задача дня -- 3

[falcao]

Вот совсем "свеженькая" интересная задача. Она только вчера вечером появилась, и сам я пока решения не знаю.

Всякое ли рациональное число можно представить в виде произведения четырёх рациональных чисел, сумма которых равна нулю?

Комменты не "скринятся".

Comments

[rus4]

Где появилась-то?

[falcao]

Потом скажу :)

[rus4]

Имеем a^3-(a+1)(a-1/2)^2 = (3a-1)/4:=-r, число r и будем представлять. Положим b = a-1/2, тогда a^3-a b^2 = b^2-r := z, значит r a^4 b^4 = r (r+z) (a b^2) (a b^2+z) = z^4 m (-m-1) (-n) (n+1), если a,b не равны 0, то поделим на a^4b^4 и получим нужное представление. Иначе воспользуемся уже найденным представлением числа r/10000 и умножим его на 10000.

[falcao]

Круто!!!

Спасибо большое!

[rus4]

На здоровье!

Если оставить только ответ, получится x=b*(b/a)*(-a^2/b)*(a^2/b-b-b/a), где a=(1-4*x)/3, b=-(8*x+1)/6.

[falcao]

Кстати, Вас можно будет упомянуть как автора решения?

Ответ в явном виде я из Ваших формул получил, и стало более или менее понятно, как его "добывать". Скажем, можно взять многочлены типа (t+1)^3, -t^2(t+1), -2t^2, -(3t+1). Сумма равна нулю, а произведение равно 4-й степени, умноженной на линейное выражение.