Начала физики. часть II
* * * предыдущая часть * * *
Итак, мы знаем, что в искривлённом пространстве невозможно оперировать какими-либо координатами, поскольку нет ни координатных осей, ни возможности провести перпендикуляр к ним, чтоб узнать координату. Если ли способ описать произвольное метрическое пространство, не прибегая к координатам? Да, такой способ есть.
Давайте представим себя первобытными людьми, имеющими на вооружении только каменные линейки без делений и циркули, а также лианы, камни и небо над головой. Мы не знаем, что такое метр, секунда, килограмм. Мы пока еще не знаем, искривлено ли пространство, сколько у него измерений и т.д. Что мы, как первобытные люди, можем узнать о мире при помощи этих инструментов?
Встав около выхода из пещеры, первобытный человек оглядывает окрестности. Он может смотреть вправо, влево, вверх и т.д. Но при всём этом существует одно направление, выделяющееся из всех остальных: это направление "вперёд". Все остальные направления мы называли относительно этого главного направления: например "влево" - это слева от "вперёд".
Крутить головой наблюдатель может, так как шея имеет несколько степеней свободы - т.е. различимых способов поворота головы. В одномерном пространстве вертеть головой не удастся - в нём ровно ноль степеней свободы. В двухмерном пространстве наблюдатель получает одну степень свободы - он может смотреть влево и вправо. В трехмерном можно еще и задрать голову или наклонить её. Иными словами, количество вращательных степеней свободы на единицу меньше, чем размерность пространства.
Также, мы можем оценивать расстояние до объектов. Человек не может на глаз сказать, сколько точно метров до рассматриваемого объекта, но может сравнить расстояния до двух объектов: "ближе" или "дальше". Если наш неандерталец знает математику, он может сказать также - "ближе в два раза" или "дальше в восемь раз", может выбрать эталон метра(например свою дубину), и измерять углы.
А как же узнать, искривлено ли пространство? Воспользоваться определением кривизны мы не можем, так как у нас под рукой нету "соотвествующих плоских объектов" для сравнения. Попытки измерить изменение расстояний также будут бесплодны: у нас нет такого эталона, про который можно сказать, что он - "прямой". Тем не менее, есть один параметр, который поддаётся непосредственному измерению, и описывает кривизну пространства в данной точке: это полный (телесный) угол, который можно обозревать из данной точки.
В прямом 2-х мерном пространстве наблюдатель в любой точке может сделать полный оборот, повернувшись на 2π. Если пространство вогнуто, этот угол будеть меньше, а если выпукло - больше. Для эвклидова 3-х мерного пространства полный телесный угол составляет 4π, и отличие реально обозримого телесного угла будет характеристикой кривизны пространства в данной точке.
Общепринятное же определение изначально дефектно, так как оперирует длиной - характеристикой протяженных объектов, тогда как кривизна может быть обнаружена даже точечным наблюдателем. К тому же нельзя сказать, является ли искривление протяженного объекта следствием кривизны пространства, или оно возникло из-за иных причин.
* * * продолжение * * *