Числа в генетическом коде. Часть 2.
Предыдущие части:
О порядке, который в генетическом коде
Несколько слов о генетическом коде (Часть Ι)
Несколько слов о генетическом коде (Часть ΙΙ)
Последнее предисловие к рассказу о «Сообщении» Творца в генетическом коде
Числа в генетическом коде. Часть 1.
В предыдущей части мы рассмотрели «простые», как я их назвал, деления стандартного генетического кода в его «обобщённом», как я его назвал, представлении. И, как мы увидели, нуклонные суммы боковых цепей и остовов наборов аминокислот, выделяемых из генетического кода этими делениями неожиданно часто образовывали друг с другом простые числовые соотношения (почти всегда равенства), и ещё чаще, оказывались членами одного ряда - ряда чисел, с «красивой» записью в десятичной системе счисления.
Не буду подробно повторять уже сказанное, но чтобы обновить в уме характер «простоты» делений кода и «красоты» найденных нуклонных сумм, посмотрим на эти деления и числа на рисунке ниже (деления и числа изображены отдельно друг от друга, чтобы система внутри и тех и других была видна более ясно).
Рис. 1. Деления кода и нуклонные суммы, которые мы видели в предыдущей части. Значительная часть (7, из которых 4 независимых) чисел участвует в точных равенствах, т.е. встречается дважды (как минимум :-), повторяясь или в боковых цепях и остовах одной части кода, или в боковых цепях разных, сопряжённых друг с другом, частей кода - такие числа отмечены звёздочками: чёрными звёздочками отмечены числа, участвующие в равенствах, которые следуют из других равенств (соединённых с ними жёлтыми линиями). Синим цветом отмечены множители, участвующие в "пифагоровом" равенстве.
Не думаю, что тут нужны обширные комментарии, по крайней мере, при условии вдумчивого чтения предыдущих частей. На данный момент мне хотелось добиться хотя бы «интуитивного» понимания, что вопрос, заданный в конце « Последнего предисловия» был уместен, а положительный ответ на него после предыдущей части является вероятным. Для тех, кто хочет сравнить свою «интуицию» с «интуицией» рассказчика я написал 3 абзаца ниже. Их можно пропустить.
Слово «простота», как характеристика упомянутых делений кода подразумевает что «простого» действительно мало. Существует действительно мало «простых» способов выбрать набор «семейств» из генетического кода, самый очевидный из которых, выбор «простых» или «сложных» семейств, очевиден потому, что это деление и порождает само «обобщённое» представление кода в виде матрицы 4×4 семейств, с делением на две равные части из «простых» и «сложных» семейств. Остальные «простые» способы выбрать несколько семейств из кода просты потому, что требуют меньше информации, чем явное перечисление (и они настолько просты, насколько мало информации они требуют). Сколько «простых» делений Вы придумаете? Все ли из них будут одинаково «просты»? Думаю, если ограничится «обобщённым» кодом, то 100 делений - недосягаемая высота, до которой нельзя дойти, не доводя понятие «простоты» до абсурда, а на деле, как кажется, имеет смысл говорить о паре десятков делений (впрочем, я этот вопрос подробно не продумывал). Точно также, существует мало способов выделить часть структуры из аминокислоты: что-то сложнее деления на остов и боковую цепь не сразу даже и придумаешь.
