"Летние письма" 2002 года (продолжение писем 2000 года)
Начало здесь -- http://posic.livejournal.com/413.html
From: Leonid Positselski < posic@mpim-bonn.mpg.de >
To: roma, hippie
Date: Fri, 11 Oct 2002 18:56:58 +0200 (MEST)
Subject: opredelenie polubeskonechnyh gomologij (ispravleno)
Privet, Roma i Serezha,
Nizhe propisany sleduyuschie voprosy, otnosyaschiesya
k opredeleniyu funktora polubeskonechnogo tenzornogo
proizvedeniya, t.e., Tor^{\infty/2}, kak pishet Serezha.
I: kakie abelevy kategorii modulej rassmatrivayutsya;
II: ot kakogo funktora na etih kategoriyah nado brat'
proizvodnyj funktor;
III: otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah modulej,
t.e., kakie kompleksy modulej schitat' trivial'nymi;
IV: poluploskie kompleksy S-modulej;
V: konstrukcii rezol'vent;
VI: opredelenie proizvodnogo funktora.
Vy smozhete zametit', chto naibolee zaputannye ob'yasneniya
i slozhnye formuly voznikayut pri poputke perepisat' vse eto
na yazyke algebr A i A^#, t.e., ne ispol'zuya v yavnom vide
komodulej i komodul'nyh algebr. Na yazyke zhe koalgebry C,
komodul'noj algebry S i (ko)modulej nad nimi vse operacii
vyglyadyat dovol'no prosto i prozrachno (za isklyucheniem,
vprochem, neskol'ko zamyslovatyh vychislenij iz razdela V).
I-1. Pust' dana koalgebra C i komodul'naya algebra S nad nej,
t.e. S yavlyaetsya ob''ektom-algebroj v tenzornoj kategorii
bikomodulej nad C otnositel'no kotenzornogo proizvedeniya.
Predpolagaetsya, chto S injektivna nad C kak sleva, tak
i sprava. Argumentami funktora polubeskonechnyh gomologij
budut kompleksy levyh i pravyh S-modulej (t.e., sootv.,
levyh i pravyh C-komodulej, snabzhennyh dejsviem S).
I-2. Esli C konechnomerna, to bez upominaniya koalgebr i t.d.
mozhno obojtis'. Vmesto etogo rassmatrivaetsya algebra A
i v nej konechnomernaya podalgebra N. Predpolagaetsya, chto
a. A yavlyaetsya proektivnym levym N-modulem; i
b. tenzornoe proizvedenie S = N^*\ot_N A yavlyaetsya
injektivnym pravym N-modulem.
Pust' A^# := Hom_{N-right}(N^*, S). Po postroeniyu,
A^# yavlyaetsya N-bimodulem, snabzhennym bimodul'nym
otobrazheniem N \to A^#. Na samom dele, na A^# imeetsya
struktura algebry (kak ob'yasneno v pis'me nomer 2 iz
predyduschej serii, t.e., leta 2000 goda), a N yavlyaetsya
v nej podalgebroj.
Argumentami funktora polubeskonechnyh gomologij yavlyayutsya
kompleksy levyh A^#-modulej i kompleksy pravyh A-modulej.
I-3. Sootvetstvie mezhdu naborami dannyh 1. i 2. sostoit
v tom, chto C = N^*, S = N^*\ot_N A = A^#\ot_N N^*.
V obratnuyu storonu imeem A = Hom_{N-left}(N^*,S),
A^# = Hom_{N-right}(N^*,S). Pravye S-moduli sut' to zhe
samoe, chto pravye A-moduli, a levye S-moduli -- eto levye
A^#-moduli. V chastnosti, sam S yavyaetsya bimodulem,
levym nad A^# i pravym nad A.
Zamechanie: ya ne dumayu, chtoby mozhno bylo korrektno
obojtis' bez koalgebr i komodulej v situacii, kogda C
(ona zhe N) beskonechnomerna.
II-1. Polubeskonechnye gomologii yavlyayutsya proizvodnym
funktorom funktora tenzornogo proizvedeniya S-modulej. Funktor
etot opredelyaetsya tak. Esli M i L -- pravyj i levyj S-moduli,
to prostranstvo M\ot_S L est' koyadro otobrazheniya
M\oc_C S\oc_C L \to M\oc_C L,
gde \oc_C oboznachaet kotenzornoe proizvedenie nad C. Takim
obrazom, tenzornoe proizvedenie nad komodul'noj algebroj est'
faktorprostranstvo nekotorogo podprostranstva tenzornogo
proizvedeniya vektornyh prostranstv. Etot funktor ne tochen
ni sleva, ni sprava.
II-2. Na yazyke algebr A i A^# s podalgebroj N nuzhnyj funktor
mozhno napisat' neskol'kimi sposobami. Vo-pervyh, v formule
s koyadrom vyshe mozhno perepisat' M\oc_C S\oc_C L kak
Hom_N(N, M\ot_N A\ot_k L) = Hom_N(N, M\ot_k A^#\ot_N L)
i M\oc_C L kak Hom_N(N, M\ot_k L). V takom vide etu
konstrukciyu mozhno pytat'sya sravnivat' s sevast'yanovskim
opredeleniem polutenzornogo proizvedeniya kak yakoby obraza
kotenzornogo proizvedeniya v tenzornom (hotya na samom dele
takoe sravnenie ne ochen' poluchaetsya, a sevast'yanovskoe
opredelenie predstavlyaetsya mne ne ochen' pravil'nym).
Po-moemu, gorazdo interesnee Serezhiny formuly iz ego stat'i
"Semi-infinite cohomology of quantum groups II" (sm. subsection
4.7 pod nazvaniem "Choice of resolutions"). Pust' M -- pravyj
A-modul', a L -- levyj A^#-modul'. Togda esli M injektiven
nad N, to M\ot_S L = Hom_{A-right}(S,M) \ot_{A^#} L; a esli
L injektiven nad N, to M\ot_S L = M \ot_A Hom_{A^#-left}(S,L).
(Ne vpolne samoochevidnoe) dokazatel'stvo etih utverzhdenij
predostavlyaetsya chitatelyam.
V nizhesleduyuschem izlozhenii yazyk A i A^# ne ispol'zuetsya.
Ya budu govorit' isklyuchitel'no o kompleksah levyh ili pravyh
modulej nad komodul'noj algebroj S (nad koalgebroj C).
III. Pravil'noe (na moj vzglyad) otnoshenie ekvivalentnosti
na kompleksah modulej, k kotorym primenyaetsya funktor
polubeskonechnyh gomologij, yavlyaetsya nekotoroj smes'yu dvuh
vidov otnoshenij ekvivalentnosti, pro kotorye ya vam vsegda
rasskazyval kak "proizvodnye kategorii D i D-shtrih". Napomnyu,
chto esli E -- nekotoraya DG-algebra ili DG-koalgebra, to est'
dva osnovnyh sposoba opredelit' proizvodnuyu kategoriyu
DG-(ko)modulej nad E. A imenno, v proizvodnoj kategorii "D"
DG-modul' trivialen, esli ego kogomologii (po otnosheniyu k ego
differencialu) trivial'ny. V kategorii "D-shtrih" trivial'nymi
yavlyayutsya DG-moduli, kotorye mozhno poluchit' iz total'nyh
modulej tochnyh troek DG-modulej s pomosch'yu operacij konusa
i beskonechnoj pryamoj summy. Proizvodnaya kategoriya, kotoraya
nuzhna dlya polubeskonechnyh gomologij, est' kak by kategoriya
"D-shtrih" po napravleniyu koalgebry C, no kategoriya "D" po
dopolnitel'nym napravleniyam v S (tak skazat', "D-shtrih" vdol'
N-polovinki, no "D" vdol' B-polovinki). Tut est' takoj moment,
chto komodul'naya algebra S (ravno kak i algebry A i A^#)
nikakogo netrivial'nogo differenciala ne imeyut, odnako teoriya
pro D i D-shtrih mozhet byt' ne vpolne trivial'na i dlya takih
DG-algebr, kotorye est' na samom dele obyknovennye algebry
(sosredotochennye v gomologicheskoj graduirovke 0 pritom).
Formal'noe opredelenie prosto: pust' imeetsya (voobsche govorya,
beskonechnyj v obe storony i vo vseh smyslah beskonechnomernyj)
kompleks modulej X nad komodul'noj algebroj S. Primenim
zabyvayuschij funktor i rassmotrim X kak kompleks komodulej
nad coalgebroj C. Kompleks X nazyvaetsya trivial'nym, esli on
yavlyaetsya trivial'nym kak kompleks komodulej nad C, v smysle
nizhesleduyuschego opredleleniya.
Kompleks komodulej X nad C nazyvaetsya trivial'nym, esli on
udovletvoryaet sleduyuschim dvum ekvivalentnym usloviyam:
a) dlya lyubogo kompleksa injektivnyh (naprimer, kosvobodnyh)
komodulej I nad C imeem Hom(X,I)=0 v gomotopicheskoj kategorii
C-komodulej; ili
b) X kak kompleks komodulej mozhno poluchit' operaciyami
konusa i beskonechnoj pryamoj summy iz total'nyh kompleksov
tochnyh troek kompleksov komodulej.
Naprimer, esli C trivial'na, t.e. C=k=N, to my imeem S=A=A^#=B
i vysheopredelennye trivial'nye kompleksy S-modulej sut' samye
obyknovennye (beskonechnye vo vse storony) aciklichnye kompleksy
modulej nad algebroj A, ona zhe B.
Opredelenie: proizvodnoj kategoriej levyh ili pravyh modulej
nad komodul'noj algebroj S nazyvaetsya faktorkategoriya
gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej po podkategorii
trivial'nyh kompleksov, opredelennoj vyshe. Analogichnym
obrazom opredelyaetsya proizvodnaya kategoriya (levyh ili
pravyh) C-komodulej.
IV. Napomnyu, chto na S-modulyah imeetsya operaciya tenzornogo
proizvedeniya nad S, obsuzhdavshayasya v razdele II. Kak
vsegda, eta operaciya trivial'nym obrazom rasprostranyaetsya
na kompleksy S-modulej.
Opredelenie. Kompleks levyh S-modulej F nazyvaetsya poluploskim,
esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa pravyh S-modulej T
kompleks tenzornogo proizvedeniya T\ot_S F aciklichen kak k-s
vektornyh prostranstv. Analogichnym obrazom opredelyayutsya
poluploskie kompleksy pravyh S-modulej.
Kompleks levyh C-komodulej E nazyvaetsya koploskim, esli dlya
lyubogo trivial'nogo kompleksa pravyh C-comodulej U kompleks
kotenzornogo proizvedeniya U\ot_C E aciklichen kak kompleks
vektornyh prostranstv; analogichno dlya pravyh C-komodulej.
Utverzhdenie: vsyakij poluploskij kompleks S-modulej yavlyaetsya
koploskim kak kompleks C-komodulej. Dokazatel'stvo: pust' F --
poluploskij kompleks levyh S-modulej; nas interesuet kotenzornoe
proizvedenie U\oc_C F. Neobhodimo ispol'zovat' funktor indukcii,
sopostavlyayuschij kazhdomu C-komodulyu P inducirovannyj S-modul'
P\ot_C S. Netrudno videt', chto funktor indukcii perevodit
trivial'nye kompleksy C-komodulej v trivial'nye (naprimer,
udobno ispol'zovat' opredelenie b) trivial'nyh kompleksov).
Teper' imeem U\oc_C F = (U\oc_C S) \ot_S F i poluploskost'
vlechet koploskost'.
V. Teorema: faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii
poluploskih kompleksov S-modulej po tolstoj podkategorii
poluploskih trivial'nyh kompleksov ekvivalentno proeciruetsya
na faktorkategoriyu vseh kompleksov S-modulej po trivial'nym
(drugimi slovami, proizvodnuyu kategoriyu S-modulej).
Ya ne budu zdes' dokazyvat' etu teoremu o triangulirovannyh
kategoriyah v polnoj sile, no ogranichus' lish' dokazatel'stvom
syur'ektivnosti dannogo funktora na ob'ektah. Drugimi slovami,
ya pokazhu, chto vsyakij kompleks S-modulej svyazan s nekotorym
poluploskim kompleksom cepochkoj (na samom dele, cepochkoj dliny
dva, t.e. prosto "domikom") otobrazhenij s trivial'nymi konusami.
Dokazyvat' poslednij fakt mozhno raznymi sposobami -- naprimer,
ispol'zuya koshulevu dvojstvennost' v duhe togo, kak eto delal
v svoih pervyh rabotah na dannuyu temu Serezha -- odnako ya
privedu zdes' pryamoe, otnositel'no elementarnoe dokazatel'stvo.
Ono osnovyvaetsya na sleduyuschej lemme.
Lemma. Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij proizvol'nomu
S-modulyu ego vlozhenie v C-injektivnyj S-modul'.
Kommentarij: ponyatno, chto eto tot samyj vopros, kotoryj
v standartnyh izlozheniyah etoj nauki (u vas oboih, naprimer,
ravno kak u Sevast'yanova) reshalsya s pomosch'yu "indukcii
s podalgebry B". U menya zdes' nikakoj takoj "podalgebry B"
net, tak chto mne nuzhen pryamoj put'.
V-1. Dokazatel'stvo Lemmy. Pust' M -- proizvol'nyj S-modul'.
Rassmotrim M kak C-komodul' i vlozhim ego v injektivnyj
C-komodul' P=P(M). Ponyatno, chto eto mozhno sdelat'
funktorial'nym obrazom, naprimer, prosto vybrav P(M)=C\ot_k M.
