Немного вероятности
Простенький МонтеКарло-код к задаче 2 http://knop.livejournal.com/336398.html#comments
1. Алиса и Боб бросают каждый свою пару кубиков и записывают сумму очков, выпавших на костях. Алиса ждёт события "два раза подряд выпала 7", а Боб - события "сначала выпала 8, а сразу после нее - 7". Кто из них имеет больше шансов дождаться своего события раньше, чем соперник дождется своего?
2. Костя бросает для Алисы и Боба одну и ту же пару кубиков. Они Алиса и Боб ждут тех же самых событий, что и в первой задаче. Выигрывает тот, чьё событие произошло раньше. Кто имеет лучшие шансы?
дает такой же ответ, как в комментариях к посту у knop. Хотя интуитивно кажется, что вероятность победы Алисы больше, чем вероятность победы Боба.
Если использовать марковские цепи с поглощающими состояниями, то получим вер-ти для двух состояний обращение и умножение матриц в вольфраме - получаем для Алисы 31/66 и для Боба 35/66. Матрица переходная для состояний *,*8,*7,А,В получается такая -
Вероятности считаются по формуле
Среднее число попаданий в состояния *,*7,*8 до выхода в конечное поглощающее состояние считается (E-Q)^{-1}.{1,1,1} = inv {{1-25/36, -5/36, -6/36}, {-25/36, 1-5/36, 0}, {-25/36, -5/36, 1}}.{1,1,1}
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
И по поводу задачи про ящики и бутылки http://knop.livejournal.com/336178.html - расчет в Экселе дает одинаковые вер-ти для для трех различных бутылок и трех бутылок пива.
- такая формула комбинаторная получается верна.
20 0 0 1140 0
19 1 0 969 0
19 0 1 969 0
18 2 0 816 0
18 1 1 816 18
18 0 2 816 0
17 3 0 680 0
17 2 1 680 34
17 1 2 680 34
17 0 3 680 0
16 4 0 560 0
16 3 1 560 48
16 2 2 560 64
16 1 3 560 48
16 0 4 560 0
15 5 0 455 0
15 4 1 455 60
15 3 2 455 90
15 2 3 455 90
15 1 4 455 60
15 0 5 455 0
14 6 0 364 0
14 5 1 364 70
14 4 2 364 112
14 3 3 364 126
14 2 4 364 112
14 1 5 364 70
14 0 6 364 0
13 7 0 286 0
13 6 1 286 78
13 5 2 286 130
13 4 3 286 156
13 3 4 286 156
13 2 5 286 130
13 1 6 286 78
13 0 7 286 0
12 8 0 220 0
12 7 1 220 84
12 6 2 220 144
12 5 3 220 180
12 4 4 220 192
12 3 5 220 180
12 2 6 220 144
12 1 7 220 84
12 0 8 220 0
11 9 0 165 0
11 8 1 165 88
11 7 2 165 154
11 6 3 165 198
11 5 4 165 220
11 4 5 165 220
11 3 6 165 198
11 2 7 165 154
11 1 8 165 88
11 0 9 165 0
10 10 0 120 0
10 9 1 120 90
10 8 2 120 160
10 7 3 120 210
10 6 4 120 240
10 5 5 120 250
