104. Всевариантное преобразование 12-TET ладов в 19-TET лады. Связь ладов через семейства
.
Рассмотренное ранее преобразование 12-TET ладов в 19-TET (см. 099) обладает множеством приемуществ:
1) Каждая ступень преобразуется к наиболее близким частотам (подразумеваем что опорная частота преобразования звукоряда 12-TET в звукоряд 19-TET совпадает с тониками обоих ладов);
2) Неоднозначность в преобразовании приводит не более чем к двум возможным результатам, из которых несложно выбрать наиболее подходящий;
3) Идеально работает для ладов с узкой квинтовой структурой, обеспечивая совместимость на уровне семейств ладов и последовательностей аккордов которые можно построить на ступенях (см. 101, 102, 103).
Можно было бы назвать это преобразование «простым». К сожалению, нельзя сказать что это преобразование наилучшим образом подходит для абсолютно всех ладов.
Приведу пример. Рассмотрим семейство Мелодического мажора/минора в 12-TET:
ADA - Мелодический мажор
B6A - Эолийский с пониженной квинтой
DAA - Супер локрийский
B55 - Мелодический минор
D56 - Дорийский с пониженной 2 ступенью
AAD - Лидийский с увеличенной квинтой
AB6 - Лидийский доминантный
Преобразуем Мелодический мажор в 19-TET при помощи «простого» преобразования:
ADA -> 494A4
(Здесь не было тритона к тонике, поэтому при преобразовании в 19-TET не возникло никакой неоднозначности). Пока всё прекрасно, 494A4 вполне себе Мелодический мажор в 19-TET.
Построим семейство Мелодического мажора/минора в 19-TET. Циклически сдвигая структуру 494A4 получаем остальные лады семейства:
494A4 - Мелодический мажор
4A524 - Эолийский с пониженной квинтой
52924 - Супер локрийский
4A492 - Мелодический минор
52494 - Дорийский с пониженной 2 ступенью
49252 - Лидийский с увеличенной квинтой
49294 - Лидийский доминантный
Здесь тоже всё отлично. Даже названия соответствуют действительности.
Попробуем получить это семейство из 12-TET при помощи «простого» преобразования:
Нужную структуру удалось получить только для 5 ладов из 7 (выделены цветом).
Таким образом, «простое» преобразование при всех своих достоинствах оказалось неспособным преобразовать DAA (Супер локрийский) и AAD (Лидийский с увеличенной квинтой) в соответствующие лады в системе 19-TET. Это, конечно, связано с выходом квинтовой структуры 19-TET лада за пределы в ±6 квинт. При этом, обратное, однозначное преобразование 19-TET в 12-TET, безошибочно переводит данное семейство ладов из 19-TET в 12-TET.
Описанная выше ситуация довольно распространённая. Достаточно сказать, что такое же явление наблюдается и в семействе Гармонического мажора и в семействе Гармонического минора.
Отсюда естественным образом вытекает необходимость замены «простого» преобразования на более общее, я назвал его «всевариантным», поскольку оно позволяет получить полный набор всех 19-TET ладов, дающих при обратном преобразовании исходный 12-TET лад:
(жирным выделены стрелки, относящиеся к варианту «простого» преобразования).
По сравнению с «простым» преобразованием, здесь очень много неоднозначностей. По сути каждая развилка увеличивает вдвое количество вариантов. Поэтому у 12-TET лада может быть до 27 = 128 прообразов в 19-TET.
Интересная картинка, но похоже, нужная только для того чтобы понять: слишком большое количество вариантов сводит на нет возможность применения всевариантного преобразования «в лоб». Даже алгоритмически перебирать все эти варианты очень неудобно.
Проблему можно решить с другого конца. Вспомним критерий того, что «простое» преобразование «не справилось». Критерий такой: полученный при помощи «простого» преобразования 19-TET лад не входит в ожидаемое семейство ладов. А правильный лад входит. Значит нужно исследовать все семейства 19-TET ладов, которым через преобразование из 19-TET в 12-TET соответствуют семейства 12-TET ладов. Хотя 19-TET ладов очень много, зато преобразование 19-TET лада в 12-TET всегда однозначно, и легко алгоритмизируется:
Составив список всех семейств 19-TET ладов, которым соответствуют семейства 12-TET ладов, можно в явном виде получить соответствие 12-TET ладов 19-TET ладам.
