Применимость математики
Оказывается, не только Пенроуз математически доказал невычислимость человеческого сознания, но и Курт Гёдель в 1970 опубликовал математическое доказательство существования бога (об этом комментарии в том же блоге 1, 2, 3).
И это не стёб типа доказательства, что все лошади одного цвета, это вполне строгий и формальный вывод.
Что я об этом думаю.
Нужно понимать, что такое вообще формальное математическое доказательство, какова его область применимости.
Согласно теореме этого самого Гёделя, невозможно доказать непротиворечивость формальной непротиворечивой системы (обладающей некоторыми необходимыми свойствами) в рамках этой системы. А если система противоречива, в ней можно доказать вообще произвольное утверждение (формулируемое в терминах этой системы). Это значит, что справедливо следующее любопытное утверждение: В рамках формальной теории можно строго доказать её непротиворечивость тогда и только тогда, когда она противоречива. :)
Обычную арифметику (натуральные числа и операции над ними) можно задать аксиоматически, для этого обычно используется аксиоматика Пеано. В рамках аксиоматики Пеано нельзя доказать её непротиворечивость. Значит, может оказаться, что 1=2? Математики считают, что нет, такого быть не может. Потому что аксиоматика Пеано имеет интерпретацию (привычные и понятные нам натуральные числа), и все формальные утверждения, следующие из этих аксиом, будут выполняться на этих числах. Формальная система, имеющая интерпретацию (т.е. обоснованная формальная система) заведомо не является противоречивой, потому что она описывает "реальные" объекты (пусть и "реальные" в платоновском смысле).
Не любое утверждение, справедливое для натуральных чисел, можно доказать из аксиом, и это тоже доказал Гёдель. Примеры справедливых, но недоказуемых в аксиоматике Пеано утверждений, есть, некоторые из них вполне доступны для понимания. Что же произойдёт, если мы возьмём одно из таких утверждений (например, теорему Гудстейна) и добавим аксиому о том, что оно ложно? Такая система останется непротиворечивой (это следует из недоказуемости этого утверждения), но перестанет быть обоснованной. А по одной из теорем всё того же Гёделя, для любой непротиворечивой системы существует интерпретация. Но это будет уже другая интерпретация, не привычные нам числа, а какие-то иные объекты.
Непротиворечивость аксиоматики Пеано доказана, но в другой системе, с привлечением аксиомы трансфинитной индукции. Но как доказать справедливость трансфинитной индукции? Что, если она неверна? Тогда мы получим противоречивость системы ординалов, а за ней и возможность противоречивости аксиоматики Пеано.
Иными словами, если отвлечься от интерпретаций и оставаться лишь в рамках формальных систем, мы получим, что любому доказательству в системе F нельзя доверять, потому что непротиворечивость системы F недоказуема. Можно лишь сказать, что в этом доказательстве нет ошибки, но вполне возможно, что можно настолько же строго доказать и противоположное утверждение. Если выйти за пределы системы F, доказать её непротиворечивость можно, например, в системе G, но кто может гарантировать непротиворечивость системы G? Формально строгое математическое доказательство ничего не может нам гарантировать без интерпретации. А в случае с божественностью интерпретации нет, ведь если мы допускаем интерпретацию этой сущности, то мы тем самым допускаем и существование бога. А если опираться на допущение о наличии бога, в доказательстве его существования нет ничего удивительного. :)
"Гёдель доказал не то, что математика (в особенности арифметика) - это произвольные поиски, направление которых определяется прихотью Человека; он доказал, что математика - это нечто абсолютное, и в ней мы должны не изобретать, но открывать" - написал Пенроуз. А в доказательстве существования бога Гёдель, как раз, вопреки своим же теоремам пытается при помощи математики изобретать новые сущности.
UPD 29.01.2016: Сейчас думаю несколько иначе. Если дать интерпретацию позитивным качествам (Гёдель понимал их как эстетическое и нравственное чувство, противоположность лишениям), то по Гёделю из наличия нравственности следует существование Бога, в этом суть его доказательства и применимости этой теоремы.
