Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?
Радио, телевидение и попутчики в вечерних электричках уведомят всякого, что „теорема Гёделя о неполноте“ накладывает непреодолимые ограничения на формализацию математики, прокапывая между „доказуемо“ и „истинно“ противопожарную траншею, в которой так удобно петь песни, скатившись даже и с далёкого от математики пригорка.
Изначальная формулировка теоремы Гёделя - полностью синтаксическая: если формальная теория из определённого класса непротиворечива, то она и неполна. Метафизический флёр ей придаёт семантический „довесок“ (точнее „долив“) - замечание о том, что недоказуемое гёделево высказывание истинно. Откуда и делается неутешительный вывод„формальные теории принципиально ущербны (неполны): они не могут доказать некоторые истинные высказывания.“
Что же, в данном случае, понимается под истинностью? А то, что гёделево высказывание выполняется в „стандартной модели“ (no relation) арифметики, где термам формальной теории „из определённого класса“ сопоставляются выражения из обычных натуральных чисел и арифметических операций. Понятно, что непредвзятый наблюдатель (не постулирующий заранее, что модель важнее формальной теории) мог бы сделать совершенно симметричное заключение:„модели принципиально ущербны (переполнены): в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют.“
Вот две точки зрения: первая считает первоначальной истину, вторая доказательство. Действительно ли они равноправны? Конечно нет, однако не по той причине (и не в ту сторону), как обычно полагают. Дело в том, то „синтаксис“, т.е. формальная теория и сопутствующее ей понятие доказательства - один, а соответствующих ему моделей (в которых определена истинность) - много. Поэтому синтаксические понятия, включая доказательство, обладают выделенным статусом, по отношению к массе возможных моделей. Более того, как успокаивает нас теорема Гёделя о полноте (более важная, чем её знаменитая почти-тёзка) высказывание доказуемо тогда и только тогда, когда оно истинно во всех моделях. Значит недоказуемое высказывание, вроде гёделевого, обязательно ложно в некоторых моделях:„модели принципиально ущербны: в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют и которые необходимо ложны в других моделях (т.е. модели обязательно противоречат друг другу).“
Представление о первичности истинности по отношению к доказательству и содержимого по отношению к форме очень древнее и распространённое. Вот некоторые его проявления:
- математические объекты существуют автономно и независимо от нас;
- классический натуральный ряд (т.е. инициальная модель аксиом Пеано) обладает особым статусом среди всех моделей;
- математика есть неформализуемое созерцание эйдосов;
- на самом деле Пятый Постулат Евклида (в совр. варианте - континуум гипотеза, аксиома выбора) верен (не верен);
- „Какая сложная у тебя профессия: у меня столько идей, а не могу написать ни строчки“ - жалоба Э. Моне Малларме.
- Лейбниц не мог знать телефона Анны Карениной;
- математика есть комбинаторная деятельность, как и сочинение сонетов, кулинария и военное искусство;
- варьировать нижележащую теорию множеств (и даже логику) так же естественно и полезно, как и локальную систему координат;
- „Стихи, мой друг, пишутся из слов, а не из идей“.
Шутка.