(Untitled)

[starcos]

Я, конечно, давно учился и могу что-то забыть. Или в теории познания с тех пор могли произойти какие-то изменения. Нет, я полностью согласен, что вопрос истинности аксиом (и их выбор в качестве аксиом) выходит за рамки аксиоматической теории как таковой. Но с каких пор это отменяет обоснование истинности аксиом вообще? Разумеется можно объявить их

Comments

Основные требования предъявляемые к системе аксиом

[mouse_haos]

Не всякую совокупность предложений данной теории можно принять за систему аксиом. Они должны удовлетворять следующим требованиям:

1. непротиворечивость или совместность (если в этой теории невозможно доказать какое-нибудь предложение А и его отрицание);
2. независимость (ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена из остальных аксиом как теорема);
3. полнота (любые её две модели изоморфны).

источник: http://geom.kgsu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=20&Itemid=0

Re: Основные требования предъявляемые к системе аксиом

[starcos]

Угу, все верно, хотя по третьему пункту мне нравится более развернутое определение - система аксиом тогда считается полной, когда невозможно введение еще одной аксиомы без превращения одной из предыдущей в теорему или следствие.
Но разговор о другом. В рамках аксиоматики мы можем, конечно, объявить аксиомой любое допущение, хоть "крокодилы умеют летать". Но при этом применима эта теория только в случае истинности аксиом, то есть в некоей условной реальности, где они действительно умеют летать. То есть в рамках нашей объективной реальности данная теория не будет иметь применения. А теории, не имеющие применения, имеют нулевую ценность и наукой не рассматриваются. Во всяком случае так считалось раньше. Я что-то пропустил?

Re: Основные требования предъявляемые к системе аксиом

[speshuric]

Я, если честно, не смог сходу понять, является ли "полнота" из этого источника (изоморфность моделей) "полнотой", принятой в матлогике (доказуемость всех истинных высказываний), но если так, то тогда "ой". Теореме Гёделя о неполноте уже 80 лет :)

Re: Основные требования предъявляемые к системе аксиом

[starcos]

Эээ... Аксиомы вообще недоказуемы. По крайней мере в рамках теории. Если они доказуемы - то они по определению следствия или теоремы. Я тоже немного не уловил "изоморфность", но насколько я помню система аксиом тогда считается полной, когда добавление любой дополнительной аксиомы превращает одну из предыдущих в следствие или теорему. Т.е. увеличить колиство аксиом в полной системе невозможно. И вообще аксиматизация теории позволяет свести валидацию всех утверждений теории к валидации только аксиом. Не?