это понятно. но если мы интересуемся только совпадением/несовпадением значений инварианта, можно подействовать каким-нибудь автоморфизмом того места, где инвариант принимает значения. вопрос - есть ли причина так не делать?
Вопрос замечательный. Ответ - философский. Во-первых наша деятельность не различение пространств для нужд народного хозяйства, а построение башни математики на примере различения пространств. Мы никак не все понимаем как устроено. Главное - мы плохо понимаем все еще дискретизацию, и как ее форму, отношение между свойствами пространств и арифметикой инвариантов. В математике арифметика числа - нечто богоданное (по лейбницу што-ли), а пространство -- это нечто долго и мучительно понимаемое из физики (от физики аристотеля кстати - он дико мучился определяя "место" и понять что хотел точно сказать нам с А. Черняковым не удалось). Это отношение "пространства" в очень разных смыслах и абсолютной арифметрики в центре современной математики и физики. Поэтому нам так интересно и нужно вычислять.
Это большая замечательная философия про "пронаблюдать" что-то гомологическое наблюдаемо физически и механически даже. фазовые пространства они часто сложные. Эйлерову характеристику наблюдай себе на графе и тп. Кстати - лучший пример для маленьких. Но физический мир и математический ортогональны. Математика одна физик много и разные друг в дружку отражения. Физика внутренняя для математики - числа. Там наблюдать значит вычислять. Сложность вычислений - тень причинности и времени. (вот последние работы Манина или забытая хроногеометрия Александрова).
видимо, простой ответ: у некоторых инвариантов есть достаточно простой самостоятельный смысл (типа "гомологии считают дырки"), чтобы ими интересоваться не для различения пространств, а самими по себе. но у некоторых инвариантов с наглядным смыслом плохо. например, кручение - считает замкнутые орбиты потоков, но не всегда и с хитрыми весами.
Ну гомологии очень примерно считают дырки а когомологии так и не скажешь даже. Высшие гомотопические группы тоже вот чот странное считают. Что есть наглядный смысл тоже вопрос. Это дело все мучительно понимали и проясняли весь 20 век как и современную физику. Чудо что эти две деятельности под конец попали в общее пространство. Но конца пока нет. Все это просто знаки нашего не полного понимания.
Comments 8
Reply
Reply
Reply
Во-первых наша деятельность не различение пространств для нужд народного хозяйства, а построение башни математики на примере различения пространств. Мы никак не все понимаем как устроено. Главное - мы плохо понимаем все еще дискретизацию, и как ее форму, отношение между свойствами пространств и арифметикой инвариантов. В математике арифметика числа - нечто богоданное (по лейбницу што-ли), а пространство -- это нечто долго и мучительно понимаемое из физики (от физики аристотеля кстати - он дико мучился определяя "место" и понять что хотел точно сказать нам с А. Черняковым не удалось). Это отношение "пространства" в очень разных смыслах и абсолютной арифметрики в центре современной математики и физики. Поэтому нам так интересно и нужно вычислять.
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Leave a comment