Пенроуз о неалгоритмизуемости человеческого сознания

[evgeniirudnyi]

Из обсуждения с gul_kievЕще раз полистал книгу Ершова и Целищева 'Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании'. Ниже что хорошо подходит к обсуждению - из того, что я могу понять

Comments

[p2004r]

Платонизм: математические истины существуют независимо от человеческого разума и физической реальности (позиция Пенроуза).

Формализм: математика - это игра с символами по правилам, не связанная напрямую с реальным миром.

В первом случае мы говорим, что "математика это всегда геометрия и в этом смысле существует объективно ". Во втором случае мы говорим "математика это язык".

[evgeniirudnyi]

Утверждение "математика это язык" слишком не точно, поскольку в данном случае "язык" имеет слишком много коннотаций. Отличие от естественного языка в наличии четких количественных ограничений на математические структуры, а также эквивалентных формальных преобразований. С точки зрения физики это отличие хорошо продемонстрировано Фейнманом в лекции:

ЛЕКЦИЯ 2. СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ФИЗИКОЙ

http://vivovoco.astronet.ru/VV/Q_PROJECT/FEYNMAN/LECTURE2.HTM

[amin_abu_kitab]

Вы правы, язык - плохой термин. Лучше говорить о том, что математика это вербальное поведение. Эквивалентные формальные преобразования тут не помеха. Достоинство де определения математики как вербального поведения против языка в том, что оно восстанавливает необзодимость в управляющих связях, выводящих нас на средовые переменные. Иначе говоря, сколь бы абстрактна ни была некая часть математики, мы способны размотать этот клубок до реальности, о которой она говорит. И если этот клубок не разматывается так в принципе, то мы имеем перед собою не математику, а чистую игру слов. И тогда окажется, что нам нет надобности ни в формализме, ни в платонизме. Вот такое есть предложение.

[evgeniirudnyi]

Не думаю, что так получится. Например, в настоящее время существует классический анализ с обычной числовой осью и нестандартный анализ, когда в числовую ось добавлены настоящие бесконечно малые (в духе Лейбница). Какой из анализов связан с реальностью? Думаю, что никакой.

[alaev]

Надо бы почитать книжку. Тем более что с обоими авторами, можно сказать, даже пил неоднократно, не говоря про прочее.

Но пока не прочитал, приведу на всякий случай пример. Если вы выбираете аксиомы ZFC в качестве формальной основы математики, то всё, что можно доказать в рамках ZFC, перечисляется некоторым алгоритмом (который просто механически перебирает все доказательства). Известно, что континуум-гипотезу CH нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках ZFC (это теорема Гёделя-Коэна). Это означает, что алгоритм для ZFC не может дать вам ответ, истинна CH или нет.

Но люди вполне могут каким-то образом прийти в общему мнению относительно CH, и договориться считать её верной, или наоборот неверной. Хотя к какому именно варианту они придут, или не придут, заранее понять невозможно.

Это был некоторый аргумент в пользу менталистов.

P.S. Некоторые авторы выше пишут про математику и мета-математику всякую лажу, но дискутировать с ними настроения нет.

[evgeniirudnyi]

Насколько я слышал, ситуация с континуум-гипотезой такая же как в свое время с аксиомой о параллельных. Можно принять, можно отвергнуть - получается две разные математики.

[alaev]

Да, точно так. А вот какой вариант лучше, это нетривиальный вопрос.

[evgeniirudnyi]

Что могло бы значить "лучше" с точки зрения математики?