Insead et al.

[intriga123]

Еще одна супер-задачка по game theory / теории вероятности.
В этот раз другого типа и, в принципе, несложная, но тоже мне жутко нравится.

Есть телеигра, которая как-то там называется (я забыл, как она называется в Америке, а в России ее нет). Слегка измененные условия (финала) -

Перед вами два мешка денег: в одном 10 купюр по $ 100 (всего $ 1000),

Comments

[ivan_ivan_ivan]

Ну стратегий всего 2.
Либо платим 4 раза за взятие из одного мешка. Пока не получим 20.
Если получили 20 то платим 600 и берем другой мешок.

2-ая стратегия брать по очереди пока не получим 20. Сейчас времени нет посчитать какая из них более выгодная. Метро закрывается. До завтра я думаю уже посчитают.

[intriga123]

Нет, взять одну случайную купюру можно строго один раз!

[overstepping]

1. Платим 600 сразу. Получаем 1000*0,5+320*0,5=660. Выигрыш 660-600=60.

2. Платим 100 сразу.
2(1) если выпадает 100 (вероятность 13/14), выбираем заплатить 600, выбираем мешок из которого НАМ ЗАПЛАТИЛИ и получаем 2/13*220 + 11/13*1000=795,4. (2/13 и 11/13 - это вероятности того, что нам выплатили сотню из, соответственно, маленького и большого мешков, а суммы уменьшены именно на эту выплаченную сотню) И общий исход ветки -100+100-600+795,4=195,4 (с вероятностью 13/14). Уходить домой после 100 нет смысла, т.к. 795,4 > 600.
2(2) если выпадает 20 (вероятность 1/14), выбираем заплатить 600, получаем 1000 (т.к. знаем "правильный" мешок). Чистый исход по всей ветке -100+20-600+1000=320 (с вероятностью 1/14). Уходить домой после 20 также смысла нет.
Средневзвешенный исход всей второй линии: 195,4*(13/14)+ 320*(1/14)=204,3.

3. Уходим сразу домой. Исход = 0.

Получается самый выгодный второй вариант с 204,3 долл. ожидаемой доходности. Но это все при условии, что мы сами выбираем мешок, когда платим 600 во втором раскладе (ты этого не написал

[overstepping]

пардон. В объяснении 2(1) там где написано 11/13*1000 должно быть 11/13*900. Но ответ посчитан исходя из 900.

[overstepping]

по поводу линии рассуждения 2. навеяло комментарием ниже про вероятности 1/14-13/14 и 2/13-11/13:
- поскольку два разных мешка и мы вначале выбираем мешок, а потом купюру, то безусловная вероятность получить сотню: 0,5*1+0,5*0,75=0,875; а безусловная вероятность получить двадцатку: 0,5*0+0,5*0,25=0,125.
- тогда если нам дают сотню, то вероятность того, что она из большого мешка (0,5*1)/0,875=57,14%
- следовательно если после того, как нам дали сотню, мы выбираем тот же мешок, то мы получим 0,5714*900+(1-0,5714)*220=608,55
- тогда общий исход ветки 2(1) равен -100+100-600+608,55=8,55.
- а средневзвешенный исход второй линии равен 0,875*8,55+0,125*320=47,48.

Я теперь голосую за первый вариант с 60:)

Но вообще прикольно как меняются вероятности, от того, сгруппированы ли купюры в один пул или разделены на два.

[intriga123]

Да, это правильный ответ. Опубликую свой красивый через двое суток...

[dirr]

варианты:
1) платим 600$, берем любой мешок. Каждый мешок будет нам попадаться с частотой 1/2 => 1000$/2 + 320$/2 - 600$ = +60$ за попытку
2) платим 100$, берем любую купюру. Тут шанс угадать мешок с 20$, а затем вытащить 20$ и тем самым определить "плохой мешок" - 0.5*0.25=0.125 => (1000$-100$)*0.125 = +112.5$ за попытку
3) Если уходим сразу домой => 0$.

я за вторую стратегию

[intriga123]

Начало праввильное. Решение не полное.

[chillaxedcfa]

Расклад 1. Ничего не платим, выбираем мешок.

Вероятность заработать - 50% (2 события всего, одно благоприятное). Ожидаемая доходность - 400 долларов в случае успеха.

Расклад 2. Платим 100. Вероятность, что достанут 100 = 0,5(это выбор мешка) * ( 1 + 0,75) (это отношение благоприятных исходов к общему количеству исходов в мешках) = 0,875
Следовательно, вероятность получения 20 = 1-0,875 = 0,125
При этом у нас 9 стодолларовых банкнот, а значит:

Вероятность, что полученную сотку достали именно из первого мешка = 6/9 = 66,67%
Вероятность, что полученную сотку достали именно из второго мешка = 3/9 = 33,33%

Итого вероятности развития операции с покупкой одной купюры:

Сотка из первого мешка = 0,875*66,67 = 58,33%
Сотка из второго мешка = 0,875*33,33 = 29,17%
Двадцатка из первого мешка = 0
Двадцатка из второго мешка = 12,5%

Вероятность заработка теперь больше - 58,33% + 12,5% = 70,83%, но ожидаемая доходность меньше - 300 долларов.

Расклад 3. Уходим домой.

Итого выберу расклад 2.

[intriga123]

1. У нас 13 стодолларовых банкнот
2. Вероятности считаются не так.
3. Доходность считается не как "ожидаемая доходность в случае успеха", а "ожидаемая доходность во всех вариантах, взвешенная по вероятности вариантов".

Правильный, хотя и бестолковый (по форме) ответ дал Оверстеппинг.
Из дома (где-то через сутки) напишу мой.

[overstepping]

я просто не хочу обесценить твой пост-ответ своим красивым комментом-ответом:)

[kompleksovnet]

Первый случай. Не платим сотку:
Доход = 1000*0,5 + 320*0,5 = 660
Дисперсия = (660-1000)^2*0,5 + (660-320)^2*0,5 = 57800 + 57800 = 115600

Второй случай:
Если сотка:
Доход = 2/13*220 + 11/13*1000 = 795,4
Дисперсия = (795,4-220)^2*2/13 + (795,4-1000)^2*11/13 = 50936 + 35420 = 86356

Если двадцатка - то нам вообще нисказанно повезло, мы знаем, где нужный мешок:
Доход = -100 + 20 - 600 + 1000 = 320
Дисперсия = 0

Общая модель для второго случая (хотя и так все понятно):
Доход: (795,4-600)* 13/14 + 320 * 1/14 = 181,5 + 22,8 = 204,3
Дисперсия: (204,3 - 195,4)^2*13/14 + (204,3 - 320)^2*1/14 = 73,5 + 956 = 1029,5

Выбираем вариант 2, так как доход в этом случае больший, а дисперсия этого дохода - меньшая.

[intriga123]

Подход более-менее верный. Замечания два:

1. Считать дисперсию - идея хорошая, но вряд ли применима в этом случае. Во-первых, всего два значения. Во-вторых, в задаче ничего не говорится про цену риска, и пока непонятно как его "всчитать", я его бы не считал.

2. Веротности просто неправильно посчитаны. Если перед тобой два мешка, в одном из которых 1000, а в другом 320, то вероятность вытащить двадцатку - не 1/13 категорически! Из этого вытекают и слеующие ошибки (updated probabilities).