Oboznachim cherez Q(M) faktormodul' S-modulya S\oc_C P(M) po
ego podmodulyu, yavlyayuschemusya obrazom yadra otobrazheniya
S\oc_C M \to M pri vlozhenii S\oc_C M \to S\oc_C P(M). Netrudno
videt', chto kompoziciya M \to P(M) \to S\oc_C P(M) \to Q(M)
yavlyaetsya otobrazheniem S-modulej (v to vremya kak komponuemye
morfizmy sut' lish' otobrazheniya C-komodulej). Krome togo,
otobrazhenie M v Q(M) yavlyaetsya vlozheniem. Odnako Q(M)
mozhet ne byt' injektivnym C-komodulem.
Poslednyaya problema preodolevaetsya iterirovaniem konstrukcii.
Rassmotrim cepochku vlozhenij M \to Q(M) \to Q(Q(M)) \to ...
Ya utverzhdayu, chto induktivnyj predel etoj cepochki injektiven
kak C-komodul'. V samom dele, etot predel yavlyaetsya takzhe,
kak C-komodul', induktivnym predelom cepochki injektivnyh
komodulej S\oc_C P(M) \to S\oc_C P(Q(M)), gde otobrazheniya
v cepochke sut' kompozicii cherez Q(M), Q(Q(M)), i t.d. Odnako
netrudno videt', chto induktivnyj predel po cepochke sohranyaet
injektivnost' komodulej nad proizvol'noj koalgebroj, potomu
chto vsyakij komodul' yavlyaetsya ob''edineniem konechnomernyh.
V samom dele, dostatochno prodolzhit' otobrazhenie v pryamoj
predel s konechnomernogo podkomodulya na konechnomernyj komodul';
teper' otobrazhenie iz konechnomernogo komodulya propuskaetsya
cherez odin iz Q^n(M), i, znachit, cherez S\oc_C P(Q^n(M)).
Takim obrazom, lemma dokazana.
V-2. Teper' pokazhem, chto dlya lyubogo kompleksa S-modulej X
najdetsya otobrazhenie f: X \to Y, takoe chto vse chleny
kompleksa Y sut' kosvobodnye C-komoduli, a konus f yavlyaetsya
trivial'nym kompleksom v smysle opredeleniya iz razdela III.
Eto delaetsya prosto. Pol'zuyas' lemmoj, vlozhim kompleks X
v kakoj-nibud' kompleks C-injektivnyh S-modulej J, voz'mem
faktorkompleks J/X, vlozhim ego tochno tak zhe esche raz, i t.d.
Postroim takim obrazom kompleks kompleksov X \to J \to J_1 \to
J_2 \to ... Rassmotrim total'nyj kompleks Y=Tot(J\to J_1\to...),
obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya pryamyh summ po diagonalyam.
Ochevidno, chto kompleks Y yavlyaetsya kompleksom C-injektivnyh
S-modulej, a otobrazhenie f: X\to Y -- morfizmom kompleksov
S-modulej. Ostaetsya proverit', chto posle vzyatiya
zabyvayuschego funktora v kompleksy C-komodulej konus morfizma
f okazyvaetsya trivial'nym kompleksom. Eto delaetsya standartnym
obrazom, kak sootvetstvuyuschij rezul'tat pro kategoriyu D-shtrih
dlya komodulej nad proizvol'noj (DG-)koalgebroj. Ispol'zuetsya
konstrukciya gomotopicheskogo pryamogo predela ("teleskopa") i
opredelenie trivial'nosti v variante b) iz razdela III.
V-3. Ostalos' dokazat', chto dlya lyubogo kompleksa C-injektivnyh
S-modulej Y najdetsya poluploskij kompleks Z vmeste s morfizmom
g: Z\to Y, takim chto konus g trivialen. Na samom dele, my
dokazhem bol'shee, a imenno:
1. Vse kompleksy S-modulej, inducirovannye (s pomosch'yu operacii
S\oc_C *) s kompleksov injektivnyh C-komodulej poluploski;
2. Poluploskoskie kompleksy obrazuyut v gomotopicheskoj kategorii
kompleksov S-modulej triangulirovannuyu podkategoriyu, zamknutuyu
otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ;
3. Dlya lyubogo kompleksa C-injektivnyh S-modulej Y najdetsya
morfizm kompleksov S-modulej g: Z\to Y, takoj chto
i. konus g, rassmotrennyj kak kompleks C-komodulej, styagivaem;
ii. Kompleks Z stroitsya iz kompleksov tipa 1. s pomosch'yu
operacij konusa i beskonechnoj pryamoj summy.
Utverzhdenie 1. ochevidno, poskol'ku kotenzornoe proizvedenie
kompleksa injektivnyh C-komodulej i trivial'nogo kompleksa
C-komodulej yavlyaetsya aciklichnym kompleksom vektornyh
prostranstv, kak netrudno videt'. Utverzhdenie 2. yasno.
Nakonec, utverzhdenie 3. dokazyvaetsya vzyatiem total'nogo
kompleksa otnositel'noj bar-konstrukcii nad S otnositel'no C.
Konkretnee, nuzhno napisat'
... \to S\oc_C S \oc_C Y \to S\oc_C Y \to Y
i vzyat' za Z total'nyj kompleks vsego etogo dela, krome
poslednego Y. Punkt i. proveryaetsya yavnoj kanonicheskoj
gomotopiej, prisuschej bar-konstrukciyam takogo roda;
a punkt ii. dokazyvaetsya standartnym obrazom, ispol'zuya
snova konstrukciyu "teleskopa".
Osnovnuyu teoremu razdela V mozhno schitat' (s ogovorkami,
sdelannymi v samom nachale razdela) dokazannoj.
VI. Teper', kogda vsya trudnaya rabota zavershena, opredelenie
funktora polubeskonechnyh gomologij daetsya razmahivaniem rukami.
My hotim opredelit' nekotoryj funktor dvuh argumentov, odin
iz kotoryh probegaet kategoriyu kompleksov pravyh, a drugoj --
levyh S-modulej. Na samom dele etot funktor budet opredelen
na faktorkategoriyah gomotopicheskih kategorij kompleksov
S-modulej po tolstym podkategoriyam trivial'nyh kompleksov
(oni tolstye, poskol'ku vsyakaya triangulirovannaya kategoriya,
zamknutaya otnositel'no schetnyh pryamyh summ, zamknuta i
otnositel'no pryamyh slagaemyh). Odnako soglasno teoreme iz
razdela V, interesuyuschie nas faktorkategorii ekvivalentny
faktorkategoriyam poluploskih kompleksov S-modulej po
trivial'nym poluploskim kompleksam. Teper' na poluploskih
kompleksah funktor polubeskonechnyh gomologij opredelyaetsya
neposredstvenno v lob kak tenzornoe proizvedenie modulej nad
komodul'noj algebroj S (sm. razdel II). Ochevidno, chto etot
funktor na gomotopicheskih kategoriyah poluploskih kompleksov
spuskaetsya na faktorkategorii po trivial'nym (poluploskim)
kompleksam (sm. razdel IV). Konec rassuzhdeniya.
Opredelenie funktora polubeskonechnyh gomologij na kategoriyah
modulej nad komodul'nymi algebrami takim obrazom mnoyu dano.
P.S. Zamechanie (dobavleno v aprele 2006 goda). Na samom dele,
podkategoriya v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej,
porozhdennaya s pomosch'yu konusov i pryamyh summ kompleksami
S-modulej, inducirovannymi s kompleksov injektivnyh C-komodulej
(v sleduyuschem pis'me ona nazyvaetsya rezol'ventnoj
podkategoriej) ekvivalentno proeciruetsya na proizvodnuyu
kategoriyu S-modulej. Dostatochno pokazat', chto peresechenie
rezol'ventnoj podkategorii s podkategoriej trivial'nyh kompleksov
ravno nulyu. Pust' kompleks X prinadlezhit peresecheniyu etih
dvuh podkategorij. Togda X kak kompleks C-komodulej odnovremenno
yavlyaetsya kompleksom injektivnyh C-komodulej i trivial'nym
kompleksom C-komodulej, otkuda sleduet, chto X styagivaem nad C.
Teper' X odnovremenno styagivaem nad C i prinadlezhit
podkategorii, porozhdennoj s pomosch'yu konusov i beskonechnyh
pryamyh summ kompleksami, inducirovannymi s C, otkuda sleduet,
chto X styagivaem nad S. Bolee togo, iz skazannogo sleduet, chto
rezol'ventnaya podkategoriya sovpadaet s polnoj podkategoriej
v gomotopicheskoj kategorii S-modulej, sostoyaschej iz kompleksov
injektivnyh C-komodulej, K-proektivnyh (v smysle Spaltenshtejna)
nad S otnositel'no C (t.e. prinadlezhaschih k levomu ortogonalu
k podkategorii vseh kompleksov, styagivaemyh nad C).
From: Leonid Positselski < posic@mpim-bonn.mpg.de >
To: roma, hippie
Date: Fri, 11 Oct 2002 18:59:59 +0200 (MEST)
Subject: polubeskonechnye KOgomologii i kontramoduli (ispravleno i dopolneno)
Privet, Roma i Serezha,
v moem predyduschem pis'me ot 3 avgusta sego goda bylo dano,
kak ya polagayu, pravil'noe opredelenie polubeskonechnyh
gomologij associativnyh algebraicheskih struktur. Cel'yu
nynehsnego pis'ma yavlyaetsya opredelenie polubeskonechnyh
kogomologij, t.e. Ext_{\infty/2} v Serezhinyh oboznacheniyah.
V svoem izlozhenii ya budu priblizitel'no sledovat' planu,
namechennomu v predyduschem pis'me (za isklyucheniem novogo
razdela VII etogo pis'ma, kotoryj ne imeet analoga dlya
polubeskonechnyh gomologij).
I: kakie abelevy kategorii modulej rassmatrivayutsya;
II: ot kakogo funktora na etih kategoriyah nado brat'
proizvodnyj funktor;
III: otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah, t.e.,
kakie kompleksy kontramodulej schitat' trivial'nymi;
IV: poluproektivnye kompleksy S-modulej, poluinjektivnye
kompleksy S-kontramodulej, i koinjektivnye C-kontramoduli;
V: konstrukcii rezol'vent;
VI: opredelenie proizvodnogo funktora;
VII: ekvivalentnost' proizvodnyh kategorij; polubeskonechnye
kogomologii kak Hom v triangulirovannoj kategorii.
Ya budu suschestvennejshim obrazom opirat'sya na pis'mo nomer
chetyre (poslednee) iz serii "letnih pisem" 2000-go goda,
v kotorom razbiralos' opredelenie kategorii kontramodulej, i
v osobennosti, ponyatie kontramodulya nad komodul'noj algebroj.
I-1. Pust' dana koalgebra C i komodul'naya algebra S nad nej;
predpolagaetsya, chto S injektivna nad C kak sleva, tak i
sprava. Pervym argumentom funktora polubeskonechnyh Ext-ov
budut kompleksy levyh S-modulej (sm. predyduschee pis'mo).
Vtorym argumentom funktora polubeskonechnyh Ext-ov budut
kompleksy levyh S-kontramodulej (sm. pis'mo nomer chetyre
iz letnej serii 2000-go goda).
I-2. Esli C konechnomerna, to vmesto komodul'noj algebry S
mozhno govorit' ob osoboj pare associativnyh algebr A i A^#,
snabzhennyh obschej podalgebroj N (dvojstvennoj k C).
V etom sluchae pravye S-moduli sut' pravye A-moduli, levye
S-moduli sut' levye A^#-moduli, a levye S-kontramoduli sut'
levye A-moduli, i, nakonec, pravye S-kontramoduli sut' pravye
A^#-moduli. Pervym argumentom funktora polubeskonechnyh
kogomologij okazyvayutsya kompleksy levyh A^#-modulej, vtorym
-- kompleksy levyh A-modulej.
I-3. Kak vidno iz vysheskazannogo, pri postroenii teorii
polubeskonechnyh KOgomologij v terminah komodul'noj algebry S
bez ispol'zovaniya kontramodulej obojtis' nevozmozhno dazhe
v tom sluchae, kogda i C, i S, i vse rassmatrivaemye moduli
konechnomerny. Hotya esli govorit' tol'ko o kontramodulyah
nad koalgebroj, to, konechno zhe, levye C-kontramoduli i
levye C-komoduli sut' odno i to zhe, esli C konechnomerna.
II-1. Polubeskonechnye kogomologii yavlyayutsya proizvodnym
funktorom funktora kogomomorfizmov Cohom nad komodul'noj
algebroj S. Poslednij funktor sopostavlyaet kazhdomu levomu
S-modulyu L i levomu S-kontramodulyu P vektornoe prostranstvo
Cohom_S(L,P) "kogomomorfizmov nad S iz L v P". Etot funktor
opredelyaetsya kak "yadro nekotorogo otobrazheniya iz koyadra
nekotorogo otobrazheniya v koyadro nekotorogo otobrazheniya",
v svyazi s chem on, ochevidno, ne tochen ni sleva, ni sprava
ni po pervomu, ni po vtoromu argumentu.
II-2. Imeetsya sleduyuschaya svyaz' mezhdu moim opredeleniem
funktora Cohom_S i Serezhinymi formulami dlya polubeskonechnogo
Ext-a iz subsekcii 4.7 ("Choice of resolutions") stat'i
"Semi-infinite cohomology of quantum groups II". Pust' L --
levyj A^#-modul', a P -- levyj A-modul'. Togda Cohom_S(L,P) =
Hom_{A^#}(L, S\ot_A P), esli P proektiven kak levyj N-modul',
i Cohom_S(L,P) = Hom_A(Hom_{A^#}(S,L), P), esli L injektiven
kak levyj N-modul'.
Bolee togo, dlya levogo S-modulya L i levogo S-kontramodulya P,
nad proizvol'noj komodul'noj algebroj S, imeyutsya tozhdestva
Cohom_S(L,P) = Hom_S(L, C\ocn_C P), esli P - proektivnyj
C-kontramodul', i Cohom_S(L,P) = Hom_{S-contra}(Hom_S(S,L), P),
esli L injektivnyj C-komodul'. Zdes' P \mapsto C\ocn_C P
i L \mapsto Hom_C(C,L) = Hom_S(S,L) sut' funktory mezhdy
kategoriyami levyh S-modulej i levyh S-kontramodulej, kotorye
byli vvedeny v konce chetvertogo pis'ma iz serii 2000-go goda.
