операторами, это изменило бы ситуацию качественно!. В частности сам вид последней процедуры указывает смысл происходящего: просто в результате итераций - то есть "длинного действия":
ВЫЖИВАЕТ ТОЛЬКО ТО СОСТОЯНИЕ, НАКОПЛЕННАЯ ФАЗА КОТОРОГО РАВНА НУЛЮ . Тут есть прямая аналогия с обычной оптикой и/или с фейнманновскими интегралами...
Так вот я и собираюсь посмотреть, как далеко можно по этому пути пройти... Если есть кого сие может заинтересовать практически, велком.