Когерентность алгебраических операций. Часть 3. Униторы и моноидальные категории.
В следующих постингах будет рассмотрен вопрос о когерентности в моноидальных категориях. Будет использована техника из предыдущих постингов по теме (см. [1] и [2]), но некоторые детали будут изменены/усовершенствованы.
Определение 1. Пусть C -- магматическая категория. Единица в C -- это объект 1C∈Obj(AC). Пара (C,1C), где С -- магматическая категория и 1C -- единица в С, называется унитальной магматической категорией.
Определение 2. Пусть (C,1C) -- унитальная магматическая категория. Правый унитор на (C,1C) -- это естественный изоморфизм ρ:⊗○(IAC⨉Δ1C)⨉→IAC. Левый унитор на (C,1C) -- это естественный изоморфизм λ:⊗○(Δ1C⨉IAC)⨉→IAC.
Определение 3. Пусть (C,1C) -- унитальная магматическая категория, α -- ассоциатор на С, ρ -- правый унитор на (C,1C), λ -- левый унитор на (C,1C). Тройка (α,ρ,λ) называется когерентной, если для любых a,b∈Obj(AC) коммутативна следующая диаграмма (тождество треугольника):
Определение 4. Моноидальная категория C -- это 6-кортеж (AC,⊗,1C,α,ρ,λ), где (AC,⊗) -- магматическая категория, ((AC,⊗),α) -- полугруппоидальная категория, ((AC,⊗),1C) -- унитальная магматическая категория, ρ -- правый унитор на ((AC,⊗),1C), λ -- левый унитор на ((AC,⊗),1C), причём тройка (α,ρ,λ) является когерентной.
Прежде всего, докажем несколько базовых утверждений про моноидальные категории.
Предложение 1. Пусть C -- моноидальная категория. Тогда функторы (1C⊗-):AC→AC и (-⊗1C):AC→AC являются автоэквивалентностями категорий.
Доказательство предложения 1. (1C⊗-)=⊗○(Δ1C⨉IAC)⨉≅IAC; (-⊗1C)=⊗○(IAC⨉Δ1C)⨉≅IAC.
Следствие 1 предложения 1. Функторы (1C⊗-):AC→AC и (-⊗1C):AC→AC являются вполне строгими и консервативными.
Предложение 2. (лемма Келли) Пусть C -- моноидальная категория. Тогда для любых a,b∈Obj(AC) коммутативны следующие диаграммы:
Доказательство предложения 2. Докажем коммутативность первой диаграммы, доказательство коммутативности второй диаграммы аналогично. Рассмотрим следующую диаграмму:
Поскольку функтор (-⊗1C) является вполне строгим, достаточно доказать коммутативность левого треугольника. Поскольку все морфизмы в данной диаграмме являются изоморфизмами, достаточно доказать коммутативность центрального квадрата, правого треугольника и внешнего шестиугольника. Центральный квадрат в этой диаграмме коммутативен из-за естественности α, правый треугольник коммутативен из-за тождества треугольника. Осталось доказать коммутативность внешнего шестиугольника. Рассмотрим следующую диаграмму:
Заметим, что внешний шестиугольник из предыдущей диаграммы содержится в данной диаграмме. Для доказательства коммутативности данной диаграммы достаточно доказать коммутативность внешнего пятиугольника, правой трапеции и верхнего треугольника. Внешний пятиугольник коммутативен благодаря когерентности α, правая трапеция коммутативна из-за естественности α, верхний треугольник коммутативен из-за тождества треугольника. Таким образом, утверждение леммы Келли доказано.
Предложение 3. В моноидальной категории ρ(1C)=λ(1C).