Полный перебор при помощи компьютера показал, что существует 503 семейства 19-TET ладов, связанных с семействами 12-TET ладов. Полный список семейств 19-TET ладов, связанных с семействами 12-TET ладов, великоват для поста в ЖЖ, поэтому приведу ссылку на файл:
Файл: Связь семейств 19-TET ладов с семействами 12-TET ладов.doc
Типичный фрагмент файла:
455 45292 52928 4A4A2* 52514* 49452 4A294* 514A4* 4
9B5 DAC B59 D66 ACD B36 CDA
456 49252 49294* 494A4* 4A524* 52924 4A492* 52494* 5
AAD AB6 ADA B6A DAA B55 D56
457 49292* 49494* 4A4A4* 52524* 49492* 4A494* 524A4* 7
AB5 AD6 B5A D6A AD5 B56 D5A
Числа в начале строк - номера семейств. Звёздочками (*) выделены 19-TET лады, которые можно получить из 12-TET ладов через «простое» преобразование. Цифра в конце строки - количество таких ладов в семействе. Жирным выделены изоморфные семейства (см. 101, 102, 103), все 12-TET лады которых связаны с 19-TET ладами через «простое» преобразование.
Оказалось, что одному семейству 12-TET может соответствовать несколько (не более трёх) семейств 19-TET ладов. И соответствено один 12-TET лад может быть связан через семейства с несколькими (не более трёх) 19-TET ладами. В значительном количестве случаев, среди этих вариантов есть вариант связывающий лады через «простое» преобразование.
Искать по этому файлу какие 19-TET лады соответствуют заданному 12-TET ладу легко, но неудобно. Поэтому разумно упорядочить информацию оттуда по 12-TET ладам:
Файл: Связь ладов 12-TET с ладами 19-TET через семейства (список общий).doc
Файл содержит полный список 12-TET ладов, связанных с 19-TET ладами через семейства. Всего 1794 лада (довольно много, напомню что общее количество 12-TET ладов: 1+211 = 2049, это с учётом «Гаммы Джона Кейджа :)»). Соответствующие им 19-TET лады, разумеется, тоже приведены в файле.
Входящие в общий список 12-TET лады, по типу связи с 19-TET ладами, можно разбить на 4 категории:
1) Связь через «простое» преобразование, без тритоновой неоднозначности. Могут дополнительно иметь связь и через всевариантное преобразование.
2) Связь через «простое» преобразование, с тритоновой неоднозначностью (два варианта). Могут дополнительно иметь связь и через всевариантное преобразование.
3) Связь с 19-TET ладами только через всевариантное преобразование, но без неоднозначности (ограничения, внесённые структурой семейств оставили единственный вариант).
4) Связь с 19-TET ладами только через всевариантное преобразование, с неоднозначностью (ограничения, внесённые структурой семейств оставили два варианта).
Файл: Связь ладов 12-TET с ладами 19-TET через семейства (список по категориям).doc
Несколько слов про разрешение неоднозначностей.
Общий список, как и список по категориям, содержит все возможные варианты преобразования ладов 12-TET в 19-TET через семейства. Многие 12-TET лады имеют по два-три варианта преобразования в 19-TET лад. Существует большой соблазн оптимизировать эти списки, оставив «самые правильные» варианты. Ну или хотя бы сформулировать какие-то принципы по выбору наиболее удачного варианта.
По возможности отдавать предпочтение «простому» преобразованию перед всевариантным? Стараться выбирать вариант с более компактной квинтовой структурой? Выбирать 19-TET лад из семейства в котором максимальное количество ладов связано с семейством в 12-TET через «простое» преобразование? Судить по совпадению типов трезвучий которые можно построить на соответствующих ступенях 12-TET и 19-TET лада?
Но всё не так просто. Хотя во многих случаях лучший вариант определить несложно, видимо универсального способа решить какой из вариантов лучше не существует.
В качестве примера приведу лад D98 (Ультра фригийский без 7 ступени). Возможные варианты преобразования в 19-TET: 528A0 530A0* 650C0. Каждый из вариантов по своему неплох, но какой же из них лучший?
