Начала физики. часть III.

[ckotinko]

     * * * предыдущая часть * * *

Экспериментально можно определить, что наш мир - трёхмерный. Для указания любого направления в нём достаточно ровно двух поворотов. Но что же мешает ему быть четырех-, пяти- и т.д. -мерным? Ответ на этот вопрос кроется в свойствах поворотов в пространстве. Рассмотрим их поподробнее.

В 19м веке человечество создало мощный математический аппарат для анализа пространственных преобразований: комплексные числа. Что это такое? Рассмотрим обычное число а. Это число можно представить себе, как координату в одномерном пространстве. Однокомпонентное число отражает одну единственную степень свободы. Для того, чтобы перейти к двухмерному пространству добавляют еще одну компоненту: a+bi.

Очевидно было бы предположить, что значения a и b - это компоненты вектора, указывающего на точку в двухмерном пространстве, и таким образом комплексное число - это еще один способ описания векторов. Но это неверно. Если перемножить два вектора (a,b) и (c,d), мы получим скаляр a·c+b·d, в то время, как произведение двух комплексных чисел будет комплексным числом: a·c-b·d+i(a·d+b·c). Таким образом, комплексные числа не являются аналогом векторов.


Однако задача упростится, если мы запишем комплексное число, модуль которого равен единице, как cos(φ)+isin(φ). Выберём за направление "вперёд" ось Х. Очевидно, что при умножении этого числа на вещественное число R, мы получим комплексное число, компоненты которого являются координатами точки, направление на которую отклоняется "влево" от направления "вперёд" на угол φ, а расстояние до неё равно R. Произведение двух комплексных чисел, отражающих повороты на углы φa и φb даёт новое комплексное число, отражающее поворот на суммарный угол φa+φb:

A·B=cos(φa+φb)+i·sin(φa+φb)

Таким образом, комплексное число, модуль которого равен единице, отражает преобразование поворота в двухмерном пространстве. А что будет происходить, если мы разделим вещественное число на комплексное, модуль которого равен единице?

По определению, для комплексных чисел A/B=A*Bсопряженное/|B|2. Bсопряженное определяется как a-ib, тогда как просто B=a+ib. Пусть А=1, |В|=1. Тогда:

1/B=cos(φ)-isin(φ)=cos(-φ)+isin(-φ)

Иными словами, число, обратное таковому, описывающему преобразование вращения, описывает преобразование вращения в обратную сторону:

R(φ)-1=R(-φ); R(φ)·R(φ)-1=E;

Надо отметить, что не всякое комплексное число имеет обратное ему: модуль комплексного числа не должен быть равен нулю. Если для "двухмерных" комплексных чисел, описывающих повороты модуль всегда положителен(a2+b2 всегда больше нуля для положительных a и b), аналогично и для "трехмерных" поворотов, то для комплексных чисел большего порядка таковое ограничение становится уже критичным, и не все наборы компонент оказываются применимы для описаний пространственных преобразований.

Теперь перейдём к трёхмерным вращениям. Вращение в трехмерном пространстве описываются кватерионами: a+b·i+c·k+d·j. Кватерион получается удвоением двухмерного комплексного числа, точно также, как двухмерное комплексное число получается удвоением "одномерного" вещественного числа с мнимой единицей удвоения J2=-1:

Q=K1+J·K2

Что означает данная запись? Да то, что кватерион состоит из двух последовательных поворотов! Число вращательных степеней свободы в трехмерном пространстве равно двум, следовательно, для задания направления нам потребуется два поворота. Хотя у кватериона четыре компоненты, но тем не менее, к четырёхмерному пространству его относить нельзя: кватерион описывает трёхмерный поворот.

Для вращения в двухмерном пространстве нам требовался лишь угол, поскольку вращение происходило всегда вокруг одной и той-же "оси" Z, "перпендикулярной" пространству. Таким образом, для описания двухмерного поворота достаточно одной компоненты. Но поскольку поворот описывается не самим углом, а тригонометрическими функциями от него, то для однозначности описания нужно две компоненты. Для вращения в трёхмерном пространстве такую ось можно однозначно задать тремя компонентами, четвёртым будет угол, на который надо повернуть точку вокруг заданной оси. Итого 4 компонента. Если же вы хотите описать вращение в четырёхмерном пространстве, вам потребуется как минимум более четырёх компонент!

Квантерион вида:

Q=(cos(φ)+i·sin(φ)·(i·cos(α)+j·cos(β)+k·cos(γ)))/2

задаёт вращение на угол φ вокруг вектора, заданного направляющими углами α, β, γ между осью вращения и осями координат. Для поворота требуется произвести операцию Q·R·Q-1, где R-некий вектор. Физическая сущность этого преобразования описывается в любом справочнике по трёхмерной графике: сперва мы совмещаем ось поворота с направлением "вперёд", затем поворачиваем пространство, затем возвращаем ось поворота в её исходное положение.

А что же насчет пространств большей размерности? Увы, еще в XIX веке Фердинанд Георг Фробениус доказал, что алгебры с делением существуют только в пространствах размерности один (вещественные числа), два (комплексные числа) и четыре (кватернионы). Без деления невозможны существующие в реальном мире полярные системы отсчёта, следовательно, такие пространства в реальности не существуют.

Подготовлено по следующим материалам:

• педивикия: Quaternions and spatial rotation
• Акимов О.Е. "Обобщенное комплексное число"
• Акимов О.Е. "Гиперкомплексные числа"
• Акимов О.Е. "Представления группы кватерниона"
• Каратаев Е.А. "Квантерионы"

* * * продолжение следует * * *