Оффтопный вопрос. К своему стыду сообразил. что не могу придумать доказательство простейшей формулы (a*b)/(c*d) = (a/c)*(b/d), то бишь правило умножения дробей. И что еще более интересно, я не нашел доказательство в сети интернета. М.б. вы его знаете?
Для начала надо вспомнить, как определяется частное двух чисел. Под x/y, где y не равно нулю, понимается такое число z, для которого zy=x. Поэтому (x/y)y=x.
Как часто говорят, "деление проверяется умножением". Это значит, что если мы хотим проверить, что какое-то число равно частному (ab)/(cd), мы должны умножить это число на cd, и убедиться, что результат равен ab. Сделаем это для числа из правой части: (a/c)(b/d)*cd=(a/c)c(b/d)d=ab, что и требовалось.
Здесь было использовано то, что сомножители можно переставлять (коммутативный закон умножения).
Уже не помню, почему тут была более слабая версия.
По индукции имеем x(n) < an при n > 1. Далее, x(n+1) < x(n)+ x(n) x(n+1)/n^2, то есть 1/x(n) < 1/x(n+1) +1/n^2, так что при n > k получаем 1/x(n) > 1/x(k)-1/k^2-1/(k+1)^2-1/(k+2)^2-...>1/ak-1/k(k-1)-1/k(k+1)-1/(k+1)(k+2)-...=1/ak-1/(k-1), что при k > 1/(1-a) положительно.
Ничего сейчас не помню. Но помню, что рекуррентные последовательности похожи на обыкновенные дифференциальные уравнения. А их решения нам показывали, а в матанализе дифференцируемых функций одной переменной были вопросы исследования на ограниченность. Поэтому я бы пытался делать так. Пытался бы найти ответ для последовательности (по которым я, по сути, ничего не читал) по аналогии с вещественно определёнными функциями и т.д.
Здесь вся штука в том, что итоговая последовательность получается "дикая", и никто не знает до конца, как она себя ведёт, и на что похожа. Поэтому решить в явном виде не получается, и исследовать надо косвенно.
Да, именно так и надо делать! Сначала решаем функциональное уравнение f'(t)=f^2/t^2, находим 1/f=1/t+const. Эта аналогия подсказывает, что рассматривать надо последовательность 1/x(n), а не x(n).
Я пытался себе это представить в таком виде -- пусть и на не совсем строгом уровне. Но к чему ведёт такой подход? Можем ли мы на основании этого получить какую-то оценку асимптотического поведения последовательности (функции)? Это было бы интересно в свете того, к чему стремится последовательность, как быстро она это делает, и так далее.
Если t(n)=1/x(n), то t(n+1)=n^2*t^2(n)/(n^2*t(n)+1); |t(n+1)-t(n)|=t(n)/(n^2*t(n)+1) < t(n)/(n^2*t(n))=1/n^2 -> 0 при n->inf. Функция предела от первого значения в полулогарифмических координатах выглядит симметрично и очень знакомо, но пока что-то не подбирается ничего внятного.
Если переходить к обратным величинам, то надо доказывать, что они отделены от нуля. Ряд из 1/n^2 сходится к п^2/6, но здесь как-то должно использоваться то, что первый член меньше 1, потому что без этого предположения ограниченности не будет.
Comments 23
Reply
Reply
Как часто говорят, "деление проверяется умножением". Это значит, что если мы хотим проверить, что какое-то число равно частному (ab)/(cd), мы должны умножить это число на cd, и убедиться, что результат равен ab. Сделаем это для числа из правой части: (a/c)(b/d)*cd=(a/c)c(b/d)d=ab, что и требовалось.
Здесь было использовано то, что сомножители можно переставлять (коммутативный закон умножения).
Reply
Reply
По индукции имеем x(n) < an при n > 1. Далее, x(n+1) < x(n)+ x(n) x(n+1)/n^2, то есть 1/x(n) < 1/x(n+1) +1/n^2, так что при n > k получаем 1/x(n) > 1/x(k)-1/k^2-1/(k+1)^2-1/(k+2)^2-...>1/ak-1/k(k-1)-1/k(k+1)-1/(k+1)(k+2)-...=1/ak-1/(k-1), что при k > 1/(1-a) положительно.
Интересно изучить предел как функцию от a.
Reply
То решение, которое мне известно, несколько отличается (хотя самый первый шаг такой же). Чуть позже могу изложить.
Поведение предельной функции действительно интересно. Хотелось бы изучить пускай на численном уровне.
Ваш коммент я пока временно "заскриню". Может, у кого другие способы будут.
Reply
Но помню, что рекуррентные последовательности похожи на обыкновенные дифференциальные уравнения. А их решения нам показывали, а в матанализе дифференцируемых функций одной переменной были вопросы исследования на ограниченность.
Поэтому я бы пытался делать так. Пытался бы найти ответ для последовательности (по которым я, по сути, ничего не читал) по аналогии с вещественно определёнными функциями и т.д.
Reply
Reply
Reply
Reply
Функция предела от первого значения в полулогарифмических координатах выглядит симметрично и очень знакомо, но пока что-то не подбирается ничего внятного.
Reply
Reply
1. $x_n < n$ - доказывается по индукции.
2. Пусть $y_n = x_n/n$, $0 < y_n < 1$. Тогда
$y_n - y_{n + 1} = y_n(1 - y_n)/(n + 1)$
Выводы:
Последовательность $y_n$ монотонно убывает.
Ряд $\sum_k y_k(1 - y_k)/(k+1)$ сходится.
3. Пусть $y = \lim_n y_n$. Можно оценить
$y_1 - y_n > y(1 - y_1)/(1/2 + \dots + 1/n)$. Значит, $y = 0$.
4. Тогда $1 - y_n$ отделено от нуля и ряд $\sum_k y_k/(k + 1)$ сходится. $\sum_k y_k/k = \sum_k x_k/k^2$ тоже.
5. $x_{n + 1} = x_1 + \Prod_{k = 1}^n(1 + x_k/k^2)$. Бесконечное поизведение сходится => частичное ограничено.
Надеюсь, нигде не соврал.
Как это делается по человечески?
Reply
Давайте я раскрою сначала решение, которое привёл rus4, а через какое-то время изложу другое, которое было известно мне.
Reply
Reply
Reply
Leave a comment