Видимо, это как раз то место, где сухая теория должна уступить место композиторскому чутью и волшебной силе музыкального искусства :)
Оглавление Словарь Словарь МТ
Рассмотренное ранее преобразование 12-TET ладов в 19-TET (см. 099) обладает множеством приемуществ:
1) Каждая ступень преобразуется к наиболее близким частотам (подразумеваем что опорная частота преобразования звукоряда 12-TET в звукоряд 19-TET совпадает с тониками обоих ладов);
2) Неоднозначность в преобразовании приводит не более чем к двум возможным результатам, из которых несложно выбрать наиболее подходящий;
3) Идеально работает для ладов с узкой квинтовой структурой, обеспечивая совместимость на уровне семейств ладов и последовательностей аккордов которые можно построить на ступенях (см. 101, 102, 103).
Можно было бы назвать это преобразование «простым». К сожалению, нельзя сказать что это преобразование наилучшим образом подходит для абсолютно всех ладов.
Приведу пример. Рассмотрим семейство Мелодического мажора/минора в 12-TET:
ADA - Мелодический мажор
B6A - Эолийский с пониженной квинтой
DAA - Супер локрийский
B55 - Мелодический минор
D56 - Дорийский с пониженной 2 ступенью
AAD - Лидийский с увеличенной квинтой
AB6 - Лидийский доминантный
Преобразуем Мелодический мажор в 19-TET при помощи «простого» преобразования:
ADA -> 494A4
(Здесь не было тритона к тонике, поэтому при преобразовании в 19-TET не возникло никакой неоднозначности). Пока всё прекрасно, 494A4 вполне себе Мелодический мажор в 19-TET.
Построим семейство Мелодического мажора/минора в 19-TET. Циклически сдвигая структуру 494A4 получаем остальные лады семейства:
494A4 - Мелодический мажор
4A524 - Эолийский с пониженной квинтой
52924 - Супер локрийский
4A492 - Мелодический минор
52494 - Дорийский с пониженной 2 ступенью
49252 - Лидийский с увеличенной квинтой
49294 - Лидийский доминантный
Здесь тоже всё отлично. Даже названия соответствуют действительности.
Попробуем получить это семейство из 12-TET при помощи «простого» преобразования:
Нужную структуру удалось получить только для 5 ладов из 7 (выделены цветом).
Таким образом, «простое» преобразование при всех своих достоинствах оказалось неспособным преобразовать DAA (Супер локрийский) и AAD (Лидийский с увеличенной квинтой) в соответствующие лады в системе 19-TET. Это, конечно, связано с выходом квинтовой структуры 19-TET лада за пределы в ±6 квинт. При этом, обратное, однозначное преобразование 19-TET в 12-TET, безошибочно переводит данное семейство ладов из 19-TET в 12-TET.
Описанная выше ситуация довольно распространённая. Достаточно сказать, что такое же явление наблюдается и в семействе Гармонического мажора и в семействе Гармонического минора.
Отсюда естественным образом вытекает необходимость замены «простого» преобразования на более общее, я назвал его «всевариантным», поскольку оно позволяет получить полный набор всех 19-TET ладов, дающих при обратном преобразовании исходный 12-TET лад:
(жирным выделены стрелки, относящиеся к варианту «простого» преобразования).
По сравнению с «простым» преобразованием, здесь очень много неоднозначностей. По сути каждая развилка увеличивает вдвое количество вариантов. Поэтому у 12-TET лада может быть до 27 = 128 прообразов в 19-TET.
Интересная картинка, но похоже, нужная только для того чтобы понять: слишком большое количество вариантов сводит на нет возможность применения всевариантного преобразования «в лоб». Даже алгоритмически перебирать все эти варианты очень неудобно.
Проблему можно решить с другого конца. Вспомним критерий того, что «простое» преобразование «не справилось». Критерий такой: полученный при помощи «простого» преобразования 19-TET лад не входит в ожидаемое семейство ладов. А правильный лад входит. Значит нужно исследовать все семейства 19-TET ладов, которым через преобразование из 19-TET в 12-TET соответствуют семейства 12-TET ладов. Хотя 19-TET ладов очень много, зато преобразование 19-TET лада в 12-TET всегда однозначно, и легко алгоритмизируется:
Составив список всех семейств 19-TET ладов, которым соответствуют семейства 12-TET ладов, можно в явном виде получить соответствие 12-TET ладов 19-TET ладам.