Dokazatel'stvo ili oproverzhenie predostavlyaetsya chitatelyam.
Eto i est' tot samyj funktor, proizvodnym funktorom kotorogo
budut polubeskonechnye kogomologii.
III. Teper' ya dolzhen vvesti pravil'noe otnoshenie
ekvivalentnosti na kompleksah, yavlyayuschihsya argumentami
buduschego proizvodnogo funktora. Otnoshenie ekvivalentnosti
na kompleksah S-modulej bylo vvedeno v predyduschem pis'me;
ostaetsya razobrat' sluchaj S-kontramodulej. Dlya poslednih
pravil'noe otnoshenie ekvivalentnosti yavlyaetsya smes'yu
"otnosheniya D-dva-shtriha" vdol' C-kontramodul'noj struktury
i "otnosheniya D v perpendikulyarnom napravlenii". Napomnyu,
chto v kategoriyah "D-dva-shtriha" trivial'nymi yavlyayutsya
kompleksy, kotorye mozhno poluchit' iz svertok tochnyh troek
kompleksov operaciyami vzyatiya konusa i beskonechnogo
pryamogo proizvedeniya (v protivopolozhnost' beskonechnoj
pryamoj summe dlya kategorij D-shtrih).
Formal'noe opredelenie: (beskonechnyj, voobsche govorya, vo
vse storony) kompleks S-kontramodulej nazyvaetsya trivial'nym,
esli on trivialen kak kompleks C-kontramodulej (t.e., posle
zabyvaniya ostal'noj struktury). Kompleks C-kontramodulej X
nazyvaetsya trivial'nym, esli on udovletvoryaet sleduyuschim
dvum ekvivalentnym usloviyam:
a) dlya lyubogo kompleksa P proektivnyh (naprimer, svobodnyh)
kontramodulej nad C imeem Hom(P,X)=0 v gomotopicheskoj
kategorii C-kontramodulej; ili
b) X kak kompleks kontramodulej mozhno poluchit' operaciyami
konusa i beskonechnogo proizvedeniya iz total'nyh kompleksov
tochnyh troek kompleksov kontramodulej.
Opredelenie: proizvodnoj kategoriej levyh kontramodulej
nad komodul'noj algebroj S nazyvaetsya faktorkategoriya
gomotopicheskoj kategorii kompleksov levyh S-kontramodulej
po podkategorii trivial'nyh kompleksov, opredelennoj vyshe.
Analogichnym obrazom opredelyaetsya proizvodnaya kategoriya
levyh C-kontramodulej.
IV-1. Operaciya Cohom_S rasprostranyaetsya s (kontra)modulej
na kompleksy (kontra)modulej po sleduyuschemu ochevidnomu
pravilu: Cohom_S(L,P) est' kompleks, poluchennyj v rezul'tate
vzyatiya beskonechnogo proizvedeniya vdol' diagonalej
bikompleksa Cohom_S(L^i, P^j). Otmechu, chto dlya operacii
"tipa gomomorfizmov", v otlichie ot operacij "tipa
tenzornogo proizvedeniya", v etom meste sleduet brat' pryamoe
proizvedenie (a ne pryamuyu summu) vdol' diagonalej.
Dva opredeleniya: kompleks levyh S-modulej F nazyvaetsya
poluproektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa
levyh S-kontramodulej T kompleks Cohom_S(F,T) aciklichen
kak kompleks vektornyh prostranstv. Kompleks levyh
S-kontramodulej P nazyvaetsya poluinjektivnym, esli dlya
lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh S-komodulej T
kompleks Cohom_S(T,P) aciklichen.
Analogichnym obrazom, kompleks levyh C-komodulej nazyvaetsya
koproektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa
levyh C-kontramodulej kompleks Cohom_C mezhdu nimi aciklichen.
Kompleks levyh C-kontramodulej nazyvaetsya koinjektivnym,
esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh C-komodulej
sootvetstvuyuschij kompleks vektornyh prostranstv Cohom_C
aciklichen.
IV-2. Ponyatno, chto dlya kompleksov C-komodulej tri svojstva
-- injektivnosti (v osmysle sootv. proizvodnoj kategorii),
koploskosti (v smysle predyduschego pis'ma) i koproektivnosti
(v smysle poslednego opredeleniya) -- vse dovol'no blizki
mezhdu soboj. Netrudno videt', chto kompleks injektivnyh
komodulej yavlyaetsya koproektivnym, a koproektivnyj kompleks
vsegda yavlyaetsya koploskim. Analogichnym obrazom, vsyakij
kompleks proektivnyh C-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym.
Samyj interesnyj vopros: kak svyazany ponyatiya poluploskosti
i poluproektivnosti dlya kompleksov S-modulej? Chastichnyj
otvet: vse poluproektivnye kompleksy yavlyayutsya poluploskimi
(dokazatel'stvo: ispol'zovat' tot fakt, chto dvojstvennoe
vektornoe prostranstvo k pravomu S-komodulyu yavlyaetsya levym
S-kontramodulem, i formulu Cohom_S(L, M^*) = (M\ot_S L)^*).
Dva utverzhdeniya: vsyakij poluproektivnyj kompleks levyh
S-modulej yavlyaetsya koproektivnym kak kompleks levyh
C-komodulej. Vsyakij poluinjektivnyj kompleks levyh
S-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym kak kompleks
levyh C-kontramodulej. Dokazatel'stva: v pervom sluchae
ispol'zovat' sleduyuschij funktor koindukcii dlya
kontramodulej: vsyakomu C-kontramodulyu P sopostavlyaetsya
koinducirovannyj S-kontramodul' Cohom_C(S,P). Vo vtorom
sluchae ispol'zovat' funktor indukcii iz predyduschego pis'ma.
IV-3. Na samom dele primenitel'no k C-ko/kontramodulyam vse
eto ustroeno neskol'ko prosche. Kak izvestno, glavnaya
osobennost' proizvodnyh kategorij D-shtrih i D-dva-shtriha
sostoit v tom, chto svojstva prisposoblennosti kompleksov v nih
mozhno proveryat' poob'ektno. Naprimer, kompleks C-komodulej
injektiven (ortogonalen sprava k trivial'nym kompleksam
otnositel'no obyknovennogo funktora Hom v gomotopicheskoj
kategorii komodulej) togda i tol'ko togda, kogda on
gomotopicheski ekvivalenten kompleksu injektivnyh ob'ektov.
To zhe samoe dlya kontramodulej i proektivnyh kompleksov.
Poetomu imeet smysl dat' esche neskol'ko opredelenij.
Levyj C-komodul' L nazyvaetsya koploskim, esli funktor
- \oc_C L na abelevoj kategorii pravyh C-komodulej tochen.
Levyj C-komodul' L nazyvaetsya koproektivnym, esli funktor
Cohom_C(L,-) na abelevoj kategorii levyh C-kontramodulej
tochen. Na samom dele netrudno videt', chto vse tri
svojstva injektivnosti, koploskosti i koproektivnosti
C-komodulej ekvivalentny (ukazanie: sleduet ogranichit'sya
konechnomernymi vtorymi argumentami funktorov Hom, \oc
i Cohom, sootvetstvenno, i v takoj situacii sravnit').
Teper', konechno, mozhno bylo by zametit', chto vsyakij
kompleks koploskih komodulej koploskij, a koproektivnyh
-- koproektiven. Eto nesomenno vernye, no, -- vvidu
skazannogo vyshe, -- trivial'nye utverzhdeniya.
Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya koinjektivnym, esli funktor
Cohom_C(-,P) na abelevoj kategorii levyh C-komodulej tochen.
Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya kontraploskim, esli funktor
kontratenzornogo proizvedeniya \ocn_C P na kategorii pravyh
C-komodulej tochen. Netrudno videt', chto vsyakij proektivnyj
C-kontramodul' koinjektiven, a vsyakij koinjektivnyj
C-kontramodul' yavlyaetsya kontraploskim (obratnoe utverzhdenie
obsuzhdaetsya v razdele VII). Vsyakij kompleks koinjektivnyh
C-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym kompleksom.
V. Teorema 1: imeet mesto analog osnovnoj teoremy iz razdela V
predyduschego pis'ma dlya poluproektivnyh kompleksov S-modulej
vmesto poluploskih. Dokazatel'stvo tochno takoe zhe, kak
v predyduschem pis'me.
Teorema 2: faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii
poluinjektivnyh kompleksov S-kontramodulej po tolstoj
podkategorii poluinjektivnyh trivial'nyh kompleksov
ekvivalentno proeciruetsya na faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii vseh kompleksov S-modulej po trivial'nym kompleksam.
Zdes' potrebuetsya perepisat' rassuzhdenie iz predyduschego
pis'ma s zamenoj komodulej na kontramoduli. Ya prodelayu eto,
s nekotorymi sokrascheniyami.
Lemma. Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij proizvol'nomu
S-kontramodulyu surjektivnoe otobrazhenie na nego iz
C-koinjektivnogo S-kontramodulya.
Konechno, samym blizhajshim analogom Lemmy iz razdela V
predyduschego pis'ma bylo by suschestvovanie takoj surjekcii
iz C-proektivnogo S-kontramodulya. Problema tol'ko v tom,
chto ya ne umeyu dokazyvat', chto obratnyj predel sohranyaet
proektivnost' kontramodulej, -- a dlya koinjektivnosti
eto vse-taki udaetsya proverit' v nebhodimom nam sluchae.
Dlya celej dannogo razdela C-koinjektivnosti dostatochno,
a v razdele VII, gde ponadobyatsya C-proektivnye rezol'venty,
mne pridetsya ispol'zovat' nekuyu gipotezu.
V-1. Dokazatel'stvo Lemmy. Pust' P -- levyj S-kontramodul'.
Rassmotrim ego kak C-kontramodul' i nakroem ego kakim-nibud'
proektivnym C-kontramodulem F. Eto legko mozhno sdelat'
funktorial'nym obrazom, naprimer, vybrav F(P) = Hom_k(C,P).
Oboznachim cherez Q(P) yadro kompozicii otobrazhenij
Cohom_C(S, F(P)) \to Cohom_C(S,P) \to Cohom_C(S,P)/im P,
gde P \to Cohom_C(S,P) -- strukturnoe otobrazhenie
S-kontramodulya P. Netrudno videt', chto kompoziciya Q(P) \to
Cohom_C(S, F(P)) \to F(P) \to P yavlyaetsya otobrazheniem
S-kontramodulej, v to vremya kak komponuemye morfizmy sut'
tol'ko otobrazheniya C-kontramodulej. Krome togo,
otobrazhenie Q(P) v P surjektivno, a C-kontramodul'
Cohom_C(S, F(P)) proektiven. Teper' utverzhdenie Lemmy
vytekaet iz sleduyuschej podlemmy.
Podlemma. Pust' ... \to Q_2 \to T_2 \to Q_1 \to T_1 \to Q_0
-- proektivnaya sistema C-kontramodulej, prichem kontramoduli
T_i koinjektivny, a v proektivnoj podsisteme, sostoyaschej iz
odnih tol'ko Q_i, vse otobrazheniya surjektivny. Togda
obratnyj predel lim Q_i = lim T_i yavlyaetsya koinjektivnym
kontramodulem. Dokazatel'stvo podlemmy: nuzhno proverit',
chto dlya lyuboj tochnoj trojki levyh C-komodulej
L_1 \to L_2 \to L_3 imeetsya tochnaya trojka vektornyh
prostranstv Cohom(L_3, lim T_i|Q_i) \to Cohom(L_2, lim)
\to Cohom(L_1, lim). Dokazhem snachala, chto dlya lyubogo
C-komodulya L my imeem Cohom(L, lim) = lim Cohom(L, T_i|Q_i).
Dlya lyubogo kontramodulya X napishem bar-konstrukciyu
... \to Hom_k(C\ot_k C\ot_k L, X) \to Hom_k(C\ot_k L, X)
\to Hom_k(L,X); togda Cohom_C(L,X) est', po opredeleniyu,
nulevye gomologii etogo kompleksa. Pust' teper' imeetsya
proektivnaya sistema (gomologicheskih) kompleksov, gde vse
kompleksy s nechetnymi nomerami imeyut gomologii tol'ko
v graduirovke nul', a kompleksy s chetnymi nomerami obrazuyut
proektivnuyu podsistemu s surjektivnymi otobrazheniyami proekcii.
Togda ya utverzhdayu, chto kompleks-obratnyj predel imeet
gomologii tol'ko v graduirovke nul', i oni ravny obratnomu
predelu nulevyh gomologij kompleksov sistemy. V samom dele,
proektivnye sistemy, v kotoryh podsistemy s chetnymi nomerami
imeyut surjektivnye otobrazheniya proekcii, yavlyayutsya
aciklichnymi ob'ektami po otnosheniyu k proizvodnomu funktoru
obratnogo predela lim^1. Ostatok dokazatel'stva podlemmy
predostavlyaetsya chitatelyam.
V-2. Na sleduyuschem shage nuzhno pokazat', chto dlya lyubogo
kompleksa S-kontramodulej X najdetsya otobrazhenie f: Y\to X,
takoe chto vse chleny kompleksa Y sut' koinjektivnye
C-kontramoduli, a konus f yavlyaetsya trivial'nym kompleksom.
Eto delaetsya tochno tak zhe, kak v punkte V-2 predyduschego
pis'ma, s toj raznicej, chto svertka bikompleksa delaetsya
s pomosch'yu pryamyh proizvedenij (a ne pryamyh summ) vdol'
diagonalej. Potom ispol'zuetsya gomotopicheskij obratnyj
predel, i voobsche vse proiskhodit, kak obychno byvaet v D''.