Доказательство предложения 3. Поскольку функтор (-⊗1C) является вполне строгим, достаточно доказать, что ρ(1C)⊗1C=λ(1C)⊗1C. Но λ(1C)⊗1C=λ(1C⊗1C)○α(1C,1C,1C) по лемме Келли, ρ(1C)⊗1C=(1C⊗λ(1C))○α(1C,1C,1C) по тождеству треугольника и 1C⊗λ(1C)=λ(1C⊗1C) (т.к. λ(1C)○(1C⊗λ(1C))=λ(1C)○λ(1C⊗1C) по естественности λ и потому, что λ(1C) -- изоморфизм).
Теперь необходимо адаптировать определения из постинга [1] для рассмотрения свободных магм над пунктированными множествами.
Определение 5. Моноид Клини (X*,𐄂) -- это полугруппа Клини с добавленным пустым словом. В дальнейшем под X* будет подразумеваться моноид Клини.
Определение 6. Пусть (X,x0) -- пунктированное множество. Обозначим через ωx0,0:X→X* такое отображение, что ωx0,0(x)=(x), ωx0,0(x0)=(). Обозначим через ωx0:F[X]→X* гомоморфизм магм, сопряжённый отображению ωx0,0. Определим отображение ψx0,0:X→
такое отображение, что ψx0,0(x)=1, ψx0,0(x0)=0. Обозначим через ψx0:F[X]→
гомоморфизм магм, сопряжённый отображению ψx0,0. Если t∈F[X], будем называть ψx0(t) приведённой длиной t. Определим отображение μx0:F[X]→F[X] индуктивно по длине элемента F[X] следующим образом: μx0(x)=x, μx0(t⊗x0)=μx0(x0⊗t)=μx0(t), μx0(t⊗s)=μx0(t)⊗μx0(s). Определим отображение νx0:F[X]→F[X] как композицию νx0=ν○μx0.
Пример 1. Как и в постинге [1], приведём случайные примеры введённых определений:
ωx0(((a⊗x0)⊗b)⊗x0)=(a,b);
ψx0((x0⊗x0)⊗(a⊗x0))=1;
μx0((a⊗(b⊗x0))⊗(x0⊗c))=(a⊗b)⊗c;
νx0(a⊗((b⊗x0)⊗c))=(a⊗b)⊗c.
Продолжение следует.
Определение 1. Пусть C -- магматическая категория. Единица в C -- это объект 1C∈Obj(AC). Пара (C,1C), где С -- магматическая категория и 1C -- единица в С, называется унитальной магматической категорией.
Определение 2. Пусть (C,1C) -- унитальная магматическая категория. Правый унитор на (C,1C) -- это естественный изоморфизм ρ:⊗○(IAC⨉Δ1C)⨉→IAC. Левый унитор на (C,1C) -- это естественный изоморфизм λ:⊗○(Δ1C⨉IAC)⨉→IAC.
Определение 3. Пусть (C,1C) -- унитальная магматическая категория, α -- ассоциатор на С, ρ -- правый унитор на (C,1C), λ -- левый унитор на (C,1C). Тройка (α,ρ,λ) называется когерентной, если для любых a,b∈Obj(AC) коммутативна следующая диаграмма (тождество треугольника):
Определение 4. Моноидальная категория C -- это 6-кортеж (AC,⊗,1C,α,ρ,λ), где (AC,⊗) -- магматическая категория, ((AC,⊗),α) -- полугруппоидальная категория, ((AC,⊗),1C) -- унитальная магматическая категория, ρ -- правый унитор на ((AC,⊗),1C), λ -- левый унитор на ((AC,⊗),1C), причём тройка (α,ρ,λ) является когерентной.
Прежде всего, докажем несколько базовых утверждений про моноидальные категории.
Предложение 1. Пусть C -- моноидальная категория. Тогда функторы (1C⊗-):AC→AC и (-⊗1C):AC→AC являются автоэквивалентностями категорий.
Доказательство предложения 1. (1C⊗-)=⊗○(Δ1C⨉IAC)⨉≅IAC; (-⊗1C)=⊗○(IAC⨉Δ1C)⨉≅IAC.
