задача дня -- 8

[falcao]

Давным-давно ничего уже здесь не писал. Октябрь у меня традиционно является "авральным" месяцем, а в этом году он был таковым вдвойне. Нужно было в сжатые сроки составить задачи сразу к двум местным олимпиадам. Но я вроде как справился (несмотря на неудачно составленное расписание в этом семестре), так что теперь можно и в ЖЖ заглянуть. За время

Comments

[173175973]

Сходу доказать сходимость не получается, ищем контрпример.
Для знакопеременных с монотонно убывающими членами сходимость будет (оценка через формулу разности синусов).
Тогда возьмём другую крайность. Ряд состоит из блоков вида b_k + ... + b_k - n_k*b_k, в каждом из которых n_k положительных b_k и "сброс" до нуля, n_k стремится к бесконечности (ограниченные уже пробовали). Для сходимости необходимо и достаточно, чтобы n_k*b_k стремилось к нулю.
Смотрим, что получается из блока синусов.
После сокращения первых членов n_k*sin(b_k) - sin(n_k*b_k) равно 1/6(-n_k*(b_k)^3 + (n_k*b_k)^3) с точностью до o((n_k*b_k)^4)
Можно взять, например, n_k = k и b_k = k^(-4/3)
Тупо, но работает. А хочется чего-то элегантного. Поделитесь своим варинатом.
PS. извините за издевательство на TEX'ом, но Вы первый начали

[falcao]

Я позже опишу свой способ. Рассуждения у меня близкие -- может, чуть попроще технически за счёт более конкретного выбора.

В ЖЖ нет возможности прямой "TEX'изации", поэтому в случае не очень сложных формул, такое "святотатство" я считаю допустимым :)

[xxxxx]

Возьмём такой сходящийся ряд
+1 -1/2 -1/2 <---- A_1 раз повторим
+1/2 -1/4 -1/4 <---- A_2 раз повторим
+1/4 -1/8 -1/8 <----- А_3 раз повторим и так далее,
где количества повторений A_1, A_2, A_3.... совершенно любые числа, сколько ни повторяй, эта фигня всё равно сойдётся к нулю. Так что конкретные A_1, A_2, A_3.... мы выберем парой абзацев позже.

Теперь применим к каждой тройке синус. Во-первых я почти уверен, что сумма каждой тройки для достаточно мелкой дроби будет одного знака, потому что синус не то выпуклый не то вогнутый на [0,епсилон]. А если это я вдруг лажанулся насчёт однознаковости, то можно ограничиться только такими тройками, где будет один знак и которых бесконечно много (а остальные либо вычеркнуть, либо поставить на них A_i=0).

Теперь выберем A_i такими большими, что i-ая тройка синусов повторённая A_i раз будет давать единичку в сумме. Ну и всё, разошлись синусы по закоулочкам.

[falcao]

У меня рассуждение основано примерно на тех же идеях -- разве что сами выражения слегка попроще (тут как бы есть из чего выбрать).

[xxxxx]

ну одно дело решить, другое дело записать аккуратно и без ошибок :)
на самом-то деле решение короче: "с нелинейной функцией? нудащас, как же!"

[journlive]

Возьмём ряд
.....+ (1/j)^1/3 - (1/j)^4/3 - (1/j)^4/3 -...- (1/j)^4/3 +... + (1/n)^1/3 - (1/n)^4/3 - (1/n)^4/3 -...- (1/n)^4/3 ... +
где (1/j)^4/3 в количестве j вычитаемых,
(1/n)^4/3 в количестве n вычитаемых.
Ряд сходящийся , сумма равнa 0.
Через синус пролучим примернно аналог расходящегося ряда -> сумма 1/n,
т.к. согласно разложению синуса в ряд тейлора, второй член имеет степень куба.

[mikev]

Возьмем ряд:
f(1)-f(1)+f(2)-f(2)+…+f(i)-f(i)+…,
где f(x)=x-3
Ясно, что он сходится.
Теперь заменим каждый положительный член на два одинаковых:
f(i) -> f(i)/2+ f(i)/2
Получим:
f(1)/2+ f(1)/2-f(1)+ f(2)/2+ f(2)/2-f(2)+…+ f(i)/2+ f(i)/2-f(i)+…
Ясно, что этот ряд тоже сходится.
Теперь заменим каждый член получившегося ряда его синусом и рассмотрим каждую третью частичную сумму: суммы первых 3, 6, 9 и т.д. членов. Они будут отличаться друг от друга на 2sin(f(i)/2)-sin(f(i))= 2sin(f(i)/2)(1- cos(f(i)/2)). Эта величина будет всегда положительна и уменьшаться как 1/i. Поэтому ряд разойдется.

[falcao]

Из всех предложенных решений это наиболее близко к моему собственному рассуждению. Только там в начале есть опечатка в показателе степени при рассмотрении f(x). При этом понятно, что там имелось в виду. Остальная часть практически совпадает с тем, что я брал за основу.

[mikev]

Да, конечно, показатель -1/3

[journlive]

интересная задача, а где она пересекается с реальным миром?

[falcao]

Ну, это зависит от того, что считать "реальным миром" (тм) :) Для меня мир математических объектов более чем реален: с ними можно напрямую работать, они обладают не зависящими от нас закономерностями, и так далее.

Вообще-то матанализ в целом используется на практике столетиями, вопрос о сходимости рядов постоянно возникает при расчётах. Ясно, что этими вещами как-то надо владеть. Это, конечно, всего лишь упражнение на тему, но тем не менее.

[falcao]

Я не знаю, в какой мере здесь подходит именно слово "монашество", так как оно подразумевает отказ от "мирских благ". Для занятий математикой это вроде как не есть обязательное условие: оно совместимо хоть с "чревоугодием", хоть с "прелюбодеянием", ежели у кого есть такие желания :)

Если имелось в виду нечто общее с религией как таковой, то оно есть: это тезис о том, что реальный (в подлинном смысле слова) мир не исчерпывается миром "физическим".