V-3. Na poslednem shage ostaetsya dokazat', chto dlya lyubogo
kompleksa C-koinjektivnyh S-kontramodulej Y najdetsya
poluinjektivnyj kompleks S-kontramodulej Z vmeste s morfizmom
g: Y\to Z, takim chto konus g trivialen (na samom dele, dazhe
C-styagivaem). Eto delaetsya tochno tak zhe, kak v razdele
V-3 predyduschego pis'ma, tol'ko vmesto inducirovannyh
S-modulej ispol'zuyutsya koinducirovannye S-kontramoduli
Cohom_C(S,-) i total'nyj bikompleks (v otlichie ot situacii
predyduschego pis'ma) snova beretsya s pomosh'yu beskonechnyh
proizvedenij. Voobsche esli "konstrukcii iz razdelov V-2"
tipichny dlya proizvodnyh kategorij so shtrihami, to tochno
tak zhe "konstrukcii iz razdelov V-3" tipichny dlya bolee
klassicheskih (Spaltenshtejnovskih) proizvodnyh kategorij D.
VI. Teper' funktor polubeskonechnyh kogomologij mozhno
opredelit' sovershenno analogichno tomu, kak opredelyalsya
funktor polubeskonechnyh gomologij v predyduschem pis'me.
VII. Cel'yu etogo razdela yavlyaetsya dokazatel'stvo dvuh
utverzhdenij: (1) opredelennye vyshe proizvodnye kategorii
levyh S-modulej i levyh S-kontramodulej estestvennym obrazom
ekvivalentny; (2) funktor polubeskonechnyh kogomologij
sootvestvuet pri etoj ekvivalentnosti funktoru Hom.
VII-1. Ya nachnu s nekotorogo kommentariya k Teoremam 1-2 iz
razdela V. Na samom dele dokazatel'stvo etih teorem dokazyvaet
nechto bol'shee, chem skazano v ih formulirovke. A imenno,
nazovem rezol'ventnoj podkategoriej v gomotopicheskoj kategorii
kompleksov S-modulej polnuyu triangulirovannuyu podkategoriyu,
sostoyaschuyu iz vseh kompleksov, kotorye mozhno poluchit'
konusami, sdvigami i beskonechnymi pryamymi summami iz
kompleksov, inducirovannyh s kompleksov injektivnyh C-komodulej.
Analogichnym obrazom, rezol'ventnaya podkategoriya
v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-kontramodulej sostoit
iz vseh kompleksov, kotorye mozhno poluchit' konusami, sdvigami
i beskonechnymi proizvedeniyami iz kompleksov, koinducirovannyh
s kompleksov koinjektivnyh C-kontramodulej. Dokazatel'stvo
Teorem 1-2 na samom dele dokazyvaet sleduyuschee: lyubaya
polnaya triangulirovannaya podkategoriya gomotopicheskoj
kategorii kompleksov S-modulej ili S-kontramodulej,
soderzhaschaya rezol'ventnuyu podkategoriyu, posle faktorizacii
po svoemu peresecheniyu s polnoj podkategoriej trivial'nyh
kompleksov ekvivalentno proeciruetsya na sootv. proizvodnuyu
kategoriyu.
Popravka (dobavlena v noyabre 2006 goda). Sformulirovannoe
zdes' obobschenie Teorem 1-2 vse zhe slishkom sil'no, i mozhno
li ego dokazat', ya ne znayu. Pravil'no budet, naprimer, tak:
lyubaya polnaya podkategoriya gomotopicheskoj kategorii
kompleksov S-modulej, soderzhaschayasya v podkategorii vseh
kompleksov C-injektivnyh S-modulej i soderzhaschaya
rezol'ventnuyu podkategoriyu, i analogichno lyubaya polnaya
podkategoriya kompleksov S-kontramodulej, soderzhaschayasya
v podkategorii vseh kompleksov C-proektivnyh S-modulej, posle
faktorizacii po svoemu peresecheniyu s polnoj podkategoriej
trivial'nyh kompleksov izomorfno proeciruetsya na
sootvetstvuyuschuyu proizvodnuyu kategoriyu.
V chastnosti, eto verno dlya polnoj podkategorii, sostoyaschej
iz vseh kompleksov C-injektivnyh S-modulej. Ee peresechenie
s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov sostoit iz vseh
kompleksov C-injektivnyh S-modulej, styagivaemyh nad C.
Takim obrazom, proizvodnaya kategoriya S-modulej ekvivalentna
faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov
C-injektivnyh S-modulej po polnoj podkategorii C-styagivaemyh
C-injektivnyh kompleksov.
VII-2. Chtoby skazat' to zhe samoe dlya S-kontramodulej,
mne ponadobitsya ispol'zovat' sleduyuschuyu gipotezu.
Gipoteza 1. Dlya lyuboj koalgebry C, klassy kontraploskih,
koinjektivnyh i proektivnyh C-kontramodulej sovpadayut.
Drugimi slovami, vsyakij kontraploskij C-kontramodul'
yavlyaetsya proektivnym.
Primer. Pust' koalgebra C konechnomerna. Togda C-komoduli
i C-kontramoduli sut' prosto moduli nad konechnomernoj algebroj
N, dvojstvennoj k C. Kontraploskie kontramoduli sut' ploskie
moduli, i, kak izvestno, vsyakij ploskij modul' nad
konechnomernoj algebroj proektiven [sm. napr. stat'yu Bassa
v Trans. AMS v.95 za 1960 god].
U menya est' oschuschenie, chto Gipotezu 1 mozhno vyvesti iz
sleduyuschego namnogo bolee fundamental'nogo utverzhdeniya
o kontramodulyah.
Gipoteza 2. Dlya lyubogo kontramodulya P nad koalgebroj C,
peresechenie obrazov prostranstv Hom_k(C/V, P) pri strukturnom
otobrazhenii Hom_k(C,P) \to P, vzyatoe po vsem konechnomernym
podprostranstvam (ili, esli ugodno, podkoalgebram) V v C,
ravno nulyu v P.
Primer. V chetvertom pis'me za 2000 god zadavalsya vopros, kak
dokazat', chto vsyakij konechnomernyj C-kontramodul' yavlyaetsya
kontramodulem nad konechnomernoj podkoalgebroj C. Vidno, chto
eto utverzhdenie yavlyaetsya chastnym sluchaem Gipotezy 2.
VII-3. Ispol'zuya Gipotezu 1, mozhno utverzhdat', chto polnaya
podkategoriya v gomotopicheskoj kategorii S-kontramodulej,
sostoyaschaya iz vseh kompleksov C-proektivnyh kontramodulej,
soderzhit rezol'ventnuyu podkategoriyu. Ee peresechenie
s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov sostoit iz vseh
kompleksov C-proektivnyh S-kontramodulej, styagivaemyh nad C.
Sledovatel'no, proizvodnaya kategoriya S-kontramodulej
ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C-proektivnyh S-kontramodulej po polnoj podkategorii
C-styagivaemyh C-proektivnyh kompleksov.
V konce 4-go pis'ma iz "letnej serii" 2000-go goda bylo
pokazano, chto additivnye kategorii injektivnyh C-komodulej
i proektivnyh C-kontramodulej ektvivalentny, i struktury
S-modulya na C-komodulyah odnoznachno sootvetstvuyut strukturam
S-kontramodulya na C-kontramodulyah pri etoj ekvivalentnosti --
tak chto kategorii C-injektivnyh S-modulej i C-proektivnyh
S-kontramodulej ekvivalentny tozhe. Teper' otsyuda nemedlenno
poluchaetsya ekvivalentnost' proizvodnyh kategorij S-modulej i
S-kontramodulej.
VII-4. Utverzhdaetsya, chto pri etoj ekvivalentnosti kategorij
funktor polubeskonechnyh kogomologij perehodit v funktor Hom.
Eto sleduet iz formul, vypisannyh v razdele II-2 nastoyaschego
pis'ma. Tochnee skazat', mozhno rassuzhdat' tak. Pust' nekij
ob'ekt proivodnoj kategorii S-modulej predstavlen kompleksom
C-injektivnyh S-modulej L, a ob'ekt proizvodnoj kategorii
S-kontramodulej predstavlen kompleksom C-injektivnyh
S-kontramodulej P. Togda proizvodnyj funktor funktora Cohom
na ob'ektah L i P mozhno vychislit', vybrav otobrazheniya
s trivial'nymi konusami L_1 \to L i P \to P_1, gde L_1 i P_1
prinadlezhat rezol'ventnym podkategoriyam, i poschitav
Cohom(L_1,P_1), ili Cohom(L_1,P), ili Cohom(L,P_1) (vse ravno).
Soglasno formule iz razdela II-2, my znaem, chto Cohom(L_1,P_1)
= Hom(\psi(L_1), P_1), gde \psi oboznachaet funktor iz
C-injektivnyh S-modulej v C-proektivnye S-kontramoduli, a Hom
beretsya v gomotopicheskoj kategorii. Teper' ostalos' pokazat',
chto \psi(L_1) lezhit v levom, a P_1 -- v pravom ortogonale
k podkategorii C-styagivaemyh kompleksov v gomotopicheskoj
kategorii C-proektivnyh kompleksov S-kontramodulej (ili hotya
by odno iz etih dvuh utverzhdeniij -- na samom dele verny oba).
V samom dele, pust' X -- takoj C-styagivaemyj kompleks, togda
Hom(\psi(L_1), X) = Cohom(L_1, X) = 0, poskol'ku kompleks L_1
poluproektiven. Analogichno Hom(X, P_1) = Cohom(\psi^{-1}(X),
P_1) = 0, poskol'ku psi^{-1}(X) tozhe C-styagivaem, a P_1
poluinjektiven.
Prizmotrevshis' k etomu rassuzhdeniyu, mozhno zametit', chto
i bez predpozheniya Gipotezy 1 ono dokazyvaet suschestvovanie
funktora \Psi iz proizvodnoj kategorii S-modulej v proizvodnuyu
kategoriyu S-kontramodulej, takogo chto proizvodnyj funktor
funktora Cohom raven komposicii funktora \Psi s funktorom Hom
v proizvodnoj kategorii kontramodulej. Gipoteza 1 nuzhna,
chtoby dokazat', chto \Psi -- ekvivalentnost' kategorij. Kogda
koalgebra C konechnomerna, my eto znaem.
P.S. Dobavlenie (maj 2006 goda). Vot prostejshij kontrprimer
k Gipoteze 2 (drugoj kontrprimer priveden v dobavlenii v tekste
chetvertogo pis'ma za 2000 god). Rassmotrim koalgebru C,
dvojstvennuyu k pro-konechnomernoj algebre formal'nyh stepernnyh
ryadov ot odnoj peremennoj C^* = k[[x]]. Togda C-kontramoduli
sut' k-vektornye prostranstva P, snabzhennye operaciej
summirovanija posledovatel'nostej vektorov s formal'nymi
koefficientami x^n, t.e. dlya lyubyh p_0, p_1, ... iz P
opredelena summa \sum x^i p_i kak element P. Rassmotrim
svobodnyj kontramodul', porozhdennyj posledovatel'nost'yu
e_0, e_1, ... ; ego elementy sut' formal'nye summy
\sum a_i(x)e_i, gde formal'nye stepennye ryady a_i(x) obladayut
tem svojstvom, chto ord_x a_i(x) stremitsya k beskonechnosti pri
vozrastayuschem i. Rassmotrim teper' gomomorfizm iz svobodnogo
kontramodulya F, porozhdennogo f_1, f_2, ... v svobodnyj
kontramodul' E, porozhdennyj e_0, e_1, e_2, ... -- voobsche
takie gomomorfizmy biektivno sootvetstvuyut proizvol'nym
posledovatel'nostyam elementov E -- obrazov f_i -- a nas
interesuet gomomorfizm, pri kotorom f_i perehodit v x^i e_i - e_0.
Proizvol'nyj element \sum a_i(x)f_i kontramodulya F perehodit
pri etom otobrazhenii v \sum x^i a_i(x) e_i - (\sum a_i(x))e_0.
Otsyuda neposredstvenno vidno, chto element e_0 ne lezhit
v obraze etogo gomomorfizma. Rassmotrim faktorkontramodul'
P=E/im F; utverzhdaetsya, chto klass elementa e_0 v P lezhit
v im Hom(C/V,P) dlya vseh konechnomernyh podkoalgebr V v C.
V samom dele, dlya lyuboj V najdetsya takoe i, chto x^i kak
element C^* annuliruet V; tak chto vyrazhenie x^i e_i
predstavlyaet element Hom(C/V,P), obraz kotorogo v P raven e_0.
P.P.S. Dobavlenie (iyun' 2006 goda). Spravedliva takaya
oslablennaya versiya utverzhdeniya Gipotezy 2: dlya lyubogo
nenulevogo C-kontramodulya P najdetsya takaya konechnomernaya
podkoalgebra V v C (kotoruyu mozhno vybrat' prostoj, t.e. ne
soderzhaschej netrivial'nyh podkoalgebr), chto obraz Hom(C/V,P)
v P ne raven P. Dokazatel'stvo sostoit iz dvuh lemm.
Lemma 1 (lemma Nakayamy dlya kontramodulej). Pust' C^ss
oboznachaet maksimal'nuyu poluprostuyu podkoalgebru koalgebry C.
Togda dlya lyubogo nenulevogo C-kontramodulya P obraz
prostranstva Hom(C/C^ss,P) v P ne raven P. Dokazatel'stvo:
zametim, chto koalgebra bez koedinicy D=C/C^ss konil'potentna,
t.e. lyuboj element D annuliruetsya otobrazheniem iterirovannogo
koumnozheniya D\to D^{\ot i} pri dostatochno bol'shih i.
