Докажи! - Клянусь мамой!
- Что такое double blind method в медицине?
- Это когда два ортопеда разглядывают кардиограмму.
Старый медицинский анекдот.
Математическое попперьянство
Ни с того, ни с сего (миллион-то пока ещё у Клея в сейфе) математики снова стали предметом изучения социологов. Социологи "мирового уровня" (т.е., побывавшие хоть раз за границей) радостно констатируют, что, оказывается, и у математиков, несмотря на все их претензии на обладание якобы абсолютной истиной, всё равно все пирожки по блату по начальственным приказам раздаются. Как Главный академик сказал, так и считать следует, пока Более главный академик не отменит предыдущий приказ.
Потуги плохих социологов мирового уровня стащить математиков и теорфизиков с пьедестала обладателей знания до уровня своего иерархического трибализма по-человечески понятны: муравейские учёные, изучая российских людей, неизбежно пришли бы к выводу, что матка-производительница находится то ли в Кремле, то ли в Белом Доме, а остальное население состоит из бесполых работников. В подтверждение будут приводиться оффисные мужчинки и женщины-шпалоукладчицы, а изредка наблюдаемые отклонения будут списываться на мутации и ошибки эксперимента. Удивительно лишь то, сколько профессиональных математиков попыталось объяснить необъяснимое при помощи странных аргументов.
Аргумент с теоретической верифицируемостью доказательства путём сводимости его к чему-то типа машинного кода не более убедителен, чем лапласовский детерминизм: вроде бы ни разу в истории математики никто не пытался проверить доказательство таким образом, и уж подавно никто не нашёл никаких ошибок. Более того, в тех случаях, когда доказательство действительно содержит куски "машинного кода", математики морщат нос и говорят, что это "недо-доказательство".
Аргумент с консенсусом, с другой стороны, тоже не выдерживает критики: никакого голосования с подсчётом голосов никто, разумеется, не проводит. Более того, в математическом сообществе, в отличие от социологов и экономистов, очень остро чувство границ собственной компетентности: в очень узких пределах я способен говорить со знанием дела, в несколько более широких пределах я знаю людей, мнению которых я склонен доверять, а в большинстве случаев высказывание своего мнения относительно истинности того или другого утверждения будет чистым моветоном. Ещё более нелепо выглядит идея "универсальной" иерархии. Если бы Яу заявил, что он проверил классификацию простых групп, или Серр сказал, что он проверил доказательство Экалля теоремы конечности для предельных циклов, это вызвало бы определённую сенсацию и пересуды в университетских кафетериях, но ни на иоту не прибавило бы достоверности этим "фактам". (Разумеется, совсем по-другому отнеслись бы к текстам Яу или Серра, переизлагающим их версии доказательства, - это бы как раз стало поводом для многих забросить трандёж в ЖЖ и засесть за чтение ;-)
Достоверность математического факта на практике (привет Карлу Марксу ;-) проверяется тем, насколько плотно и многосвязно он встроен в математический мир. Теорема единственности для аналитических функций, - утверждение, требующее для своей формулировки гораздо больше кванторов и логических значков, чем Большая Теорема Ферма. Тем не менее нет ни одного вменяемого математика, который бы оспаривал теорему единственности. Что же до теоремы Ферма, - я не удивлюсь, если через эн лет в доказательстве Уайлса-Тейлора будет обнаружена дырка (хоть это и маловероятно, судя по всему), и придётся искать, как и чем её заделать. Доказательство Перельмана недавно было "признано" потому, что (а) опубликованы два (не совсем независимых) переизложения, в подготовке которых приняли участие едва ли не все "узкие специалисты", знакомые с многочисленными подводными камнями и узкими местами и сами активно работающие в этой области, и (б) эти переизложения, равно как и оригинальные гришины препринты, разобраны по мере возможностей на семинарах гораздо более широкого круга людей, не держащих в голове всю конструкцию, но профессионально владеющих некоторыми из использованых инструментов. Пока все концы сходятся. Это не отменяет возможности того, что в доказательстве всё же есть ошибка, но понижает вероятность такого события до "социально приемлемого уровня" ("Читатель ждёт уж рифму розы, - ну на, возьми её скорей!",- этот самый уровень, видимо, таки-определяется консенсусом всего математического сообщества ;-). Все эти вещи хорошо понимал уже Пуанкаре, которого и можно лишь порекомендовать перечесть желающим/могущим.
Вообще для социологов и прочих постмодернистов, не видящих разницы между математикой и гендерными штудиями, полезно задуматься над тем, как в математике находятся и исправляются ошибки (и что это вообще такое: не то враньё, которое попадается во время рецензирования в статьях, написанных плохими аспирантами или китайскими постдоками, а Ошибки с Большой Буквы).
