Drittes Reich strikes back. История Ар.

[furia_krucha]

Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м - „китайца“, в 20-м - „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности

Comments

[moonwalker72]

Для меня экстремальным и непонятным является само существование понятия о бесконечном - одного из идеалов, которому ничто в физическом мире не соответствует. Пенроуз измыслил для этого квантовую метрику с замкнутым временем, в котором число событий конечно, но число повторений каждого события - бесконечно, и такая метрика дает "вклад" в виде квантово-гравитационной суперпозиции и на выходе получается какая-то микромасштабная "загогулина", которая определенным образом влияет на редукцию уже физических квантовых состояний к классическим, причем без наличия оной "загогулины" понятие о бесконечном в сознании "не может возникнуть" - пока это чистая фантазия. А очень жаль. Бесконечное - это высокая и совершенно неочевидная абстракция.

физикализм?

[falcao]

А почему Вы именно "физический мир" берёте в качестве "мерила"? С таким же успехом можно было бы взять в качестве "эталона" то, что находится в моей комнате.

Если так оказывается, что кто-то считает физику ценной и важной, а для построения физических моделей (заведомо не тождественных реальности) используется математический аппарат с привлечением чего-то "идеального", то почему бы не принять это всё в качестве должного?

Re: физикализм?

[furia_krucha]

Тут еще интересно, почему считается что, скажем, электроны (которых, допустим, конечное число) „реальны“, а точки на траекториях этих самых электронов - „идеальны“. Притом что идеальные объекты (т.е. расстояния) можно измерить непосредственно линейкой, а вот измерять параметры электрона можно только очень и очень косвенно.

выпьем за Дедекинда?

[falcao]

Да, если эту мысль "раскручивать", то много к чему можно будет прийти. Только при этом не хотелось бы, чтобы мысль останавливалась в том месте, как у Карнапа (Вы когда-то её цитировали). Тут хотелось бы к идее Бога прийти (пусть "философского") -- это достаточно хороший шанс

моя маленькая бюхнериана

[falcao]

Ответ на коммент отсюда

Эрсте колонне марширен

[furia_krucha]

> Здесь я рассчитывал на то, что Вы согласны со мной по поводу, скажем так, "примитивности" этого мировоззрения.
Я не то чтобы не согласен, просто мне кажется, что обсуждать это все равно, что спорить Спартак лучше или Динамо.

> что означает * между Z и Z
Умножение порядковых типов. Порядковый тип минимального нестандартного натурального ряда выглядит для нас как N+Z*Q. Кстати, возможно имеет смысл использовать именно N+Z*Q, а не N+Z*Z, потому что N+Z*Z это не модель даже для арифметики Пресбургера.

> Вопрос остаётся прежним: что там будет соответствовать x/2?
Строго говоря, мы не знаем. Сложение и умножение в нестандартных моделях не вычислимы на наших машинах Тьюринга (https://en.wikipedia.org/wiki/Tennenbaum's_theorem) если хотя бы один аргумент нестандартен. Однако, понятно, что x/2 будет между 0 и x, в смысле упорядоченности, что позволяет нам поместить его где-то на N+Z*Q.

релятивизированные истины

[falcao]

> обсуждать это все равно, что спорить Спартак лучше или Динамо

Это так в ситуации "общего положения". Точнее сказать, спорить по этому поводу действительно не имеет смысла, но ведь бывает так, что можно соглашаться. Возьмите ситуацию, когда вместе "сошлись" два болельщика именно "Спартака". Тогда они могут просто констатировать этот факт.

По поводу невычислимости на машинах -- это интересное соображение. Правда, из него не следует прямо, что тот объект, который нас интересует, нельзя указать. Скажем, если мне дан какой-то элемент нестандартного ряда в модели N+Z*Q, у которого мне известна "Z-координата" и "Q-координата" (например, обе они равны нулю), то я могу явно указать следующий элемент: это будет (1,0).

То есть я пока не вижу в этом смысле окончательного препятствия: мы можем брать отрезок нестандартного ряда в этой более сложной модели от 0 до того, я обозначил в виде (0,0)=x. Что претендует тогда на роль x/2? У нас есть элементы самого N в начале, и есть другие числа вида (q,k), где q рационально, k целое. При этом q<0,

опять об ’т Хоофта.

[furia_krucha]

> вместе "сошлись" два болельщика именно "Спартака".
Я в этой метафоре скорее предпочитаю бильярд. :-)

> То есть я пока не вижу в этом смысле окончательного препятствия...
Мне кажется препятствие здесь есть и мы про него уже говорили. Если вам удастся при помощи каких-то арифметически методов построить подобную биекицию, то по ней можно будет построить предикат отличающий стандартные числа от нестандартных. А это заведомо невозможно. Т.е. единственная лазейка может быть в использовании методов арифметики второго и больших порядков, но я таких тоже не вижу.