Pokazhem, chto dlya lyubogo kontramodulya P nad konil'potentnoj
koalgebroj bez koedinicy D surjektivnost' otobrazheniya
Hom(D,P)\to P vlechet ravenstvo P=0. V samom dele, dopustim,
chto P = im Hom(D,P). Pust' p -- kakoj-to element P; on prihodit
iz nekotorogo otobrazheniya f_1: D\to P. Poskol'ku otobrazhenie
Hom(D,P)\to P surjektivno, otobrazhenie f_1 mozhno podnyat' do
nekotorogo otobrazheniya D \to Hom(D,P), otkuda poluchaetsya
otobrazhenie f_2: D\ot D \to P, i tak dalee. Takim obrazom
stroitsya posledovatel'nost' otobrazhenij f_i: D^{\ot i} \to P,
takih chto f_{i-1}=m'_1(f_i), gde m' -- otobrazhenie
kontradejstviya Hom(C,P) \to P, a m'_1 oboznachaet primenenie m'
po pervomu tenzornomu somnozhitelyu v D^{\ot i}. Polozhim
g_i=m_{2..i}(f_i), i=2,3,..., gde m -- otobrazhenie koumnozheniya
D \to D\ot D, a m_{2..i} oboznachaet podstanovku otobrazheniya
iterirovannogo koumnozheniya D \to D^{\ot i-1} po komponentam
s nomerami ot 2 do i v tenzornom proizvedenii D^{\ot i}.
Togda g_i sut' otobrazheniya D\ot D \to P. Imeem
m'_1(g_i)=m_{1..i-1}(f_{i-1}) i m_{1..2}(g_i)=m_{1..i}(f_i).
Zametim, chto, kak sleduet iz konil'potentnosti koalgebry D,
ryad \sum_{i=2}^\infty g_i shoditsya v smysle potochechnogo
predela funkcij D\ot D \to P, i dazhe potochechnogo predela
funkcij D \to Hom(D,P). (Zdes', kak i ranee, podrazumevaetsya
otozhdestvlenie Hom(X, Hom(Y,Z)) = Hom(Y\ot X, Z).) Poetomu
m'_1(\sum g_i) = \sum m_{1..i-1}(f_{i-1}) i m_{1..2}(\sum g_i) =
\sum m_{1..i}(f_i), otkuda poluchaem m'_1(\sum g_i) -
m_{1..2}(\sum g_i) = f_1, tak chto m'(f_1)=0. Lemma 1 dokazana.
Lemma 2. Pust' koalgebra C yavlyaetsya pryamoj summoj semejstva
koalgebr C_a. Togda vsyakij C-kontramodul' yavlyaetsya pryamym
proizvedeniem kontramodulej nad C_a. Dokazatel'stvo: ochevidno,
chto utverzhdenie Lemmy vypolnyaetsya dlya lyubogo svobodnogo
C-kontramodulya. Pust' teper' C-kontramodul' P yavlyaetsya
pryamym proizvedeniem C_a-kontramodulej P_a. Pokazhem, chto
vsyakij podkontramodul' R v P yavlyaetsya pryamym proizvedeniem
svoih obrazov R_a pri proekciyah P\to P_a. Pust' zadan nabor
elementov r_a v R. Rassmotrim linejnoe otobrazhenie f: C\to R,
ogranichenie kotorogo na C_a ravno kompozicii C_a\to k\to R,
gde pervoe komponuemoe otobrazhenie est' koedinica koalgebry C_a,
a vtoroe otobrazhaet 1 v r_a. Oboznachim cherez r obraz
funkcionala f pri otobrazhenii kontradejstviya Hom(C,R)\to R.
Togda ochevidno, chto obraz elementa r pri proekcii P\to P_a
raven obrazu r_a pri etoj proekcii. Takim obrazom, R yavlyaetsya
pryamym proizvedeniem R_a. Teper' ostalos' zametit', chto
vsyakij C-kontramodul' yavlyaetsya faktorkontramodulem svobodnogo
kontramodulya po nekotoromu ego podkontramodulyu.
P.P.P.S. Dobavlenie (iyun' 2006 goda). Vot dokazatel'stvo
Gipotezy 1, opirayuscheesya na rezul'taty iz predyduschego
Dobavleniya. Dlya lyubogo C-kontramodulya X i lyuboj
podkoalgebry V v C oboznachim cherez X_V = X/im Hom_k(C/V,X) =
Cohom_C(V,X) maksimal'nyj faktorkontramodul' X, yavlyayuschijsya
kontramodulem nad U. Pust' C^ss oboznachaet maksimal'nuyu
poluprostuyu podkoalgebru koalgebry C.
Lemma. Dlya lyubogo C^ss-kontramodulya T najdetsya takoj
proektivnyj C-kontramodul' P, chto P_{C^ss} izomofen T.
Dokazatel'stvo: Soglasno Lemme 2 vyshe, T yavlyaetsya pryamym
proizvedeniem kontramodulej nad prostymi komponentami C_a
poluprostoj koalgebry C^ss. Vsyakij C_a-kontramodul', v svoyu
ochered', yavlyaetsya pryamoj summoj nekotorogo kolichestva kopij
edinstvennogo neprivodimogo C_a-kontramodulya. Otsyuda netrudno
zaklyuchit', chto dostatochno rassmotret' sluchaj, kogda T --
neprivodimyj C_a-kontramodul'. Pust' e_a -- takoj idempotentnyj
element algebry C_a^*, chto T izomorfen C_a^*e_a. Rassmotrim
idempotentnyj linejnyj funkcional e_ss na algebre C^ss, ravnyj
e_a na C_a i nulyu na vseh C_b pri b ne ravnom a. Kak izvestno,
dlya lyubogo surjektivnogo otobrazheniya kolec A\to B, yadro
kotorogo yavlyaetsya nil'-idealom v A, vsyakij idempotentnyj
element B mozhno podnyat' do idempotenta v A. Ispol'zuya etot
fakt dlya konechnomernyh algebr i lemmu Zorn'a, netrudno
pokazat', chto lyuboj idempotentnyj linejnyj funkcional na C^ss
prodolzhaetsya do idempotentnogo linejnogo funkcionala na C.
Pust' e -- takoj idempotentnyj element C^*, prodolzhayuschij
e_ss; polozhim P = C^*e. Legko videt', chto C^ss-kontramodul'
P_{C^ss} izomorfen T. Lemma dokazana.
Pust' teper' Q -- kontraploskij C-kontramodul'; pokazhem, chto
on proektiven. Rassmotrim proektivnyj C-kontramodul' P, dlya
kotorogo P_{C^ss} izomorfen Q_{C^ss}. Poskol'ku P proektiven,
surjektivnoe otobrazhenie P\to Q_{C^ss} mozhno podnyat' do
gomomorfizma kontramodulej f: P\to Q. Poskol'ku
(coker f)_{C^ss} = coker(f_{C^ss}) = 0, iz Lemmy 1 vyshe sleduet,
chto gomomorfizm f surjektiven. Ostalos' pokazat', chto f
injektiven. Zametim, chto dlya lyubogo pravogo komodulya M nad
podkoalgebroj V koalgebry C imeet mesto izomorfizm
M\ocn_C Q = M\ocn_V Q_V, otkuda yasno, chto V-kontramodul' Q_V
kontraploskij. Pust' teper' podkoalgebra V konechnomerna;
togda Q_V -- ploskij V^*-modul'. Rassmotrim otobrazhenie
f_V: P_V\to Q_V i oboznachim ego yadro cherez K. Dlya lyubogo
pravogo V^*-modulya M imeem korotkuyu tochnuyu posledovatel'nost'
0 \to M\ot_{V^*}K \to M\ot_{V^*} P_V \to M\ot_{V^*} Q_V \to 0.
V chastnosti, poskol'ku dlya lyuboj prostoj podkoalgebry V_a v V
otobrazhenie V_a^*\ot_{V^*}f_V = f_{V_a} yavlyaetsya izomorfizmom,
mozhno zaklyuchit', chto modul' V_a^*\ot_{V^*}K = K_{V_a} raven
nulyu. Otsyuda sleduet, chto K=0 i f_V -- izomorfizm. Nakonec,
pust' R -- yadro otobrazheniya f: P\to Q. Poskol'ku f_V
izomorfizm, podkontramodul' R soderzhitsya v obraze Hom(C/V,P)
v P dlya lyuboj konechnomernoj podkoalgebry V v C; no
peresechenie vseh takih obrazov ravno nulyu, tak kak
C-kontramodul' P proektiven.
From: Leonid Positselski < posic@mpim-bonn.mpg.de >
To: roma, hippie
Date: Fri, 11 Oct 2002 18:56:58 +0200 (MEST)
Subject: opredelenie polubeskonechnyh gomologij (ispravleno)
Privet, Roma i Serezha,
Nizhe propisany sleduyuschie voprosy, otnosyaschiesya
k opredeleniyu funktora polubeskonechnogo tenzornogo
proizvedeniya, t.e., Tor^{\infty/2}, kak pishet Serezha.
I: kakie abelevy kategorii modulej rassmatrivayutsya;
II: ot kakogo funktora na etih kategoriyah nado brat'
proizvodnyj funktor;
III: otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah modulej,
t.e., kakie kompleksy modulej schitat' trivial'nymi;
IV: poluploskie kompleksy S-modulej;
V: konstrukcii rezol'vent;
VI: opredelenie proizvodnogo funktora.
Vy smozhete zametit', chto naibolee zaputannye ob'yasneniya
i slozhnye formuly voznikayut pri poputke perepisat' vse eto
na yazyke algebr A i A^#, t.e., ne ispol'zuya v yavnom vide
komodulej i komodul'nyh algebr. Na yazyke zhe koalgebry C,
komodul'noj algebry S i (ko)modulej nad nimi vse operacii
vyglyadyat dovol'no prosto i prozrachno (za isklyucheniem,
vprochem, neskol'ko zamyslovatyh vychislenij iz razdela V).
I-1. Pust' dana koalgebra C i komodul'naya algebra S nad nej,
t.e. S yavlyaetsya ob''ektom-algebroj v tenzornoj kategorii
bikomodulej nad C otnositel'no kotenzornogo proizvedeniya.
Predpolagaetsya, chto S injektivna nad C kak sleva, tak
i sprava. Argumentami funktora polubeskonechnyh gomologij
budut kompleksy levyh i pravyh S-modulej (t.e., sootv.,
levyh i pravyh C-komodulej, snabzhennyh dejsviem S).
I-2. Esli C konechnomerna, to bez upominaniya koalgebr i t.d.
mozhno obojtis'. Vmesto etogo rassmatrivaetsya algebra A
i v nej konechnomernaya podalgebra N. Predpolagaetsya, chto
a. A yavlyaetsya proektivnym levym N-modulem; i
b. tenzornoe proizvedenie S = N^*\ot_N A yavlyaetsya
injektivnym pravym N-modulem.
Pust' A^# := Hom_{N-right}(N^*, S). Po postroeniyu,
A^# yavlyaetsya N-bimodulem, snabzhennym bimodul'nym
otobrazheniem N \to A^#. Na samom dele, na A^# imeetsya
struktura algebry (kak ob'yasneno v pis'me nomer 2 iz
predyduschej serii, t.e., leta 2000 goda), a N yavlyaetsya
v nej podalgebroj.
Argumentami funktora polubeskonechnyh gomologij yavlyayutsya
kompleksy levyh A^#-modulej i kompleksy pravyh A-modulej.
I-3. Sootvetstvie mezhdu naborami dannyh 1. i 2. sostoit
v tom, chto C = N^*, S = N^*\ot_N A = A^#\ot_N N^*.
V obratnuyu storonu imeem A = Hom_{N-left}(N^*,S),
A^# = Hom_{N-right}(N^*,S). Pravye S-moduli sut' to zhe
samoe, chto pravye A-moduli, a levye S-moduli -- eto levye
A^#-moduli. V chastnosti, sam S yavyaetsya bimodulem,
levym nad A^# i pravym nad A.
Zamechanie: ya ne dumayu, chtoby mozhno bylo korrektno
obojtis' bez koalgebr i komodulej v situacii, kogda C
(ona zhe N) beskonechnomerna.
II-1. Polubeskonechnye gomologii yavlyayutsya proizvodnym
funktorom funktora tenzornogo proizvedeniya S-modulej. Funktor
etot opredelyaetsya tak. Esli M i L -- pravyj i levyj S-moduli,
to prostranstvo M\ot_S L est' koyadro otobrazheniya
M\oc_C S\oc_C L \to M\oc_C L,
gde \oc_C oboznachaet kotenzornoe proizvedenie nad C. Takim
obrazom, tenzornoe proizvedenie nad komodul'noj algebroj est'
faktorprostranstvo nekotorogo podprostranstva tenzornogo
proizvedeniya vektornyh prostranstv. Etot funktor ne tochen
ni sleva, ni sprava.
II-2. Na yazyke algebr A i A^# s podalgebroj N nuzhnyj funktor
mozhno napisat' neskol'kimi sposobami. Vo-pervyh, v formule
s koyadrom vyshe mozhno perepisat' M\oc_C S\oc_C L kak
Hom_N(N, M\ot_N A\ot_k L) = Hom_N(N, M\ot_k A^#\ot_N L)
i M\oc_C L kak Hom_N(N, M\ot_k L). V takom vide etu
konstrukciyu mozhno pytat'sya sravnivat' s sevast'yanovskim
opredeleniem polutenzornogo proizvedeniya kak yakoby obraza
kotenzornogo proizvedeniya v tenzornom (hotya na samom dele
takoe sravnenie ne ochen' poluchaetsya, a sevast'yanovskoe
opredelenie predstavlyaetsya mne ne ochen' pravil'nym).
Po-moemu, gorazdo interesnee Serezhiny formuly iz ego stat'i
"Semi-infinite cohomology of quantum groups II" (sm. subsection
4.7 pod nazvaniem "Choice of resolutions"). Pust' M -- pravyj
A-modul', a L -- levyj A^#-modul'. Togda esli M injektiven
nad N, to M\ot_S L = Hom_{A-right}(S,M) \ot_{A^#} L; a esli
L injektiven nad N, to M\ot_S L = M \ot_A Hom_{A^#-left}(S,L).
