Толковые словари представляют эти понятия почти тождественными, толком не пытаясь объяснить смысл каждого из них.
Толковый словарь Даля
Потребность - нужда, надобность, потреба.
Толковый словарь Ушакова
Потребность - надобность, нужда в чем-нибудь, без удовлетворения которой невозможно обойтись.
Толковый словарь Ожегова
Потребность - надобность, нужда в чём н., требующая удовлетворения.
Однако разные слова потому и разные, что предназначены для обозначения неодинаковых понятий и выражения различающихся смыслов.
Надобность - то, к осуществлению чего направляют человека его душевное расположение или внешние обстоятельства.
Но если человеку надо что-то сделать, он может либо сделать дело, либо отказаться от него (надо сходить за хлебом, но не хочу отрываться от телевизора; хорошо бы (надо бы) наследовать Царствие Небесное, но трудиться для этого лень).
Нужда -
потребность, хотение или желание, к осуществлению которых человек стремится, невзирая ни на какие препятствия.
Нуждающийся в глотке воды не прекратит свой путь к источнику, а нуждающийся в Царствии Небесном будет постоянно стремиться жить по заповедям и непрестанно молиться: «цáрствiе небéсное нудится, и нýждницы восхищáютъ é» (Мф 11:12).
Необходимость - то, без чего невозможно обойтись для осуществления чего-либо.
Потребность - хотение того, без чего невозможно поддержание жизни души и тела (частный случай необходимости).