Онтологический аргумент Гёделя. Сформулируем еще раз.

[swpanurg]

 Предыдущие тексты: первый, второй, третий.

Существуют качества, которые Гёдель называет позитивными. Качество позитивно если оно удовлетворяет 5 аксиомам. Бог, существование которого доказывает Гёдель, это объект, обладающий всеми позитивными качествами. Рассмотрим упомянутые аксиомы по порядку, приводя по ходу дела необходимые определения и теоремы.

Итак:

• Аксиома 1: Если φ - позитивно и необходимо влечет за собой ψ, то последнее тоже позитивно
• Аксиома 2: Если свойство φ позитивно, то ¬φ («не φ») - не позитивно, и наоборот, если φ - не позитивно, то ¬φ позитивно.
• Определение 1: Говорим, что объект обладает свойством божественности, если он обладает всеми позитивными качествами. 
• Аксиома 3: Божественность - позитивное качество. 
• Аксиома 4: Если свойство позитивно, то оно позитивно во всех возможных мирах.
• Определение 2: Качество называется φ сущностью объекта x если любое присущее ему качество ψ с необходимостью вытекает из φ.
• Определение 3: Говорим, что объект х обладает качеством «необходимого существования» если для любого качества φ верно следующее: если φ является сущностью х, то в любом возможном мире существует объект, обладающий качеством φ. Иными словами, каждая сущность x необходимо экземплифицирована.
• Аксиома 5: Необходимое существование позитивно. 
• Теорема 1: Если качество φ позитивно то возможно существование объекта, обладающего этим качеством (иными словами, такой объект существует в каком то из возможных миров). Это следует из А1 и А2.
• Теорема 2: Объект, обладающий качеством божественности, существует в каком-то из возможных миров (следует из того, что божественность - позитивное качество и из предыдущей теоремы)
• Теорема 3: Если объект x обладает качеством божественности, то это качество - его сущность. Доказывается так: 

Пусть x обладает качеством φ.
Это качество должно быть позитивным, значит, оно позитивно во всех возможных мирах.
Значит в любом возможном мире объект, обладающий качеством божественности должен обладать и качеством φ. 
Значит, божественность является сущностью x
 

• Теорема 4: Объект, обладающий качеством божественности, существует во всех возможных мирах. Доказывается так:

Бог существует в некоторых из возможных миров (Теорема 2). Поскольку он обладает (позитивным) свойством необходимого существования, то его сущность экземплифицирована во всех возможных мирах (Определение 3). Сущность бога - божественность (Теорема 3). Значит, она экземплифицирована во всех возможных мирах (в том числе и в нашем)
 На формулах:

Обозначения:

• P(φ) обозначает фразу «свойство φ позитивно»
• G(x) обозначает фразу «х обладает свойством божественности» (то есть х - Бог)
• Остальные символы (&, □, ◊, ∃, ∀, →, ↔) - обычные модальности, кванторы, связки матлогики 

Доказательство:

• A1: {P(φ) & □ ∀ x [φ(x) → ψ(x)]} → P(ψ)
• A2: P(¬φ) ↔ ¬P(φ)
• D1: G(x) ↔ ∀ φ [P(φ) → φ(x)]
• A3: P(G)
• A4: P(φ) → □ P(φ) 
• D2: φ ess x ↔ ∀ ψ { ψ(x) → □ ∃ [ φ → ψ ] }
• D3: E(x) ↔ φ [ φ ess x → □ ∃ x φ(x) ]
• A5: P(E)
• T1: P(φ) → ◊ ∃ x φ(x) 
• T2: ◊ ∃ x G(x)
• T3: G(x) → G ess x
• T4: □ ∃ x G(x)

И в заключение - пара фактов:

Первая версия текста Гёделя датирована примерно 1941-м годом. В 1970, полагая, что умирает, он впервые упомянул об этом доказательстве; Дана Скотт сделал копию, которая потом разошлась среди небольшого круга заинтересованных лиц. Тогда же Гёдель сказал, что «удовлетворен доказательством». Тем не менее, он так и не опубликовал своего текста, объясняя это боязнью того, что окружающие сделают неверные выводы о его религиозных взглядах.

Говорят, что есть по крайней мере один человек, который считал онтологический аргумент полностью убедительным доказательством бытия Бога. Это Клайв Люис, известный, кроме всего прочего, как автор «Хроник Нарнии».

И снова, как и предыдущие тексты про Гёделя ( первый, второй, третий) этот текст еще будет правиться, а возможно (если я найду в нем существенные ошибки) будет удален совсем. Имейте это в виду, если кому-то захочется его прокомментировать.