(Ne vpolne samoochevidnoe) dokazatel'stvo etih utverzhdenij
predostavlyaetsya chitatelyam.
V nizhesleduyuschem izlozhenii yazyk A i A^# ne ispol'zuetsya.
Ya budu govorit' isklyuchitel'no o kompleksah levyh ili pravyh
modulej nad komodul'noj algebroj S (nad koalgebroj C).
III. Pravil'noe (na moj vzglyad) otnoshenie ekvivalentnosti
na kompleksah modulej, k kotorym primenyaetsya funktor
polubeskonechnyh gomologij, yavlyaetsya nekotoroj smes'yu dvuh
vidov otnoshenij ekvivalentnosti, pro kotorye ya vam vsegda
rasskazyval kak "proizvodnye kategorii D i D-shtrih". Napomnyu,
chto esli E -- nekotoraya DG-algebra ili DG-koalgebra, to est'
dva osnovnyh sposoba opredelit' proizvodnuyu kategoriyu
DG-(ko)modulej nad E. A imenno, v proizvodnoj kategorii "D"
DG-modul' trivialen, esli ego kogomologii (po otnosheniyu k ego
differencialu) trivial'ny. V kategorii "D-shtrih" trivial'nymi
yavlyayutsya DG-moduli, kotorye mozhno poluchit' iz total'nyh
modulej tochnyh troek DG-modulej s pomosch'yu operacij konusa
i beskonechnoj pryamoj summy. Proizvodnaya kategoriya, kotoraya
nuzhna dlya polubeskonechnyh gomologij, est' kak by kategoriya
"D-shtrih" po napravleniyu koalgebry C, no kategoriya "D" po
dopolnitel'nym napravleniyam v S (tak skazat', "D-shtrih" vdol'
N-polovinki, no "D" vdol' B-polovinki). Tut est' takoj moment,
chto komodul'naya algebra S (ravno kak i algebry A i A^#)
nikakogo netrivial'nogo differenciala ne imeyut, odnako teoriya
pro D i D-shtrih mozhet byt' ne vpolne trivial'na i dlya takih
DG-algebr, kotorye est' na samom dele obyknovennye algebry
(sosredotochennye v gomologicheskoj graduirovke 0 pritom).
Formal'noe opredelenie prosto: pust' imeetsya (voobsche govorya,
beskonechnyj v obe storony i vo vseh smyslah beskonechnomernyj)
kompleks modulej X nad komodul'noj algebroj S. Primenim
zabyvayuschij funktor i rassmotrim X kak kompleks komodulej
nad coalgebroj C. Kompleks X nazyvaetsya trivial'nym, esli on
yavlyaetsya trivial'nym kak kompleks komodulej nad C, v smysle
nizhesleduyuschego opredleleniya.
Kompleks komodulej X nad C nazyvaetsya trivial'nym, esli on
udovletvoryaet sleduyuschim dvum ekvivalentnym usloviyam:
a) dlya lyubogo kompleksa injektivnyh (naprimer, kosvobodnyh)
komodulej I nad C imeem Hom(X,I)=0 v gomotopicheskoj kategorii
C-komodulej; ili
b) X kak kompleks komodulej mozhno poluchit' operaciyami
konusa i beskonechnoj pryamoj summy iz total'nyh kompleksov
tochnyh troek kompleksov komodulej.
Naprimer, esli C trivial'na, t.e. C=k=N, to my imeem S=A=A^#=B
i vysheopredelennye trivial'nye kompleksy S-modulej sut' samye
obyknovennye (beskonechnye vo vse storony) aciklichnye kompleksy
modulej nad algebroj A, ona zhe B.
Opredelenie: proizvodnoj kategoriej levyh ili pravyh modulej
nad komodul'noj algebroj S nazyvaetsya faktorkategoriya
gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej po podkategorii
trivial'nyh kompleksov, opredelennoj vyshe. Analogichnym
obrazom opredelyaetsya proizvodnaya kategoriya (levyh ili
pravyh) C-komodulej.
IV. Napomnyu, chto na S-modulyah imeetsya operaciya tenzornogo
proizvedeniya nad S, obsuzhdavshayasya v razdele II. Kak
vsegda, eta operaciya trivial'nym obrazom rasprostranyaetsya
na kompleksy S-modulej.
Opredelenie. Kompleks levyh S-modulej F nazyvaetsya poluploskim,
esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa pravyh S-modulej T
kompleks tenzornogo proizvedeniya T\ot_S F aciklichen kak k-s
vektornyh prostranstv. Analogichnym obrazom opredelyayutsya
poluploskie kompleksy pravyh S-modulej.
Kompleks levyh C-komodulej E nazyvaetsya koploskim, esli dlya
lyubogo trivial'nogo kompleksa pravyh C-comodulej U kompleks
kotenzornogo proizvedeniya U\ot_C E aciklichen kak kompleks
vektornyh prostranstv; analogichno dlya pravyh C-komodulej.
Utverzhdenie: vsyakij poluploskij kompleks S-modulej yavlyaetsya
koploskim kak kompleks C-komodulej. Dokazatel'stvo: pust' F --
poluploskij kompleks levyh S-modulej; nas interesuet kotenzornoe
proizvedenie U\oc_C F. Neobhodimo ispol'zovat' funktor indukcii,
sopostavlyayuschij kazhdomu C-komodulyu P inducirovannyj S-modul'
P\ot_C S. Netrudno videt', chto funktor indukcii perevodit
trivial'nye kompleksy C-komodulej v trivial'nye (naprimer,
udobno ispol'zovat' opredelenie b) trivial'nyh kompleksov).
Teper' imeem U\oc_C F = (U\oc_C S) \ot_S F i poluploskost'
vlechet koploskost'.
V. Teorema: faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii
poluploskih kompleksov S-modulej po tolstoj podkategorii
poluploskih trivial'nyh kompleksov ekvivalentno proeciruetsya
na faktorkategoriyu vseh kompleksov S-modulej po trivial'nym
(drugimi slovami, proizvodnuyu kategoriyu S-modulej).
Ya ne budu zdes' dokazyvat' etu teoremu o triangulirovannyh
kategoriyah v polnoj sile, no ogranichus' lish' dokazatel'stvom
syur'ektivnosti dannogo funktora na ob'ektah. Drugimi slovami,
ya pokazhu, chto vsyakij kompleks S-modulej svyazan s nekotorym
poluploskim kompleksom cepochkoj (na samom dele, cepochkoj dliny
dva, t.e. prosto "domikom") otobrazhenij s trivial'nymi konusami.
Dokazyvat' poslednij fakt mozhno raznymi sposobami -- naprimer,
ispol'zuya koshulevu dvojstvennost' v duhe togo, kak eto delal
v svoih pervyh rabotah na dannuyu temu Serezha -- odnako ya
privedu zdes' pryamoe, otnositel'no elementarnoe dokazatel'stvo.
Ono osnovyvaetsya na sleduyuschej lemme.
Lemma. Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij proizvol'nomu
S-modulyu ego vlozhenie v C-injektivnyj S-modul'.
Kommentarij: ponyatno, chto eto tot samyj vopros, kotoryj
v standartnyh izlozheniyah etoj nauki (u vas oboih, naprimer,
ravno kak u Sevast'yanova) reshalsya s pomosch'yu "indukcii
s podalgebry B". U menya zdes' nikakoj takoj "podalgebry B"
net, tak chto mne nuzhen pryamoj put'.
V-1. Dokazatel'stvo Lemmy. Pust' M -- proizvol'nyj S-modul'.
Rassmotrim M kak C-komodul' i vlozhim ego v injektivnyj
C-komodul' P=P(M). Ponyatno, chto eto mozhno sdelat'
funktorial'nym obrazom, naprimer, prosto vybrav P(M)=C\ot_k M.
Oboznachim cherez Q(M) faktormodul' S-modulya S\oc_C P(M) po
ego podmodulyu, yavlyayuschemusya obrazom yadra otobrazheniya
S\oc_C M \to M pri vlozhenii S\oc_C M \to S\oc_C P(M). Netrudno
videt', chto kompoziciya M \to P(M) \to S\oc_C P(M) \to Q(M)
yavlyaetsya otobrazheniem S-modulej (v to vremya kak komponuemye
morfizmy sut' lish' otobrazheniya C-komodulej). Krome togo,
otobrazhenie M v Q(M) yavlyaetsya vlozheniem. Odnako Q(M)
mozhet ne byt' injektivnym C-komodulem.
Poslednyaya problema preodolevaetsya iterirovaniem konstrukcii.
Rassmotrim cepochku vlozhenij M \to Q(M) \to Q(Q(M)) \to ...
Ya utverzhdayu, chto induktivnyj predel etoj cepochki injektiven
kak C-komodul'. V samom dele, etot predel yavlyaetsya takzhe,
kak C-komodul', induktivnym predelom cepochki injektivnyh
komodulej S\oc_C P(M) \to S\oc_C P(Q(M)), gde otobrazheniya
v cepochke sut' kompozicii cherez Q(M), Q(Q(M)), i t.d. Odnako
netrudno videt', chto induktivnyj predel po cepochke sohranyaet
injektivnost' komodulej nad proizvol'noj koalgebroj, potomu
chto vsyakij komodul' yavlyaetsya ob''edineniem konechnomernyh.
V samom dele, dostatochno prodolzhit' otobrazhenie v pryamoj
predel s konechnomernogo podkomodulya na konechnomernyj komodul';
teper' otobrazhenie iz konechnomernogo komodulya propuskaetsya
cherez odin iz Q^n(M), i, znachit, cherez S\oc_C P(Q^n(M)).
Takim obrazom, lemma dokazana.
V-2. Teper' pokazhem, chto dlya lyubogo kompleksa S-modulej X
najdetsya otobrazhenie f: X \to Y, takoe chto vse chleny
kompleksa Y sut' kosvobodnye C-komoduli, a konus f yavlyaetsya
trivial'nym kompleksom v smysle opredeleniya iz razdela III.
Eto delaetsya prosto. Pol'zuyas' lemmoj, vlozhim kompleks X
v kakoj-nibud' kompleks C-injektivnyh S-modulej J, voz'mem
faktorkompleks J/X, vlozhim ego tochno tak zhe esche raz, i t.d.
Postroim takim obrazom kompleks kompleksov X \to J \to J_1 \to
J_2 \to ... Rassmotrim total'nyj kompleks Y=Tot(J\to J_1\to...),
obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya pryamyh summ po diagonalyam.
Ochevidno, chto kompleks Y yavlyaetsya kompleksom C-injektivnyh
S-modulej, a otobrazhenie f: X\to Y -- morfizmom kompleksov
S-modulej. Ostaetsya proverit', chto posle vzyatiya
zabyvayuschego funktora v kompleksy C-komodulej konus morfizma
f okazyvaetsya trivial'nym kompleksom. Eto delaetsya standartnym
obrazom, kak sootvetstvuyuschij rezul'tat pro kategoriyu D-shtrih
dlya komodulej nad proizvol'noj (DG-)koalgebroj. Ispol'zuetsya
konstrukciya gomotopicheskogo pryamogo predela ("teleskopa") i
opredelenie trivial'nosti v variante b) iz razdela III.
V-3. Ostalos' dokazat', chto dlya lyubogo kompleksa C-injektivnyh
S-modulej Y najdetsya poluploskij kompleks Z vmeste s morfizmom
g: Z\to Y, takim chto konus g trivialen. Na samom dele, my
dokazhem bol'shee, a imenno:
1. Vse kompleksy S-modulej, inducirovannye (s pomosch'yu operacii
S\oc_C *) s kompleksov injektivnyh C-komodulej poluploski;
2. Poluploskoskie kompleksy obrazuyut v gomotopicheskoj kategorii
kompleksov S-modulej triangulirovannuyu podkategoriyu, zamknutuyu
otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ;
3. Dlya lyubogo kompleksa C-injektivnyh S-modulej Y najdetsya
morfizm kompleksov S-modulej g: Z\to Y, takoj chto
i. konus g, rassmotrennyj kak kompleks C-komodulej, styagivaem;
ii. Kompleks Z stroitsya iz kompleksov tipa 1. s pomosch'yu
operacij konusa i beskonechnoj pryamoj summy.
Utverzhdenie 1. ochevidno, poskol'ku kotenzornoe proizvedenie
kompleksa injektivnyh C-komodulej i trivial'nogo kompleksa
C-komodulej yavlyaetsya aciklichnym kompleksom vektornyh
prostranstv, kak netrudno videt'. Utverzhdenie 2. yasno.
Nakonec, utverzhdenie 3. dokazyvaetsya vzyatiem total'nogo
kompleksa otnositel'noj bar-konstrukcii nad S otnositel'no C.
Konkretnee, nuzhno napisat'
... \to S\oc_C S \oc_C Y \to S\oc_C Y \to Y
i vzyat' za Z total'nyj kompleks vsego etogo dela, krome
poslednego Y. Punkt i. proveryaetsya yavnoj kanonicheskoj
gomotopiej, prisuschej bar-konstrukciyam takogo roda;
a punkt ii. dokazyvaetsya standartnym obrazom, ispol'zuya
snova konstrukciyu "teleskopa".
Osnovnuyu teoremu razdela V mozhno schitat' (s ogovorkami,
sdelannymi v samom nachale razdela) dokazannoj.
VI. Teper', kogda vsya trudnaya rabota zavershena, opredelenie
funktora polubeskonechnyh gomologij daetsya razmahivaniem rukami.