Ошибочных "доказательств" пятого постулата Евклида было преизрядно, и большинство было построено по одному и тому же образцу: из его отрицания выводились "абсурдные" утверждения (сумма углов в треугольнике не 180 градусов, а зависит от площади и т.д.), на основании которых делался вывод о противоречии. Когда "абсурдных" фактов скопилось достаточно много, и они неплохо согласовывались друг с другом, случилась небольшая революция. Она отнюдь не отменила евклидову геометрию как "неверную", кстати, но отвела ей гораздо более скромную роль частного, хоть и очень важного случая. Одно из ошибочных доказательств теоремы Ферма принадлежало знаменитому Куммеру, а из разбора его ошибки - неединственности примарного разложения в произвольном кольце, - много чего выросло. Я не помню, сколько времени прошло в этом случае между публикацией и нахождением ошибки, но этот промежуток легко может исчислаться десятилетиями. По крайней мере в одном хорошо известном мне случае между публикацией и опровержением прошло 57 (пятьдесят семь!) лет.
В 1923 году, решая 16-ю проблему Гильберта, Анри Дюлак (тоже один из авторитетнейших математиков на рубеже 19-20 веков) написал длиннейшую статью (140 с.), целиком правильную, кроме "дурацкой" дырки в самом конце. Все трудные и содержательные части работы Дюлака за истекшее время перепроверялись и многократно переизлагались, а последний шаг был настолько "очевиден" и всем так хотелось в него верить, что "консенсус" был абсолютным. Кто-то в пятидесятых годах называл эту работу "величайшим достижением математики в двадцатом веке". И только в середине 70-х годов, решая совершенно другие задачи, математики обнаружили, что "формальная" теория некоторых особенностей в корне отличается от "аналитической". В 1980-м году, независимо и практически одновременно, Робер Муссю в Дижоне и Юлий Ильяшенко в Москве обратили внимание на то, что доказательство Дюлака целиком построено на "формальной" теории, и должно быть тем самым "чувствительно" к обнаруженной разнице. После этого наблюдения найти "дурацкую" ошибку было делом времени. Как и в предыдущих эпизодах, никакой авторитет никого не интересовал, - убедиться в ошибочности "последнего рассуждения Дюлака" после того, как именно оно было подвергнуто сомнению, мог любой студент-младшекурсник.
Мораль, вытекающая из этих историй, несложна. Математика состоит из истин, которые неотменяемы, хоть никто и не проверял их доказательства на формальную истинность (собственно, корпус математического знания), из "пограничных" утверждений, проверенных лишь частично и ожидающих своего срастания с основным корпусом, и из утверждений, вовсе непроверенных (к таким относятся все статьи с нулевым числом читателей и цитателей, что составляет не менее половины от всех публикуемых математических статей). Чем более важен факт, тем быстрее и глубже он будет встраиваться в "основной корпус" математического знания, переизлагаться, упрощаться и в конце концов "закончит жизнь банальностью" (Пуанкаре). А спорить об истинности или ложности утверждений, которые никого не интересуют, - только время терять. Пусть этим социологи и философы занимаются.
P.S.: немного конспирологии.
Дюлак после опубликования своей работы 1923 г., прожил больше 30 лет (он родился в 1870 г., как Ульянов-Ленин, а умер только в 1955, почти к ХХ Съезду КПСС), но ничего больше практически не публиковал. Одна из версий такого странного поведения - конспирологическая: Дюлак мог в какой-то момент обнаружить ошибку, убивавшую основной результат работы. В этой ситуации ему было бы самому естественно попытаться заделать дырку, никому не рассказывая, чем он занимается, и не исключено, что все эти годы он пытался именно это и сделать. Как мы знаем теперь, сложность этого "латания" в несколько раз выше, чем сложность изначального дюлаковского доказательства, так что его деятельность была обречена.
Одним из возможных способов рационализировать поведения Гриши Перельмана может быть нечто подобное. Несмотря на опубликованные переизложения (видимо, скорее расшифровки стенограммы, чем независимые переизложения), доказательство всё равно остаётся чрезвычайно громоздким и в нескольких местах, судя по всему, крайне техническим. Не исключено, что Гриша, как человек, глубже всего его продумавший, сам увидел какой-то серьёзный пробел в цепочке своих аргументов и сейчас напряжённо пытается сам его заделать. Эта "конспиративная" версия могла бы объяснить, почему Гриша с равным раздражением реагирует и на репортёров, и на профессиональных математиков, явно благожелательно и с пониманием к нему относящихся.
Во избежание любых кривотолков: я не понимаю доказательства Перельмана, видел его самого только пару раз в жизни и никаких содержательных аргументов в пользу конспирологической теории не имею и не могу иметь.