Полный перебор при помощи компьютера показал, что существует 503 семейства 19-TET ладов, связанных с семействами 12-TET ладов. Полный список семейств 19-TET ладов, связанных с семействами 12-TET ладов, великоват для поста в ЖЖ, поэтому приведу ссылку на файл:
Файл: Связь семейств 19-TET ладов с семействами 12-TET ладов.doc
Типичный фрагмент файла:
455 45292 52928 4A4A2* 52514* 49452 4A294* 514A4* 4
9B5 DAC B59 D66 ACD B36 CDA
456 49252 49294* 494A4* 4A524* 52924 4A492* 52494* 5
AAD AB6 ADA B6A DAA B55 D56
457 49292* 49494* 4A4A4* 52524* 49492* 4A494* 524A4* 7
AB5 AD6 B5A D6A AD5 B56 D5A
Числа в начале строк - номера семейств. Звёздочками (*) выделены 19-TET лады, которые можно получить из 12-TET ладов через «простое» преобразование. Цифра в конце строки - количество таких ладов в семействе. Жирным выделены изоморфные семейства (см. 101, 102, 103), все 12-TET лады которых связаны с 19-TET ладами через «простое» преобразование.
Оказалось, что одному семейству 12-TET может соответствовать несколько (не более трёх) семейств 19-TET ладов. И соответствено один 12-TET лад может быть связан через семейства с несколькими (не более трёх) 19-TET ладами. В значительном количестве случаев, среди этих вариантов есть вариант связывающий лады через «простое» преобразование.
Искать по этому файлу какие 19-TET лады соответствуют заданному 12-TET ладу легко, но неудобно. Поэтому разумно упорядочить информацию оттуда по 12-TET ладам:
Файл: Связь ладов 12-TET с ладами 19-TET через семейства (список общий).doc
Файл содержит полный список 12-TET ладов, связанных с 19-TET ладами через семейства. Всего 1794 лада (довольно много, напомню что общее количество 12-TET ладов: 1+211 = 2049, это с учётом «Гаммы Джона Кейджа :)»). Соответствующие им 19-TET лады, разумеется, тоже приведены в файле.
Входящие в общий список 12-TET лады, по типу связи с 19-TET ладами, можно разбить на 4 категории:
1) Связь через «простое» преобразование, без тритоновой неоднозначности. Могут дополнительно иметь связь и через всевариантное преобразование.
2) Связь через «простое» преобразование, с тритоновой неоднозначностью (два варианта). Могут дополнительно иметь связь и через всевариантное преобразование.
3) Связь с 19-TET ладами только через всевариантное преобразование, но без неоднозначности (ограничения, внесённые структурой семейств оставили единственный вариант).
4) Связь с 19-TET ладами только через всевариантное преобразование, с неоднозначностью (ограничения, внесённые структурой семейств оставили два варианта).
Файл: Связь ладов 12-TET с ладами 19-TET через семейства (список по категориям).doc
Несколько слов про разрешение неоднозначностей.
Общий список, как и список по категориям, содержит все возможные варианты преобразования ладов 12-TET в 19-TET через семейства. Многие 12-TET лады имеют по два-три варианта преобразования в 19-TET лад. Существует большой соблазн оптимизировать эти списки, оставив «самые правильные» варианты. Ну или хотя бы сформулировать какие-то принципы по выбору наиболее удачного варианта.
По возможности отдавать предпочтение «простому» преобразованию перед всевариантным? Стараться выбирать вариант с более компактной квинтовой структурой? Выбирать 19-TET лад из семейства в котором максимальное количество ладов связано с семейством в 12-TET через «простое» преобразование? Судить по совпадению типов трезвучий которые можно построить на соответствующих ступенях 12-TET и 19-TET лада?
Но всё не так просто. Хотя во многих случаях лучший вариант определить несложно, видимо универсального способа решить какой из вариантов лучше не существует.
В качестве примера приведу лад D98 (Ультра фригийский без 7 ступени). Возможные варианты преобразования в 19-TET: 528A0 530A0* 650C0. Каждый из вариантов по своему неплох, но какой же из них лучший?
Видимо, это как раз то место, где сухая теория должна уступить место композиторскому чутью и волшебной силе музыкального искусства :)
Оглавление Словарь Словарь МТ