My hotim opredelit' nekotoryj funktor dvuh argumentov, odin
iz kotoryh probegaet kategoriyu kompleksov pravyh, a drugoj --
levyh S-modulej. Na samom dele etot funktor budet opredelen
na faktorkategoriyah gomotopicheskih kategorij kompleksov
S-modulej po tolstym podkategoriyam trivial'nyh kompleksov
(oni tolstye, poskol'ku vsyakaya triangulirovannaya kategoriya,
zamknutaya otnositel'no schetnyh pryamyh summ, zamknuta i
otnositel'no pryamyh slagaemyh). Odnako soglasno teoreme iz
razdela V, interesuyuschie nas faktorkategorii ekvivalentny
faktorkategoriyam poluploskih kompleksov S-modulej po
trivial'nym poluploskim kompleksam. Teper' na poluploskih
kompleksah funktor polubeskonechnyh gomologij opredelyaetsya
neposredstvenno v lob kak tenzornoe proizvedenie modulej nad
komodul'noj algebroj S (sm. razdel II). Ochevidno, chto etot
funktor na gomotopicheskih kategoriyah poluploskih kompleksov
spuskaetsya na faktorkategorii po trivial'nym (poluploskim)
kompleksam (sm. razdel IV). Konec rassuzhdeniya.
Opredelenie funktora polubeskonechnyh gomologij na kategoriyah
modulej nad komodul'nymi algebrami takim obrazom mnoyu dano.
P.S. Zamechanie (dobavleno v aprele 2006 goda). Na samom dele,
podkategoriya v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej,
porozhdennaya s pomosch'yu konusov i pryamyh summ kompleksami
S-modulej, inducirovannymi s kompleksov injektivnyh C-komodulej
(v sleduyuschem pis'me ona nazyvaetsya rezol'ventnoj
podkategoriej) ekvivalentno proeciruetsya na proizvodnuyu
kategoriyu S-modulej. Dostatochno pokazat', chto peresechenie
rezol'ventnoj podkategorii s podkategoriej trivial'nyh kompleksov
ravno nulyu. Pust' kompleks X prinadlezhit peresecheniyu etih
dvuh podkategorij. Togda X kak kompleks C-komodulej odnovremenno
yavlyaetsya kompleksom injektivnyh C-komodulej i trivial'nym
kompleksom C-komodulej, otkuda sleduet, chto X styagivaem nad C.
Teper' X odnovremenno styagivaem nad C i prinadlezhit
podkategorii, porozhdennoj s pomosch'yu konusov i beskonechnyh
pryamyh summ kompleksami, inducirovannymi s C, otkuda sleduet,
chto X styagivaem nad S. Bolee togo, iz skazannogo sleduet, chto
rezol'ventnaya podkategoriya sovpadaet s polnoj podkategoriej
v gomotopicheskoj kategorii S-modulej, sostoyaschej iz kompleksov
injektivnyh C-komodulej, K-proektivnyh (v smysle Spaltenshtejna)
nad S otnositel'no C (t.e. prinadlezhaschih k levomu ortogonalu
k podkategorii vseh kompleksov, styagivaemyh nad C).
From: Leonid Positselski < posic@mpim-bonn.mpg.de >
To: roma, hippie
Date: Fri, 11 Oct 2002 18:59:59 +0200 (MEST)
Subject: polubeskonechnye KOgomologii i kontramoduli (ispravleno i dopolneno)
Privet, Roma i Serezha,
v moem predyduschem pis'me ot 3 avgusta sego goda bylo dano,
kak ya polagayu, pravil'noe opredelenie polubeskonechnyh
gomologij associativnyh algebraicheskih struktur. Cel'yu
nynehsnego pis'ma yavlyaetsya opredelenie polubeskonechnyh
kogomologij, t.e. Ext_{\infty/2} v Serezhinyh oboznacheniyah.
V svoem izlozhenii ya budu priblizitel'no sledovat' planu,
namechennomu v predyduschem pis'me (za isklyucheniem novogo
razdela VII etogo pis'ma, kotoryj ne imeet analoga dlya
polubeskonechnyh gomologij).
I: kakie abelevy kategorii modulej rassmatrivayutsya;
II: ot kakogo funktora na etih kategoriyah nado brat'
proizvodnyj funktor;
III: otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah, t.e.,
kakie kompleksy kontramodulej schitat' trivial'nymi;
IV: poluproektivnye kompleksy S-modulej, poluinjektivnye
kompleksy S-kontramodulej, i koinjektivnye C-kontramoduli;
V: konstrukcii rezol'vent;
VI: opredelenie proizvodnogo funktora;
VII: ekvivalentnost' proizvodnyh kategorij; polubeskonechnye
kogomologii kak Hom v triangulirovannoj kategorii.
Ya budu suschestvennejshim obrazom opirat'sya na pis'mo nomer
chetyre (poslednee) iz serii "letnih pisem" 2000-go goda,
v kotorom razbiralos' opredelenie kategorii kontramodulej, i
v osobennosti, ponyatie kontramodulya nad komodul'noj algebroj.
I-1. Pust' dana koalgebra C i komodul'naya algebra S nad nej;
predpolagaetsya, chto S injektivna nad C kak sleva, tak i
sprava. Pervym argumentom funktora polubeskonechnyh Ext-ov
budut kompleksy levyh S-modulej (sm. predyduschee pis'mo).
Vtorym argumentom funktora polubeskonechnyh Ext-ov budut
kompleksy levyh S-kontramodulej (sm. pis'mo nomer chetyre
iz letnej serii 2000-go goda).
I-2. Esli C konechnomerna, to vmesto komodul'noj algebry S
mozhno govorit' ob osoboj pare associativnyh algebr A i A^#,
snabzhennyh obschej podalgebroj N (dvojstvennoj k C).
V etom sluchae pravye S-moduli sut' pravye A-moduli, levye
S-moduli sut' levye A^#-moduli, a levye S-kontramoduli sut'
levye A-moduli, i, nakonec, pravye S-kontramoduli sut' pravye
A^#-moduli. Pervym argumentom funktora polubeskonechnyh
kogomologij okazyvayutsya kompleksy levyh A^#-modulej, vtorym
-- kompleksy levyh A-modulej.
I-3. Kak vidno iz vysheskazannogo, pri postroenii teorii
polubeskonechnyh KOgomologij v terminah komodul'noj algebry S
bez ispol'zovaniya kontramodulej obojtis' nevozmozhno dazhe
v tom sluchae, kogda i C, i S, i vse rassmatrivaemye moduli
konechnomerny. Hotya esli govorit' tol'ko o kontramodulyah
nad koalgebroj, to, konechno zhe, levye C-kontramoduli i
levye C-komoduli sut' odno i to zhe, esli C konechnomerna.
II-1. Polubeskonechnye kogomologii yavlyayutsya proizvodnym
funktorom funktora kogomomorfizmov Cohom nad komodul'noj
algebroj S. Poslednij funktor sopostavlyaet kazhdomu levomu
S-modulyu L i levomu S-kontramodulyu P vektornoe prostranstvo
Cohom_S(L,P) "kogomomorfizmov nad S iz L v P". Etot funktor
opredelyaetsya kak "yadro nekotorogo otobrazheniya iz koyadra
nekotorogo otobrazheniya v koyadro nekotorogo otobrazheniya",
v svyazi s chem on, ochevidno, ne tochen ni sleva, ni sprava
ni po pervomu, ni po vtoromu argumentu.
II-2. Imeetsya sleduyuschaya svyaz' mezhdu moim opredeleniem
funktora Cohom_S i Serezhinymi formulami dlya polubeskonechnogo
Ext-a iz subsekcii 4.7 ("Choice of resolutions") stat'i
"Semi-infinite cohomology of quantum groups II". Pust' L --
levyj A^#-modul', a P -- levyj A-modul'. Togda Cohom_S(L,P) =
Hom_{A^#}(L, S\ot_A P), esli P proektiven kak levyj N-modul',
i Cohom_S(L,P) = Hom_A(Hom_{A^#}(S,L), P), esli L injektiven
kak levyj N-modul'.
Bolee togo, dlya levogo S-modulya L i levogo S-kontramodulya P,
nad proizvol'noj komodul'noj algebroj S, imeyutsya tozhdestva
Cohom_S(L,P) = Hom_S(L, C\ocn_C P), esli P - proektivnyj
C-kontramodul', i Cohom_S(L,P) = Hom_{S-contra}(Hom_S(S,L), P),
esli L injektivnyj C-komodul'. Zdes' P \mapsto C\ocn_C P
i L \mapsto Hom_C(C,L) = Hom_S(S,L) sut' funktory mezhdy
kategoriyami levyh S-modulej i levyh S-kontramodulej, kotorye
byli vvedeny v konce chetvertogo pis'ma iz serii 2000-go goda.
Dokazatel'stvo ili oproverzhenie predostavlyaetsya chitatelyam.
Eto i est' tot samyj funktor, proizvodnym funktorom kotorogo
budut polubeskonechnye kogomologii.
III. Teper' ya dolzhen vvesti pravil'noe otnoshenie
ekvivalentnosti na kompleksah, yavlyayuschihsya argumentami
buduschego proizvodnogo funktora. Otnoshenie ekvivalentnosti
na kompleksah S-modulej bylo vvedeno v predyduschem pis'me;
ostaetsya razobrat' sluchaj S-kontramodulej. Dlya poslednih
pravil'noe otnoshenie ekvivalentnosti yavlyaetsya smes'yu
"otnosheniya D-dva-shtriha" vdol' C-kontramodul'noj struktury
i "otnosheniya D v perpendikulyarnom napravlenii". Napomnyu,
chto v kategoriyah "D-dva-shtriha" trivial'nymi yavlyayutsya
kompleksy, kotorye mozhno poluchit' iz svertok tochnyh troek
kompleksov operaciyami vzyatiya konusa i beskonechnogo
pryamogo proizvedeniya (v protivopolozhnost' beskonechnoj
pryamoj summe dlya kategorij D-shtrih).
Formal'noe opredelenie: (beskonechnyj, voobsche govorya, vo
vse storony) kompleks S-kontramodulej nazyvaetsya trivial'nym,
esli on trivialen kak kompleks C-kontramodulej (t.e., posle
zabyvaniya ostal'noj struktury). Kompleks C-kontramodulej X
nazyvaetsya trivial'nym, esli on udovletvoryaet sleduyuschim
dvum ekvivalentnym usloviyam:
a) dlya lyubogo kompleksa P proektivnyh (naprimer, svobodnyh)
kontramodulej nad C imeem Hom(P,X)=0 v gomotopicheskoj
kategorii C-kontramodulej; ili
b) X kak kompleks kontramodulej mozhno poluchit' operaciyami
konusa i beskonechnogo proizvedeniya iz total'nyh kompleksov
tochnyh troek kompleksov kontramodulej.
Opredelenie: proizvodnoj kategoriej levyh kontramodulej
nad komodul'noj algebroj S nazyvaetsya faktorkategoriya
gomotopicheskoj kategorii kompleksov levyh S-kontramodulej
po podkategorii trivial'nyh kompleksov, opredelennoj vyshe.
Analogichnym obrazom opredelyaetsya proizvodnaya kategoriya
levyh C-kontramodulej.
IV-1. Operaciya Cohom_S rasprostranyaetsya s (kontra)modulej
na kompleksy (kontra)modulej po sleduyuschemu ochevidnomu
pravilu: Cohom_S(L,P) est' kompleks, poluchennyj v rezul'tate
vzyatiya beskonechnogo proizvedeniya vdol' diagonalej
bikompleksa Cohom_S(L^i, P^j). Otmechu, chto dlya operacii
"tipa gomomorfizmov", v otlichie ot operacij "tipa
tenzornogo proizvedeniya", v etom meste sleduet brat' pryamoe
proizvedenie (a ne pryamuyu summu) vdol' diagonalej.
Dva opredeleniya: kompleks levyh S-modulej F nazyvaetsya
poluproektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa
levyh S-kontramodulej T kompleks Cohom_S(F,T) aciklichen
kak kompleks vektornyh prostranstv. Kompleks levyh
S-kontramodulej P nazyvaetsya poluinjektivnym, esli dlya
lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh S-komodulej T
kompleks Cohom_S(T,P) aciklichen.
Analogichnym obrazom, kompleks levyh C-komodulej nazyvaetsya
koproektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa
levyh C-kontramodulej kompleks Cohom_C mezhdu nimi aciklichen.
Kompleks levyh C-kontramodulej nazyvaetsya koinjektivnym,
esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh C-komodulej
sootvetstvuyuschij kompleks vektornyh prostranstv Cohom_C
aciklichen.
IV-2. Ponyatno, chto dlya kompleksov C-komodulej tri svojstva
-- injektivnosti (v osmysle sootv. proizvodnoj kategorii),
koploskosti (v smysle predyduschego pis'ma) i koproektivnosti
(v smysle poslednego opredeleniya) -- vse dovol'no blizki
mezhdu soboj. Netrudno videt', chto kompleks injektivnyh
komodulej yavlyaetsya koproektivnym, a koproektivnyj kompleks
vsegda yavlyaetsya koploskim. Analogichnym obrazom, vsyakij
kompleks proektivnyh C-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym.
Samyj interesnyj vopros: kak svyazany ponyatiya poluploskosti
i poluproektivnosti dlya kompleksov S-modulej? Chastichnyj
otvet: vse poluproektivnye kompleksy yavlyayutsya poluploskimi
(dokazatel'stvo: ispol'zovat' tot fakt, chto dvojstvennoe
vektornoe prostranstvo k pravomu S-komodulyu yavlyaetsya levym
S-kontramodulem, i formulu Cohom_S(L, M^*) = (M\ot_S L)^*).
Dva utverzhdeniya: vsyakij poluproektivnyj kompleks levyh
S-modulej yavlyaetsya koproektivnym kak kompleks levyh
C-komodulej. Vsyakij poluinjektivnyj kompleks levyh
S-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym kak kompleks
levyh C-kontramodulej. Dokazatel'stva: v pervom sluchae
ispol'zovat' sleduyuschij funktor koindukcii dlya
kontramodulej: vsyakomu C-kontramodulyu P sopostavlyaetsya
koinducirovannyj S-kontramodul' Cohom_C(S,P). Vo vtorom
sluchae ispol'zovat' funktor indukcii iz predyduschego pis'ma.
