Интересно, на сколько частей можно рассечь многоугольник одной прямой?

[staskikotx]

Видимо, на сколь угодно много, как показывает название этого журнала.

А верно ли, что если многоугольник можно рассечь на n частей, то его можно рассечь
на любое число от 2 до n частей?

А что любой многоугольник можно рассечь на 2 части?

Comments

[sagraedo]

любой правильный многоугольник можно одной прямой рассечь на две части
неправильный - на две или более частей

[chyyr]

На 2 - любой (запихнем его, к примеру, внутрь круга так, чтобы хотя бы один угол лежал на окружности. Чуть-чуть сдвинем касательную - voi·là)

От n до 2... Вроде бы да. Пусть С - круг, содержащим многоугольник
Пусть E - множество таких точек из дополнения к С, из которых можно провести прямую, делящую на n частей. Это множество открытое, непустое, следовательго mesE>0

"Плохим множеством" П назовем объединение всех прямых, проходящих через какие-нибудь две вершины многоугольника. Очевидно, mes П=0.

Теперь берем любую точку из E\П, проводим через нее прямую и начинаем поворачивать. На 1 часть и на n частей будет делить по построению, а на все промежуточные будет делить потому, что при прохождении через какую-нибудь вершину количество частей либо не изменится, либо уменьшится/увеличится на 1.

(Здесь предполагалось, что больше чем на n разделить нельзя)

[chyyr]

А вот интересно, что с произвольной ограниченной областью? Если граница кусочно-гладкая - вроде, принципиально ничего не меняется. А если (сразу возьмем худший случай) недифференцируема в каждой точке? Даже непонятно, будет ли можно на 2 части разделить...

[chyyr]

Черт...
Только что представил недифференцируемую в каждой точке расческу.
Поплохело.

[arymanuz]

Тут вопрос. Считаем ли мы, например, здесь:

/\ /\ /\
/ \ / \ / \
/\ / \ / \ / \
A____ / \/ \/ \/ \ ____B
\ /\ /\ /\ /
\ / \ / \ / \/
\ / \ / \ /
\/ \/ \/

, - что прямая AB делит данный многоугольник на 2 или на 8 частей?
(Т.е. считаем ли мы компоненты связности на замкнутых или на открытых полуплоскостях?)

В первом, вроде, верны как раз эти рассуждения, а во втором утверждение "это множество открытое" не выполняется (и вообще, похоже, и сам ответ отрицательный будет, видимо, эту штуковину на 7 частей в том же смысле не поделить).

PS: Ещё точнее, чтобы множество, про которое говорилось, было действительно открыто, нужно договориться, что считаем компоненты связности на замкнутых полуплоскостях, но при этом "вырожденные" (лежащие на прямой) компоненты не учитываем. (А то пошевелишь прямую, и точка-компонента с неё исчезнет...)

[staskikotx]

Какая красота!

Мне тоже кажется, что естественнее считать
полуплоскости открытыми, и тогда задачу решает
контрпример arymanuz'а.

Но и теорема chyyr из последнего коммента тоже неплоха.

Не выйдет ли из этого заметки куда-нибудь
(типа, в Квант, в Математическое Просвещение, в Первое Сентября)?

[dtrectorydos]

ЖЖ сообщество сильнО, интересно вас почитать, спасибо вам!!!