> Почему тогда Ар это не в состоянии сделать -- при всех его удивительных возможностях?
Он это не в состоянии сделать по той же причине, по которой вы отказываетесь принять Ra-omega за натуральный ряд: в силу своих удивительных возможностей, он явно видит, что наш натуральный ряд таковым не являетя. Т.е. наш канонический натуральный ряд существует только в силу слабости нашего разума и ограниченности нашего времени. При тщательном рассмотрении более умным существом, он рассыпается

[ex_juan_gan]

Определение конечного как неизоморфного собственному подобъекту пришельца не устроит?

[furia_krucha]

Конечно устроит, но для него все его числа (включая нестандартные для нас) конечны по Дедекинду. Доказывается по индукции.

[ex_juan_gan]

Пытаюсь понять, как какая-нибудь ω+1 неизоморфна.

[furia_krucha]

У него нет предельных ординалов до конца его натурального ряда. Понятие вполне-упорядоченности (и, следовательно ряд ординалов), зависят от понятия конечности.

[zeit_raffer]

Прекрасное обсуждение, спасибо за удовольствие.
Если можно пару вопросов.

1. При чем здесь третий рейх? Постмодернистские аллюзии бывают непрозрачны, а читатели - не слишком искушены.

2. Есть ли способы описать универсум, в котором живет Есвольп, классическими средствами? С Ар все понятно - элегантный (но, возможно, слишком мощный) подход с ультрастепенью; или минимальная модель с присоединенным нестандартным числом, которую вы с собеседником строите в комментариях. Понятно, что эти шаги "вперед" можно делать в разных направлениях и повторять, так что мы получим достатояный запас нестандартных моделей. Но как сделать шаг назад?

[furia_krucha]

Drittes Reich это термин Фреге, обозначение области математических объектов, отличной от области ментальных состояний (второй рейх) и физического мира (первый рейх).

По поводу второго вопроса можно предложить несколько вариантов.

Можно формализовать теорию множеств Вопенки и построить её модель в ZFC. А можно просто рассмотреть счётную модель ZFC, в ней есть свой континуум, но он с нашей точки зрения счётен, т.е. обитатели этой модели с нашей точки зрения ограничены.

Более интересный подход, это рассмотреть такое число N, что [0, N) это модель PA при условии, что все мета-математические рассуждения ограничены N, т.е. рассматриваются только формулы и доказательства длины меньшей N. Понятно, что таким образом на N накладываются некоторые условия, определяющие ряд „субстандартных“ моделей.

[zeit_raffer]

С Фреге понятно. Вот кто виноват. По-нашему это должно звучать скорее как "тридевятое царство

[furia_krucha]

> Выше вы заметили, что наша омега в мире Ар находится на нелегальном положении.
Не обязательно. Посмотрите обсуждение MAXFIN выше.

Говоря про Вопенку, я имел в виду, что его теория даёт возможность рассматривать нечёткие множества, поэтому в ней можно будет построить в каком-то смысле „конечный“ натуральный ряд, без пародоксального последнего числа (собственно она и строилась как основание ультра-финитаризма).

[nikital2014]

Спасибо, люблю тексты, взрывающие шаблоны. Вертятся на языке некоторые вопросы, и первый таков: Вы терпимо относитесь к гуманитариям? :) Если нет, то дальше можете не отвечать.

Мне не особо понятно, можно ли исходя из этого мысленного опыта принять, что бесконечности не существует? Ведь если Ар может досчитать до нашей, то какой-нибудь Ар-Ар может проделать ту же фишку с его натуральным рядом. А Ар-Ар-Ар с его. И так до бесконе.. упс, до неё же уже досчитали :) То есть какой-то Ар-Ар....будет последним? Но ведь тогда его натуральный ряд будет бесконечен...
Итак, какая-то метабесконечность все же присутствует? А если нет, то чем это принципиально отличается от финитизма?

[furia_krucha]

Гуманитарии полезны.

Мне кажется ваша "лестница Иакова", где Ар-ы пересчитываются числами, создаваемыми в процессе пересчета, демонстрирует что бесконечность не одна, а их много и они образуют иерархию. Это установил еще Кантор, его механизм генерирования т.н. "ординальных чисел" похож на описанный вами.

Ну или вот еще: сноска в знаменитой статье Геделя:

48a The true source of the incompleteness attaching to all formal systems of mathematics, is to be
found-as will be shown in Part II of this essay-in the fact that the formation of ever higher types can be
continued into the transfinite (cf. D. Hilbert, ‘Über das Unendliche’ Math. Ann. 95, p. 184), whereas in every
formal system at most denumerably many types occur. It can be shown, that is, that the undecidable
propositions here presented always become decidable by the adjunction of suitable higher types (e.g. of type w
for the system P). A similar result also holds for the axiom system of set theory.

Обещанная Part II конечно никогда не появилась.

[nikital2014]

Спасибо. Хотя конечно мне сложно представить иерархию бесконечностей без смешивания их в одну.