10 4 6 120 240
10 3 7 120 210
10 2 8 120 160
10 1 9 120 90
10 0 10 120 0
9 11 0 84 0
9 10 1 84 90
9 9 2 84 162
9 8 3 84 216
9 7 4 84 252
9 6 5 84 270
9 5 6 84 270
9 4 7 84 252
9 3 8 84 216
9 2 9 84 162
9 1 10 84 90
9 0 11 84 0
8 12 0 56 0
8 11 1 56 88
8 10 2 56 160
8 9 3 56 216
8 8 4 56 256
8 7 5 56 280
8 6 6 56 288
8 5 7 56 280
8 4 8 56 256
8 3 9 56 216
8 2 10 56 160
8 1 11 56 88
8 0 12 56 0
7 13 0 35 0
7 12 1 35 84
7 11 2 35 154
7 10 3 35 210
7 9 4 35 252
7 8 5 35 280
7 7 6 35 294
7 6 7 35 294
7 5 8 35 280
7 4 9 35 252
7 3 10 35 210
7 2 11 35 154
7 1 12 35 84
7 0 13 35 0
6 14 0 20 0
6 13 1 20 78
6 12 2 20 144
6 11 3 20 198
6 10 4 20 240
6 9 5 20 270
6 8 6 20 288
6 7 7 20 294
6 6 8 20 288
6 5 9 20 270
6 4 10 20 240
6 3 11 20 198
6 2 12 20 144
6 1 13 20 78
6 0 14 20 0
5 15 0 10 0
5 14 1 10 70
5 13 2 10 130
5 12 3 10 180
5 11 4 10 220
5 10 5 10 250
5 9 6 10 270
5 8 7 10 280
5 7 8 10 280
5 6 9 10 270
5 5 10 10 250
5 4 11 10 220
5 3 12 10 180
5 2 13 10 130
5 1 14 10 70
5 0 15 10 0
4 16 0 4 0
4 15 1 4 60
4 14 2 4 112
4 13 3 4 156
4 12 4 4 192
4 11 5 4 220
4 10 6 4 240
4 9 7 4 252
4 8 8 4 256
4 7 9 4 252
4 6 10 4 240
4 5 11 4 220
4 4 12 4 192
4 3 13 4 156
4 2 14 4 112
4 1 15 4 60
4 0 16 4 0
3 17 0 1 0
3 16 1 1 48
3 15 2 1 90
3 14 3 1 126
3 13 4 1 156
3 12 5 1 180
3 11 6 1 198
3 10 7 1 210
3 9 8 1 216
3 8 9 1 216
3 7 10 1 210
3 6 11 1 198
3 5 12 1 180
3 4 13 1 156
3 3 14 1 126
3 2 15 1 90
3 1 16 1 48
3 0 17 1 0
2 18 0 0 0
2 17 1 0 34
2 16 2 0 64
2 15 3 0 90
2 14 4 0 112
2 13 5 0 130
2 12 6 0 144
2 11 7 0 154
2 10 8 0 160
2 9 9 0 162
2 8 10 0 160
2 7 11 0 154
2 6 12 0 144
2 5 13 0 130
2 4 14 0 112
2 3 15 0 90
2 2 16 0 64
2 1 17 0 34
2 0 18 0 0
1 19 0 0 0
1 18 1 0 18
1 17 2 0 34
1 16 3 0 48
1 15 4 0 60
1 14 5 0 70
1 13 6 0 78
1 12 7 0 84
1 11 8 0 88
1 10 9 0 90
1 9 10 0 90
1 8 11 0 88
1 7 12 0 84
1 6 13 0 78
1 5 14 0 70
1 4 15 0 60
1 3 16 0 48
1 2 17 0 34
1 1 18 0 18
1 0 19 0 0
0 20 0 0 0
0 19 1 0 0
0 18 2 0 0
0 17 3 0 0
0 16 4 0 0
0 15 5 0 0
0 14 6 0 0
0 13 7 0 0
0 12 8 0 0
0 11 9 0 0
0 10 10 0 0
0 9 11 0 0
0 8 12 0 0
0 7 13 0 0
0 6 14 0 0
0 5 15 0 0
0 4 16 0 0
0 3 17 0 0
0 2 18 0 0
0 1 19 0 0
0 0 20 0 0
пиво квас сок
пиво 26334
разные 26334
Первые три столбца - варианты i,j,k. Четвертый столбец число вариантов C(i,3). Пятый столбец - i*j*k. И в конце две суммы - это сумма элементов четвертого столбца и сумма элементов пятого столбца.