«Красота» - вещь ещё более трудноуловимая, но что важно, та же самая «красота», которую мы увидели в самом бросающемся в глаза «простом» делении кода, обнаружилась и во всех других «простых» делениях, в которых что-то было найдено (а характер этой красоты достаточно объективен, и не требует особого состояния сознания для распознания, как я надеюсь хорошо заметно хотя бы из Рисунка 1 или из графического резюме в конце предыдущей части). Действительно, можно сказать: «ну нашли мы баланс в делении кода на простые и сложные семейства, ну повезло, ну красив он в десятичной системе счисления (а мог бы и в двоичной быть красивым, правда, конкретно этот баланс вовлекает остовы аминокислот, а они дают суммы, красивые именно в десятичной системе счисления, но с точки зрения одиночного попадания это не важно)». Но «одиночное попадание» не заставило бы другие найденные балансы (в том числе и не кратные 37и) и другие найденные числа и группы чисел быть красивыми всё в той же в десятичной системе счисления. Тут уже получается довольно много не очень вероятных «попаданий» при небольшом числе допустимых «простых» «выстрелов». Это - ключ к пониманию того, почему это не я и не Щербак «просто увидели какие-то паттерны, так как человеку свойственно видеть какие-то паттерны». Настаивание на противоположном, на мой взгляд, при некоторой последовательности приводит к отмене «объективного» человеческого познания как такового.
Повторюсь несколько иными словами: так как «простота» выбора нуклонных кучек из генетического кода независима от «красоты», которую мы могли бы увидеть в нуклонных суммах этих кучек, т.е., по своей природе она не увеличивает вероятность обнаружения какой бы то ни было «красоты» в соответствующих нуклонных суммах, и так как и «простота» и «красота» сугубо абстрактные - логические и числовые, то и выходит, что при насыщенности заведомо ограниченного набора «простых» выборок однотипной числовой «красотой», возникает ситуация, когда в качестве причины соответствующей расстановки аминокислот по кодонам затруднительно назвать что-то иное, кроме этой самой числовой «красоты». Т.е., как мне видится, ситуация довольно очевидным образом начинает напоминать « задачку про белочку и орешки».
Числа в полной таблице генетического кода.
На данный момент мы рассмотрели числовые элементы Сообщения, которые можно выделить из таблицы кода в «обобщённом» виде. Между тем, в рамках отношения к тому что мы уже видели, как к сообщению, нельзя обойти вниманием «полную» таблицу - странно, при таком предположении, не ожидать находок того же типа, какие мы видели в «обобщённой» таблице от «полной» таблицы. И в этой части рассказа мы обнаружим, что такие находки в ней действительно находятся.
«Пробный шар».
Начнём мы с подсчёта полной суммы нуклонов в боковых цепях аминокислот в полном коде. Должно быть ясно, почему это сделать интересно - при разбиениях «обобщённого» кода на дополнительные части, мы видели сопряжённые, «красивые» числа, кратные 37и, что было бы невозможно, если бы полная сумма «обобщённого» кода не была кратна 37и (и даже 111=37×3). Поэтому, ожидая продолжения того же рода и в полном коде, надо ожидать, что и у полного кода нуклонного сумма будет того же рода.
Можно было бы просто показать ответ, но мне кажется, анимированное вычисление «на пальцах», изображённое на рисунке ниже довольно поучительно. Может быть, это аберрация моего восприятия, но характер увиденного при использовании очевидного приёма, ведущего к лёгкому вычислению этой суммы, на мой взгляд, вызывает улыбку и даже вызывает ассоциации со спрятанными для детей подарками (если держать в уме систему чисел в «обобщённом» коде).
Рис. 2. Посмотрим на нуклонную сумму боковых цепей полного кода.
А если посчитать нуклонную сумму остовов полного кода (63×74), равную 4514, окажется, что она больше суммы боковых цепей (3404) на 1110. Как видите, даже беглый взгляд на полный код открывает нечто интересное с точки зрения уже обнаруженной в коде числовой «красоты».
Рис. 3. Нуклонные суммы боковых цепей и остовов полного кода в сравнении с "обобщенным".
Тем не менее, если мы рассмотрим те же деления кода, которые мы рассматривали для обобщённого кода (по типу семейства или по типу первого и второго нуклеотидов), мы увидим, что числовые соотношения и «красота» либо повторяются либо пропадают, но других подобных числовых структур в этих делениях не возникает (все лично я не проверял, но доверяю в этом отношению Вл. Щербаку). Где же ещё искать? Очевидно, там, где становится существенным третий нуклеотид кодона - и первое что приходит в голову, рассмотреть деление по типу третьего кодона. Результат на рисунке ниже.