И это не стёб типа доказательства, что все лошади одного цвета, это вполне строгий и формальный вывод.
Что я об этом думаю.
Нужно понимать, что такое вообще формальное математическое доказательство, какова его область применимости.
Согласно теореме этого самого Гёделя, невозможно доказать непротиворечивость формальной непротиворечивой системы (обладающей некоторыми необходимыми свойствами) в рамках этой системы. А если система противоречива, в ней можно доказать вообще произвольное утверждение (формулируемое в терминах этой системы). Это значит, что справедливо следующее любопытное утверждение: В рамках формальной теории можно строго доказать её непротиворечивость тогда и только тогда, когда она противоречива. :)
Обычную арифметику (натуральные числа и операции над ними) можно задать аксиоматически, для этого обычно используется аксиоматика Пеано. В рамках аксиоматики Пеано нельзя доказать её непротиворечивость. Значит, может оказаться, что 1=2? Математики считают, что нет, такого быть не может. Потому что аксиоматика Пеано имеет интерпретацию (привычные и понятные нам натуральные числа), и все формальные утверждения, следующие из этих аксиом, будут выполняться на этих числах. Формальная система, имеющая интерпретацию (т.е. обоснованная формальная система) заведомо не является противоречивой, потому что она описывает "реальные" объекты (пусть и "реальные" в платоновском смысле).
Не любое утверждение, справедливое для натуральных чисел, можно доказать из аксиом, и это тоже доказал Гёдель. Примеры справедливых, но недоказуемых в аксиоматике Пеано утверждений, есть, некоторые из них вполне доступны для понимания. Что же произойдёт, если мы возьмём одно из таких утверждений (например, теорему Гудстейна) и добавим аксиому о том, что оно ложно? Такая система останется непротиворечивой (это следует из недоказуемости этого утверждения), но перестанет быть обоснованной. А по одной из теорем всё того же Гёделя, для любой непротиворечивой системы существует интерпретация. Но это будет уже другая интерпретация, не привычные нам числа, а какие-то иные объекты.
Непротиворечивость аксиоматики Пеано доказана, но в другой системе, с привлечением аксиомы трансфинитной индукции. Но как доказать справедливость трансфинитной индукции? Что, если она неверна? Тогда мы получим противоречивость системы ординалов, а за ней и возможность противоречивости аксиоматики Пеано.
Иными словами, если отвлечься от интерпретаций и оставаться лишь в рамках формальных систем, мы получим, что любому доказательству в системе F нельзя доверять, потому что непротиворечивость системы F недоказуема. Можно лишь сказать, что в этом доказательстве нет ошибки, но вполне возможно, что можно настолько же строго доказать и противоположное утверждение. Если выйти за пределы системы F, доказать её непротиворечивость можно, например, в системе G, но кто может гарантировать непротиворечивость системы G? Формально строгое математическое доказательство ничего не может нам гарантировать без интерпретации. А в случае с божественностью интерпретации нет, ведь если мы допускаем интерпретацию этой сущности, то мы тем самым допускаем и существование бога. А если опираться на допущение о наличии бога, в доказательстве его существования нет ничего удивительного. :)
"Гёдель доказал не то, что математика (в особенности арифметика) - это произвольные поиски, направление которых определяется прихотью Человека; он доказал, что математика - это нечто абсолютное, и в ней мы должны не изобретать, но открывать" - написал Пенроуз. А в доказательстве существования бога Гёдель, как раз, вопреки своим же теоремам пытается при помощи математики изобретать новые сущности.
UPD 29.01.2016: Сейчас думаю несколько иначе. Если дать интерпретацию позитивным качествам (Гёдель понимал их как эстетическое и нравственное чувство, противоположность лишениям), то по Гёделю из наличия нравственности следует существование Бога, в этом суть его доказательства и применимости этой теоремы.