задача дня -- 4

[falcao]

С давних пор мне нравятся задачи на тему сравнения чисел. Обычно берутся какие-то два сравнительно близких друг к другу числа, и требуется определить, какое из них больше. К условию при этом добавляют что-нибудь вроде "не используя калькуляторов и таблиц

Comments

[rus4]

(121/81)^6=(3/2)^6*(242/243)^6=(729/64)*(1-1/243)^6 > (729/64)*(1-6/243)=711/64>11, использовалось неравенство Бернулии (1-x)^n > 1-nx при x от 0 до 1 и натуральном n.

[falcao]

У меня было похожее рассуждение (тоже с использованием близости чисел 242 и 243, и неравенством Бернулли).

[ckotinko]

9^12 = 9^11 *9

(11/9)^11=1.2^11

1.2^11=1.44^5*1.2=2.89^2*1.44*1.2 > 2.89*2.89*1.2*1.2

2.89*1.2 = 3.3

3.3^2>9

[falcao]

Тут вместо равенств имелись в виду неравенства, как я понимаю.

К сожалению, это не проходит, потому что 1.44^2 немногим больше 2, то есть это не 2.89=1.7^2.

[roman_rogalyov]

Сравниваем 11^11 и 9^12,
это всё равно, что (11/9)^12 и 11.

Далее имеем:
(11/9)^12 = (121/81)^6=(3/2 - 1/162)^6 > (3/2)^6 - 6* (3/2)^5 *(1/162) = 729/64 - 3^2/ 2^5 = 729 /64 - 18 /64 = 709 / 64 = 11+ 5/64 > 11;
неравенство
(3/2 - 1/162)^6 > (3/2)^6 - 6* (3/2)^5 *(1/162)
возникает, поскольку биномиальное разложение - знакопеременная сумма убывающих слагаемых, для её оценки снизу можно удержать только два первых члена.

[falcao]

Да, всё так. Я рассуждал очень похожим образом, и числа по ходу дела были примерно такие же. В конце можно сослаться на неравенство Бернулли (оно в школьной программе было до биномиальной формулы).

[roman_rogalyov]

Посыпаю голову пеплом: неравенство Бернулли я прочно забыл...

[roman_rogalyov]

Вот ещё одно решение, оно сложнее, но я его честно проделал без бумажки.

Сравниваем (11/9)^12 и 11

(11/9)^12=(1331/729)^4 > (133/73)^4;

133/73 = (133*137) / (73*137) = (135^2 - 2^2)/10001 = 1.8221 /1.0001> 1.822 /1.0001;

Возводить 1.822 в четвёртую степень трудно, поэтому придётся сравнивать
1.822^2 и sqrt(11)*1.00020001

1.822^2 = (18.00+0.22)^2 / 100 > (324 + 7.92 + 0.04)/100 = 3.3196

Для sqrt(11) нужна оценка снизу, при этом она должна быть меньше, чем 3.3196
Воспользуемся методом касательных Ньютона, и в качестве первого приближения выберем x1=3.32.
x1^2=(3+0.32)^2=11.0224 > 11
sqrt(11) < x1- (x1^2-11)/2/x1 = 3.32 - 0.0224/6.64 = 3.32- 224/664/1000 < 3.32- 224/672/1000 < 3.317

sqrt(11)*1.00020001 < 3.318 < 3.3196 < 1.822^2,

что и требовалось доказать.

P.S. постоянная тонкой структуры =1/137, поэтому помнить равенство 137*73=10001 для физика естественно.

[kcmamu]

11^11 ? 9^12 = 3^24 = 3^25/3 = 243^5/3

Тут замечаем, что 243 очень похоже на 242 = 2*11^2:

11^11/242^5 ? (243/242)^5/3

11/2^5 ? (243/242)^5/3

33/32 ? 1/(242/243)^5

1 + 1/32 ? 1/(1 - 1/243)^5 < 1/(1 - 5/243) = 1 + 5/238

Очевидным образом 1/32 > 5/238 (так как 238 > 5*32 = 160), поэтому "?" = ">".

[roman_rogalyov]

красиво!

[falcao]

Это, наверное, ещё ближе к тому, что было у меня. Та же "игра" с 243 и 242, с возведением в 5-ю степень, и неравенством Бернулли.

[kola111]

С давних пор мне нравятся задачи на тему сравнения чисел.
-------------------------
тоже поделюсь, эта тема вдохновляла лет с 9-ти и может до 15-16-ти.
После тридцати стало тянуть на приведение жизненных ситуаций к математическим моделям, хотя от таких задач в юности просто тошнило.
К чему это, пару лет назад услышал про задачку на экзамене в средней китайской школе(?) падающего медведя в яму, и до кончиков пальцев ощутил, как мы отстали в образовании.
Задачка здесь, а ответ в сети:
Вопрос:

Медведь упал в яму-ловушку глубиной 19.617 метров. Время его падения составило 2 секунды. Какого цвета был медведь?

А. Белый (полярный медведь)
B. Бурый
C. Чёрный
D. Чёрно-коричневый (малайский медведь)
E. Серый (гризли)

[xxxxx]

википедия говорит, что ускорение падения 9.8085 якобы случается на широте 47.758868 то есть примерно на широте Улан-Батора, так что бурый мишка вполне удовлетворяет условию, ежели это случилось на уровне моря. а какой ответ имелся в виду?

[kola111]

погуглите "Медведь упал в яму-ловушку глубиной", журнал блокирует сторонние ссылки, насколько верное не знаю, но последовательность рассуждений впечатляет

[xxxxx]

ну в общем понятно, что поучившись в такой школе они потом производят "китайские кубики"