Рис. 4. Деление полного кода по типу третьего нуклеотида кодона позволяет разделить его двумя равноправными способами на две равные части с суммами кратными 37 (и 111). Две из четырёх групп кодонов, выделяемых по типу третьего нуклеотида дают "красивые" нуклонные суммы - их десятичная запись имеет вид арифметической прогрессии.
Но всё ли это? Оказывается, нет: есть и ещё «простые» деления полного кода, учитывающие все три нуклеотида кодона, и в них-то и обнаруживается самое интересное.
«Комбинаторное» разделение кодонов.
Итак, деления по типу первого, второго и третьего нуклеотида остались позади. Какие ещё «простые» способы выделить группу кодонов можно предложить? Что «проще», чем условие «в кодоне первый нуклеотид - пиримидин»? Пожалуй, после некоторого размышления, в голову должно прийти ничто иное как: «в кодоне есть пиримидин» (таких кодонов, правда целых 56 и если заменить «пиримидин» на «пурин», мы получим не дополнительное множество, а множество, сильно пересекающееся с первым). После прихода такой мысли становится ясно, что есть некоторое количество «простых» способов выделить группу кодонов, не ссылаясь на порядковый номер отдельного нуклеотида. Кто хочет поискать элементы Сообщения среди различных делений такого рода, может подумать далее самостоятельно, а я изложу то, что уже найдено другими людьми.
Было найдено, что при делении кодонов по числу типов нуклеотидов из которых они составлены (например, AAA - из нуклеотидов одного типа, а ATG - из нуклеотидов 3х типов). Такое деление порождает деление полного кода на три части, одна из которых - часть из кодонов составленных из нуклеотидов 2х типов - имеет примечательную сумму нуклонов боковых цепей - 1998=999×2. Дополняющее его подмножество (объединение других двух частей) также, разумеется, даёт сумму боковых цепей кратную 37и, так как сумма всех кодонов кратна 37и, но кроме того, оно даёт сумму целых аминокислот равную 3330. См. рисунок ниже.
Рис. 5. Деление кодонов на группы, согласно числу типов нуклеотидов, из которых они составлены также даёт примечательные суммы, из ряда кратных 37 и 111.
Но самое удивительное обнаруживается при рассмотрении отдельно каждого из подмножеств с «красивыми» нуклонными суммами. Это довольно неожиданно, так как выделенные выше подмножества, хотя и «просто» определяются, выглядят довольно хаотично (по крайней мере на табличке кода на рисунке выше) и не сразу становится очевидно, как их можно рассматривать на предмет дальнейшего «простого» деления.
Мы начнём с подмножества кодонов, составленных из нуклеотидов 2х типов (т.е., кодонов вида XXY, XYX и YXX). Оно имеет нуклонную сумму 999×2 и, не правда ли, в рамках доверительного отношении к возможности того, что мы наблюдаем элементы сообщения, возникает ожидание увидеть некое простое деление этого подмножества кодонов на части с суммами по 999 нуклонов? Но сначала надо понять, каковы вообще «простые» деления этого множества.
Когда мы рассматривали код в обобщённом виде, неделимой единицей выступал не кодон, а семейство кодонов, которое определяется двумя независимыми переменными: первым и вторым нуклеотидами. Поэтому «простые» деления «обобщённого» кода и представляют собой, как правило, деления по типу первого или второго нуклеотида, или их обоих вместе (кроме деления на простые и сложные семейства, которые связаны с «внутренними» особенностями отдельных семейств). Такие деления просто определяются и делят код на равные части. Есть ли подобные «независимые» переменные, определяющие кодоны, составленные из нуклеотидов 2х типов? Да, внимательно посмотрев на эти кодоны, можно заметить, что такими переменными для них являются следующие: 1 - тип парного нуклеотида, 2 - тип непарного нуклеотида и 3 - позиция непарного нуклеотида в кодоне. Первые две переменные, надо сказать, не вполне независимы, т.к. парный и непарный нуклеотиды, очевидно, должны различаться, но очевидно, что эти 3 переменные «структурируют» рассматриваемое внешне хаотичное множество и дают возможность «просто» делить его на красивые равные части. См. рисунок ниже.