Следствие 1 предложения 1. Функторы (1C⊗-):AC→AC и (-⊗1C):AC→AC являются вполне строгими и консервативными.
Предложение 2. (лемма Келли) Пусть C -- моноидальная категория. Тогда для любых a,b∈Obj(AC) коммутативны следующие диаграммы:
Доказательство предложения 2. Докажем коммутативность первой диаграммы, доказательство коммутативности второй диаграммы аналогично. Рассмотрим следующую диаграмму:
Поскольку функтор (-⊗1C) является вполне строгим, достаточно доказать коммутативность левого треугольника. Поскольку все морфизмы в данной диаграмме являются изоморфизмами, достаточно доказать коммутативность центрального квадрата, правого треугольника и внешнего шестиугольника. Центральный квадрат в этой диаграмме коммутативен из-за естественности α, правый треугольник коммутативен из-за тождества треугольника. Осталось доказать коммутативность внешнего шестиугольника. Рассмотрим следующую диаграмму:
Заметим, что внешний шестиугольник из предыдущей диаграммы содержится в данной диаграмме. Для доказательства коммутативности данной диаграммы достаточно доказать коммутативность внешнего пятиугольника, правой трапеции и верхнего треугольника. Внешний пятиугольник коммутативен благодаря когерентности α, правая трапеция коммутативна из-за естественности α, верхний треугольник коммутативен из-за тождества треугольника. Таким образом, утверждение леммы Келли доказано.
Предложение 3. В моноидальной категории ρ(1C)=λ(1C).
Доказательство предложения 3. Поскольку функтор (-⊗1C) является вполне строгим, достаточно доказать, что ρ(1C)⊗1C=λ(1C)⊗1C. Но λ(1C)⊗1C=λ(1C⊗1C)○α(1C,1C,1C) по лемме Келли, ρ(1C)⊗1C=(1C⊗λ(1C))○α(1C,1C,1C) по тождеству треугольника и 1C⊗λ(1C)=λ(1C⊗1C) (т.к. λ(1C)○(1C⊗λ(1C))=λ(1C)○λ(1C⊗1C) по естественности λ и потому, что λ(1C) -- изоморфизм).
Теперь необходимо адаптировать определения из постинга [1] для рассмотрения свободных магм над пунктированными множествами.
Определение 5. Моноид Клини (X*,𐄂) -- это полугруппа Клини с добавленным пустым словом. В дальнейшем под X* будет подразумеваться моноид Клини.
Определение 6. Пусть (X,x0) -- пунктированное множество. Обозначим через ωx0,0:X→X* такое отображение, что ωx0,0(x)=(x), ωx0,0(x0)=(). Обозначим через ωx0:F[X]→X* гомоморфизм магм, сопряжённый отображению ωx0,0. Определим отображение ψx0,0:X→
такое отображение, что ψx0,0(x)=1, ψx0,0(x0)=0. Обозначим через ψx0:F[X]→
гомоморфизм магм, сопряжённый отображению ψx0,0. Если t∈F[X], будем называть ψx0(t) приведённой длиной t. Определим отображение μx0:F[X]→F[X] индуктивно по длине элемента F[X] следующим образом: μx0(x)=x, μx0(t⊗x0)=μx0(x0⊗t)=μx0(t), μx0(t⊗s)=μx0(t)⊗μx0(s). Определим отображение νx0:F[X]→F[X] как композицию νx0=ν○μx0.
Пример 1. Как и в постинге [1], приведём случайные примеры введённых определений:
ωx0(((a⊗x0)⊗b)⊗x0)=(a,b);
ψx0((x0⊗x0)⊗(a⊗x0))=1;
μx0((a⊗(b⊗x0))⊗(x0⊗c))=(a⊗b)⊗c;
νx0(a⊗((b⊗x0)⊗c))=(a⊗b)⊗c.
Продолжение следует.