О числах
По следам дискуссии с megadest.
В одной фантастической книжке был момент, когда применяли какое-то такое хитроумное устройство, что в окрестностях в качестве побочного эффекта менялось значение числа пи. Ладно, посмеялись и забыли, а вот сейчас подумалось: под числом π понимаются, вообще говоря, две совсем разные вещи:
1. Отношение длины окружности к диаметру;
2. Крайне широко используемая математическая константа, вычисляемая многими разными способами, которые можно найти, например, здесь.
Понятно, что, какую хитрую штуку ни применяй, "математическое" π останется прежним, это практически в чистом виде Платоновская идея. С первой же константой всё гораздо хитрее: вообще говоря, она ни разу не константа и строго совпадает с "математическим" π в случае плоского, то есть не искривлённого, пространства.
То, что наше пространство в основном плоское (то есть кривизна очень, почти пренебрежимо мала в окрестностях Земли, и может быть в целом принятой равной нулю на масштабах наблюдаемой Вселенной), проверено многократно, но есть довольно много частных ситуаций, когда это, вообще говоря, не так. Например, вблизи горизонта событий чёрной дыры или на очень мелких квантовых масштабах, кривизна может быть очень большой.
Что же произойдёт, если пространство искривится? Как мы это заметим? Например, по тому же поведению «физического» π. Если представить себе жителей Вселенной, имеющей форму сферы, становится видно, что, в зависимости от размера окружности, π будет меняться. Для маленьких (по сравнению с радиусом Вселенной) окружностей оно будет пренебрежимо мало отличаться от «математического» π, но чем больше будет радиус, тем сильнее оно будет уменьшаться. Для окружности с радиусом, равной радиусу Вселенной, то есть «опоясывающей» её по экватору, π будет равно двум: диаметр будет составлять ровно полуокружность. Это минимально возможное числа π для такой Вселенной.
Можно ли сделать π ещё меньше? В принципе да, но для этого придётся ещё сильнее искривлять Вселенную. Например, если Мир будет похож не на сферу, а на эллипсоид, можно добиться π, сколь угодно близкого к нулю (растягивая эллипсоид по одной из осей). В такой длинной, вытянутой Вселенной, отношение длины окружности, опоясывающей этот «огурец», к её диаметру (геодезической, проходящей через полюс «огурца»), может быть очень маленьким.
Так что, если неведомое хитрое устройство будет способно сильно искривить пространство вокруг себя, прямые измерения числа π могут дать очень интересные результаты. Но математики, конечно, ничего не заметят :)
Пример из жизни: нейтронные звёзды - пульсары - это очень тяжёлые (полторы солнечных массы) и очень маленькие по астрономическим меркам (10 километров в диаметре) объекты. Такие чудовищные условия сильно искривляют пространство вокруг, что, например, приводит к тому, что, глядя на такой пульсар, мы видим не половину его поверхности (как бывает, например, если мы смотрим на Луну), а гораздо больше: в искривлённом пространстве лучи света, испущенные с противоположной стороны, искривляются и попадают к нам (для Луны имеет место аналогичный эффект, но он настолько мал в виду лёгкости Луны, что обнаружить его нет никакой возможности) - вот как это примерно выглядит .
В одной фантастической книжке был момент, когда применяли какое-то такое хитроумное устройство, что в окрестностях в качестве побочного эффекта менялось значение числа пи. Ладно, посмеялись и забыли, а вот сейчас подумалось: под числом π понимаются, вообще говоря, две совсем разные вещи:
1. Отношение длины окружности к диаметру;
2. Крайне широко используемая математическая константа, вычисляемая многими разными способами, которые можно найти, например, здесь.
Понятно, что, какую хитрую штуку ни применяй, "математическое" π останется прежним, это практически в чистом виде Платоновская идея. С первой же константой всё гораздо хитрее: вообще говоря, она ни разу не константа и строго совпадает с "математическим" π в случае плоского, то есть не искривлённого, пространства.
То, что наше пространство в основном плоское (то есть кривизна очень, почти пренебрежимо мала в окрестностях Земли, и может быть в целом принятой равной нулю на масштабах наблюдаемой Вселенной), проверено многократно, но есть довольно много частных ситуаций, когда это, вообще говоря, не так. Например, вблизи горизонта событий чёрной дыры или на очень мелких квантовых масштабах, кривизна может быть очень большой.
Что же произойдёт, если пространство искривится? Как мы это заметим? Например, по тому же поведению «физического» π. Если представить себе жителей Вселенной, имеющей форму сферы, становится видно, что, в зависимости от размера окружности, π будет меняться. Для маленьких (по сравнению с радиусом Вселенной) окружностей оно будет пренебрежимо мало отличаться от «математического» π, но чем больше будет радиус, тем сильнее оно будет уменьшаться. Для окружности с радиусом, равной радиусу Вселенной, то есть «опоясывающей» её по экватору, π будет равно двум: диаметр будет составлять ровно полуокружность. Это минимально возможное числа π для такой Вселенной.
Можно ли сделать π ещё меньше? В принципе да, но для этого придётся ещё сильнее искривлять Вселенную. Например, если Мир будет похож не на сферу, а на эллипсоид, можно добиться π, сколь угодно близкого к нулю (растягивая эллипсоид по одной из осей). В такой длинной, вытянутой Вселенной, отношение длины окружности, опоясывающей этот «огурец», к её диаметру (геодезической, проходящей через полюс «огурца»), может быть очень маленьким.
Так что, если неведомое хитрое устройство будет способно сильно искривить пространство вокруг себя, прямые измерения числа π могут дать очень интересные результаты. Но математики, конечно, ничего не заметят :)
Пример из жизни: нейтронные звёзды - пульсары - это очень тяжёлые (полторы солнечных массы) и очень маленькие по астрономическим меркам (10 километров в диаметре) объекты. Такие чудовищные условия сильно искривляют пространство вокруг, что, например, приводит к тому, что, глядя на такой пульсар, мы видим не половину его поверхности (как бывает, например, если мы смотрим на Луну), а гораздо больше: в искривлённом пространстве лучи света, испущенные с противоположной стороны, искривляются и попадают к нам (для Луны имеет место аналогичный эффект, но он настолько мал в виду лёгкости Луны, что обнаружить его нет никакой возможности) - вот как это примерно выглядит .