Рис. 6. Упорядочение множества кодонов, состоящего из нуклеотидов двух типов.
Как мне думается, при серьёзном отношении ко всему что мы уже видели, читатель должен быстро суметь предложить деления этого подмножества кодонов, которые любопытно было бы рассмотреть (как мы помним сумма всех кодонов равна 1998). Действительно, есть 3 деления этого подмножества на две равные части по типу парного нуклеотида, и 3 деления по типу непарного нуклеотида и есть 3 деления по позиции непарного нуклеотида, так что вариантов немного. Ну что же, посмотрим на рисунок ниже.
Рис. 7. Из 6и ровных делений по парному или по непарному нуклеотиду, находятся 2 деления с красивыми нуклонными числами половинок деления, одно из которых является равенством 999=999.
Как видите, обнаружилось два деления, интересных с точки зрения наших ожиданий, в том числе деление на две части с равным нуклонным числом - 999.
Осталась ещё одна «независимая переменная», деление по которой имеет смысл рассматривать - позиция непарного нуклеотида в кодоне. Хотя в полном наборе кодонов деление по этой переменной ничего не даёт, в отдельных частях находятся «интересные» вложенные деления: в половине рассматриваемого подмножества, выделенной по непарному нуклеотиду - так чтобы он был «пуриновым», выделяется группа, выделенная по позиции непарного нуклеотида - так, чтобы он стоял на первом месте: её сумма равна 333. Также, в половине рассматриваемого подмножества, выделенной по парному нуклеотиду - чтобы он был также «пуриновым», выделяется группа, выделенная по позиции непарного нуклеотида - так, чтобы он стоял на втором месте (т.е., в этом случае выделяется набор кодонов-палиндромов): её сумма также равна 333 (если Вы посмотрите в таблице генетического кода на то, что кодируют обе эти группы кодонов с суммой 333, Вы заметите, что это один и тот же набор аминокислот). Можно отметить также нуклонное равенство между набором целых аминокислот одной из этих двух выделенных групп кодонов и набором боковых цепей дополняющего его подмножества (777). Это лучше рассмотреть на рисунке ниже, так как словесные описания логических делений кода могут быть утомительны.
Рис. 8. Выделение групп кодонов по позиции непарного нуклеотида.
Но это не всё. При выделении группы палиндромов (т.е. кодонов с непарным нуклеотидом посредине - это малиновые кодоны на правой половине Рисунка 8) из подмножества с парным кодоном пуринового типа, с «точки зрения» нуклонных сумм, выделяется нуклонная сумма «333» из нуклонной суммы «999». Т.е., треть кодонов из подмножества имеет нуклонную сумму равную трети нуклонной суммы этого подмножества. И, соответственно, дополняющее его подмножество оказывается содержащим оставшиеся ⅔ кодонов и ⅔ нуклонов. И, если посмотреть ещё, видно, что его можно разделить пополам ещё одним «простым» способом (кроме дополнительного деления по позиции непарного нуклеотида, в котором ничего не было найдено) - по типу парного нуклеотида. На рисунке ниже посмотрим на нуклонные суммы, которые имеют половинки этого деления.
Рис. 9. 999=333+333+333.
Итак, группа из 18и кодонов с нуклонной суммой 999 делится «простым» способом на 3 группы по 6 кодонов с нуклонной суммой 333 у каждой.
Как видите, группа кодонов, состоящих из нуклеотидов двух типов содержит в себе серию вложенных «простых» делений с «красивыми» нуклонными соотношениями того же рода, который мы видели ранее. На рисунке ниже я изобразил иерархическую логику делений данной группы кодонов в виде дерева. Мне кажется уместным ещё немного удержать внимание читателя на этом весьма логически изящном делении кодонов с однородными (без исключений) нуклонными суммами. Комментарии мне кажутся излишними.
Рис. 10. Логика делений рассмотренного множества кодонов.
А теперь вернёмся к исходному разбиению полного кода на группы кодонов по типу их нуклеотидного состава (ниже - копия Рисунка 5) и посмотрим на ещё не рассмотренное множество кодонов - оно состоит из двух частей: множества кодонов, составленных из нуклеотидов одного типа и множества кодонов, составленных из нуклеотидов трёх типов.
Рис. 11. Деление кодонов на группы, согласно числу типов нуклеотидов.
Такое «составное» множество, надо сказать, заведомо невозможно разделить так же «просто», как предыдущее. Хотя, можно отметить, что нуклонная сумма всего набора равна 1406 = 2×19×37, и если существует некое относительно «простое» разбиение этого множества, то это деление пополам, как по нуклонам, так и по кодонам. Кстати, деление пополам даёт нуклонные суммы, десятичная запись которых является циклической перестановкой записи простого множителя, объединяющего большинство «красивых» чисел в этом рассказе - 37: 1406 = 703×2. Это то, что касается возможных ожиданий. перейдём к тому, что можно обнаружить.
Итак, часть состоящая из кодонов, составленных из нуклеотидов одного типа, это четыре совершенно равноправных с точки зрения любых делений кодона: TTT, CCC, AAA и GGG. Что касается кодонов, составленных из 3х различных типов нуклеотидов (т.е. кодонов типа ATG или GAC - вида XYZ), то с первого раза даже не просто понять, есть ли для них «простые» деления. Например, можно попробовать разделить на 4 «кучки» по принципу отсутствия в них одного из нуклеотидов: одна «кучка» - 6 кодонов без С, т.е. TAG, TGA, ATG, AGT, GTA, GAT, другая «кучка» - 6 кодонов без T ... (и так далее). Эти четыре «кучки» также совершенно равноправн с точки зрения любых делений. Эти 4 кучки совместно с 4я кодонами, составленными из нуклеотидов одного типа можно делить по разному на две половинки (разумно было бы ограничиться «ровными» делениями по два однородных кодона и по две «кучки» разнородных кодонов в одной половине) - такие деления не будут заметно «проще» или «сложнее» друг друга, и кроме того, они не дадут никакого примечательного разделения нуклонной суммы (можете проверить, перебрав все такие деления).
Итак, на первый взгляд можно прийти к тому, что какого-то «простого» или вообще, хоть какого-то «ровного» деления этих кодонов на две части с равными нуклонными суммами нет. И тем не менее, внутри группы кодонов, составленных из 3х типов нуклеотидов есть структура, которую мы ещё не рассматривали, и которая делает некоторые деления «проще» других. Точнее, эта структура есть в каждой из 4х групп по 6 кодонов, имеющих одинаковый нуклеотидный состав. Ниже на рисунке это показано на примере 6и кодонов составленных из нуклеотидов {T, A, G}.
Рис. 12. Для каждого из 4х подмножеств множества кодонов, составленных из 3х различных нуклеотидов существует "простое" деление пополам - такая шестёрка кодонов связана отношениями симметрии - циклической перестановкой и зеркальной симметрией, которые делят её на две "зеркальные" половинки по 3 кодона в каждой. Внутри каждой половинки все три кодона можно получить друг из друга циклической перестановкой, но кодон из другой половины циклической перестановкой получить нельзя - между половинками "переводит" только зеркальное отражение.
Ну что же, мы увидели естественный способ поделить каждую из 4х шестёрок кодонов вида XYZ пополам. Но пока не очевидно, что это делает нахождение «простого» деления легче - ведь каждая из 4х шестёрок делится независимо от другой - мы, фактически увеличили число элементов, которые подлежат распределению на две части.
Однако мы получили одно «простое» условие для поиска деления пополам всего напора кодонов вида XYZ - зеркальные половинки каждой шестёрки кодонов должны лежать в разных половинах деления. Так как нам надо разделить всё составное множество, включая однородные кодоны типа AAA, для ровного разделения по числу кодонов надо добавить условие, чтобы и однородные кодоны были поделены поровну. Эти два условия допускают довольно много способов распределить кодоны на две половины - 48 штук (задачка на комбинаторику). И одно из этих делений действительно делит пополам нуклонную сумму, как боковых цепей, так и в остовов. См. рисунок ниже.
Рис. 13. Одно из симметричных делений кодонов делит нуклонные суммы пополам.
Итак, мы нашли одно «простое» деление, хотя назвать его таким же «простым» как то, что мы видели ранее, не получается - во-первых, это множество составлено из двух разнородных частей, и во-вторых, «простые» условия, порождают наряду с разбиением, делящим нуклонную сумму пополам, ещё 47 разбиений. Тем не менее, найденное деление принадлежит к числу наиболее симметричных разбиений, возможных для данного множества.
Как можно заметить, оно не только разделяет половинки шестёрок кодонов вида XYZ на зеркальные половины, но и обладает симметрией относительно попарных инверсий нуклеотидов (см. зелёные, синие и красные стрелки на Рисунке 13). Эта симметрия приводит к тому, что зеркальные половинки распределены поровну по типу «хиральности» не только между половинками деления, но и внутри каждой из половинки (таким свойством обладает уже меньшая часть из упомянутых 48и делений).
Если не ограничиваться формальной стороной и вспомнить о химической структуре нуклеотидов, можно заметить, что половинки рассматриваемого деления сбалансированы и относительно структурно-молекулярных свойств кодонов. Во-первых, для каждого кодона, кодон комплементарный ему (т.е. такой триплет, который стоял бы напротив него в двойной цепочке ДНК) также находится в одной с ним половине деления. Это же условие связывает и кодоны, составленные из одного типа нуклеотидов, лежащие в одной половине деления, что сближает две разнородные части деления. См. рисунок ниже.
Рис. 14. Комплементарные кодоны находятся в одной половине деления.
Также, в одной и и той же половине деления находятся все двойники по химическому типу азотистого основания кодона (т.е., если заменить в кодоне всякий пиримидиновый нуклеотид на другой пиримидиновый, а пуриновый на другой пуриновый, то получившийся кодон будет находиться в одной половине деления с исходным). На Рисунке 13 и на рисунке ниже это отношение изображено синей стрелкой. На рисунке ниже проиллюстрированы обе структурно-молекулярные симметрии, определяющие распределение связанных ими кодонов в одну часть деления.
Рис. 15. 4 кодона, связанные двумя структурно-молекулярными симметриями, влекущими их совместное распределение. Эти 4 кодона вместе содержат нуклеотид каждого типа по 3 раза. Если взять все циклические перестановки каждого из этих кодонов - получится одна часть деления целиком (12 кодонов).
Итак, при ближайшем рассмотрении, найденное деление кодонов, дающее равное деление нуклонной суммы оказывается весьма «сбалансированным» с двух точек зрения - формальной и молекулярной. См. рисунок ниже.
Рис. 16. Деление множества кодонов, объединяющее кодоны двух типов - составленные из нуклеотидов одного типа и составленные из нуклеотидов 3х типов.
Ниже - графическое резюме данной части. Перед тем как переходит ко второму, более важному и в некотором смысле дуальному к рассмотренным числовым симметриям, компоненту Сообщения, нужно сказать ещё пару слов о числовых элементах, но на данный момент, пожалуй, написано достаточно.
Рис. 17. Резюме.
Продолжение: Числа в генетическом коде. Дополнение.