IV-3. Na samom dele primenitel'no k C-ko/kontramodulyam vse
eto ustroeno neskol'ko prosche. Kak izvestno, glavnaya
osobennost' proizvodnyh kategorij D-shtrih i D-dva-shtriha
sostoit v tom, chto svojstva prisposoblennosti kompleksov v nih
mozhno proveryat' poob'ektno. Naprimer, kompleks C-komodulej
injektiven (ortogonalen sprava k trivial'nym kompleksam
otnositel'no obyknovennogo funktora Hom v gomotopicheskoj
kategorii komodulej) togda i tol'ko togda, kogda on
gomotopicheski ekvivalenten kompleksu injektivnyh ob'ektov.
To zhe samoe dlya kontramodulej i proektivnyh kompleksov.
Poetomu imeet smysl dat' esche neskol'ko opredelenij.
Levyj C-komodul' L nazyvaetsya koploskim, esli funktor
- \oc_C L na abelevoj kategorii pravyh C-komodulej tochen.
Levyj C-komodul' L nazyvaetsya koproektivnym, esli funktor
Cohom_C(L,-) na abelevoj kategorii levyh C-kontramodulej
tochen. Na samom dele netrudno videt', chto vse tri
svojstva injektivnosti, koploskosti i koproektivnosti
C-komodulej ekvivalentny (ukazanie: sleduet ogranichit'sya
konechnomernymi vtorymi argumentami funktorov Hom, \oc
i Cohom, sootvetstvenno, i v takoj situacii sravnit').
Teper', konechno, mozhno bylo by zametit', chto vsyakij
kompleks koploskih komodulej koploskij, a koproektivnyh
-- koproektiven. Eto nesomenno vernye, no, -- vvidu
skazannogo vyshe, -- trivial'nye utverzhdeniya.
Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya koinjektivnym, esli funktor
Cohom_C(-,P) na abelevoj kategorii levyh C-komodulej tochen.
Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya kontraploskim, esli funktor
kontratenzornogo proizvedeniya \ocn_C P na kategorii pravyh
C-komodulej tochen. Netrudno videt', chto vsyakij proektivnyj
C-kontramodul' koinjektiven, a vsyakij koinjektivnyj
C-kontramodul' yavlyaetsya kontraploskim (obratnoe utverzhdenie
obsuzhdaetsya v razdele VII). Vsyakij kompleks koinjektivnyh
C-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym kompleksom.
V. Teorema 1: imeet mesto analog osnovnoj teoremy iz razdela V
predyduschego pis'ma dlya poluproektivnyh kompleksov S-modulej
vmesto poluploskih. Dokazatel'stvo tochno takoe zhe, kak
v predyduschem pis'me.
Teorema 2: faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii
poluinjektivnyh kompleksov S-kontramodulej po tolstoj
podkategorii poluinjektivnyh trivial'nyh kompleksov
ekvivalentno proeciruetsya na faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii vseh kompleksov S-modulej po trivial'nym kompleksam.
Zdes' potrebuetsya perepisat' rassuzhdenie iz predyduschego
pis'ma s zamenoj komodulej na kontramoduli. Ya prodelayu eto,
s nekotorymi sokrascheniyami.
Lemma. Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij proizvol'nomu
S-kontramodulyu surjektivnoe otobrazhenie na nego iz
C-koinjektivnogo S-kontramodulya.
Konechno, samym blizhajshim analogom Lemmy iz razdela V
predyduschego pis'ma bylo by suschestvovanie takoj surjekcii
iz C-proektivnogo S-kontramodulya. Problema tol'ko v tom,
chto ya ne umeyu dokazyvat', chto obratnyj predel sohranyaet
proektivnost' kontramodulej, -- a dlya koinjektivnosti
eto vse-taki udaetsya proverit' v nebhodimom nam sluchae.
Dlya celej dannogo razdela C-koinjektivnosti dostatochno,
a v razdele VII, gde ponadobyatsya C-proektivnye rezol'venty,
mne pridetsya ispol'zovat' nekuyu gipotezu.
V-1. Dokazatel'stvo Lemmy. Pust' P -- levyj S-kontramodul'.
Rassmotrim ego kak C-kontramodul' i nakroem ego kakim-nibud'
proektivnym C-kontramodulem F. Eto legko mozhno sdelat'
funktorial'nym obrazom, naprimer, vybrav F(P) = Hom_k(C,P).
Oboznachim cherez Q(P) yadro kompozicii otobrazhenij
Cohom_C(S, F(P)) \to Cohom_C(S,P) \to Cohom_C(S,P)/im P,
gde P \to Cohom_C(S,P) -- strukturnoe otobrazhenie
S-kontramodulya P. Netrudno videt', chto kompoziciya Q(P) \to
Cohom_C(S, F(P)) \to F(P) \to P yavlyaetsya otobrazheniem
S-kontramodulej, v to vremya kak komponuemye morfizmy sut'
tol'ko otobrazheniya C-kontramodulej. Krome togo,
otobrazhenie Q(P) v P surjektivno, a C-kontramodul'
Cohom_C(S, F(P)) proektiven. Teper' utverzhdenie Lemmy
vytekaet iz sleduyuschej podlemmy.
Podlemma. Pust' ... \to Q_2 \to T_2 \to Q_1 \to T_1 \to Q_0
-- proektivnaya sistema C-kontramodulej, prichem kontramoduli
T_i koinjektivny, a v proektivnoj podsisteme, sostoyaschej iz
odnih tol'ko Q_i, vse otobrazheniya surjektivny. Togda
obratnyj predel lim Q_i = lim T_i yavlyaetsya koinjektivnym
kontramodulem. Dokazatel'stvo podlemmy: nuzhno proverit',
chto dlya lyuboj tochnoj trojki levyh C-komodulej
L_1 \to L_2 \to L_3 imeetsya tochnaya trojka vektornyh
prostranstv Cohom(L_3, lim T_i|Q_i) \to Cohom(L_2, lim)
\to Cohom(L_1, lim). Dokazhem snachala, chto dlya lyubogo
C-komodulya L my imeem Cohom(L, lim) = lim Cohom(L, T_i|Q_i).
Dlya lyubogo kontramodulya X napishem bar-konstrukciyu
... \to Hom_k(C\ot_k C\ot_k L, X) \to Hom_k(C\ot_k L, X)
\to Hom_k(L,X); togda Cohom_C(L,X) est', po opredeleniyu,
nulevye gomologii etogo kompleksa. Pust' teper' imeetsya
proektivnaya sistema (gomologicheskih) kompleksov, gde vse
kompleksy s nechetnymi nomerami imeyut gomologii tol'ko
v graduirovke nul', a kompleksy s chetnymi nomerami obrazuyut
proektivnuyu podsistemu s surjektivnymi otobrazheniyami proekcii.
Togda ya utverzhdayu, chto kompleks-obratnyj predel imeet
gomologii tol'ko v graduirovke nul', i oni ravny obratnomu
predelu nulevyh gomologij kompleksov sistemy. V samom dele,
proektivnye sistemy, v kotoryh podsistemy s chetnymi nomerami
imeyut surjektivnye otobrazheniya proekcii, yavlyayutsya
aciklichnymi ob'ektami po otnosheniyu k proizvodnomu funktoru
obratnogo predela lim^1. Ostatok dokazatel'stva podlemmy
predostavlyaetsya chitatelyam.
V-2. Na sleduyuschem shage nuzhno pokazat', chto dlya lyubogo
kompleksa S-kontramodulej X najdetsya otobrazhenie f: Y\to X,
takoe chto vse chleny kompleksa Y sut' koinjektivnye
C-kontramoduli, a konus f yavlyaetsya trivial'nym kompleksom.
Eto delaetsya tochno tak zhe, kak v punkte V-2 predyduschego
pis'ma, s toj raznicej, chto svertka bikompleksa delaetsya
s pomosch'yu pryamyh proizvedenij (a ne pryamyh summ) vdol'
diagonalej. Potom ispol'zuetsya gomotopicheskij obratnyj
predel, i voobsche vse proiskhodit, kak obychno byvaet v D''.
V-3. Na poslednem shage ostaetsya dokazat', chto dlya lyubogo
kompleksa C-koinjektivnyh S-kontramodulej Y najdetsya
poluinjektivnyj kompleks S-kontramodulej Z vmeste s morfizmom
g: Y\to Z, takim chto konus g trivialen (na samom dele, dazhe
C-styagivaem). Eto delaetsya tochno tak zhe, kak v razdele
V-3 predyduschego pis'ma, tol'ko vmesto inducirovannyh
S-modulej ispol'zuyutsya koinducirovannye S-kontramoduli
Cohom_C(S,-) i total'nyj bikompleks (v otlichie ot situacii
predyduschego pis'ma) snova beretsya s pomosh'yu beskonechnyh
proizvedenij. Voobsche esli "konstrukcii iz razdelov V-2"
tipichny dlya proizvodnyh kategorij so shtrihami, to tochno
tak zhe "konstrukcii iz razdelov V-3" tipichny dlya bolee
klassicheskih (Spaltenshtejnovskih) proizvodnyh kategorij D.
VI. Teper' funktor polubeskonechnyh kogomologij mozhno
opredelit' sovershenno analogichno tomu, kak opredelyalsya
funktor polubeskonechnyh gomologij v predyduschem pis'me.
VII. Cel'yu etogo razdela yavlyaetsya dokazatel'stvo dvuh
utverzhdenij: (1) opredelennye vyshe proizvodnye kategorii
levyh S-modulej i levyh S-kontramodulej estestvennym obrazom
ekvivalentny; (2) funktor polubeskonechnyh kogomologij
sootvestvuet pri etoj ekvivalentnosti funktoru Hom.
VII-1. Ya nachnu s nekotorogo kommentariya k Teoremam 1-2 iz
razdela V. Na samom dele dokazatel'stvo etih teorem dokazyvaet
nechto bol'shee, chem skazano v ih formulirovke. A imenno,
nazovem rezol'ventnoj podkategoriej v gomotopicheskoj kategorii
kompleksov S-modulej polnuyu triangulirovannuyu podkategoriyu,
sostoyaschuyu iz vseh kompleksov, kotorye mozhno poluchit'
konusami, sdvigami i beskonechnymi pryamymi summami iz
kompleksov, inducirovannyh s kompleksov injektivnyh C-komodulej.
Analogichnym obrazom, rezol'ventnaya podkategoriya
v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-kontramodulej sostoit
iz vseh kompleksov, kotorye mozhno poluchit' konusami, sdvigami
i beskonechnymi proizvedeniyami iz kompleksov, koinducirovannyh
s kompleksov koinjektivnyh C-kontramodulej. Dokazatel'stvo
Teorem 1-2 na samom dele dokazyvaet sleduyuschee: lyubaya
polnaya triangulirovannaya podkategoriya gomotopicheskoj
kategorii kompleksov S-modulej ili S-kontramodulej,
soderzhaschaya rezol'ventnuyu podkategoriyu, posle faktorizacii
po svoemu peresecheniyu s polnoj podkategoriej trivial'nyh
kompleksov ekvivalentno proeciruetsya na sootv. proizvodnuyu
kategoriyu.
Popravka (dobavlena v noyabre 2006 goda). Sformulirovannoe
zdes' obobschenie Teorem 1-2 vse zhe slishkom sil'no, i mozhno
li ego dokazat', ya ne znayu. Pravil'no budet, naprimer, tak:
lyubaya polnaya podkategoriya gomotopicheskoj kategorii
kompleksov S-modulej, soderzhaschayasya v podkategorii vseh
kompleksov C-injektivnyh S-modulej i soderzhaschaya
rezol'ventnuyu podkategoriyu, i analogichno lyubaya polnaya
podkategoriya kompleksov S-kontramodulej, soderzhaschayasya
v podkategorii vseh kompleksov C-proektivnyh S-modulej, posle
faktorizacii po svoemu peresecheniyu s polnoj podkategoriej
trivial'nyh kompleksov izomorfno proeciruetsya na
sootvetstvuyuschuyu proizvodnuyu kategoriyu.
V chastnosti, eto verno dlya polnoj podkategorii, sostoyaschej
iz vseh kompleksov C-injektivnyh S-modulej. Ee peresechenie
s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov sostoit iz vseh
kompleksov C-injektivnyh S-modulej, styagivaemyh nad C.
Takim obrazom, proizvodnaya kategoriya S-modulej ekvivalentna
faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov
C-injektivnyh S-modulej po polnoj podkategorii C-styagivaemyh
C-injektivnyh kompleksov.
VII-2. Chtoby skazat' to zhe samoe dlya S-kontramodulej,
mne ponadobitsya ispol'zovat' sleduyuschuyu gipotezu.
Gipoteza 1. Dlya lyuboj koalgebry C, klassy kontraploskih,
koinjektivnyh i proektivnyh C-kontramodulej sovpadayut.
Drugimi slovami, vsyakij kontraploskij C-kontramodul'
yavlyaetsya proektivnym.
Primer. Pust' koalgebra C konechnomerna. Togda C-komoduli
i C-kontramoduli sut' prosto moduli nad konechnomernoj algebroj
N, dvojstvennoj k C. Kontraploskie kontramoduli sut' ploskie
moduli, i, kak izvestno, vsyakij ploskij modul' nad
konechnomernoj algebroj proektiven [sm. napr. stat'yu Bassa
v Trans. AMS v.95 za 1960 god].
U menya est' oschuschenie, chto Gipotezu 1 mozhno vyvesti iz
sleduyuschego namnogo bolee fundamental'nogo utverzhdeniya
o kontramodulyah.
Gipoteza 2. Dlya lyubogo kontramodulya P nad koalgebroj C,
peresechenie obrazov prostranstv Hom_k(C/V, P) pri strukturnom
otobrazhenii Hom_k(C,P) \to P, vzyatoe po vsem konechnomernym
podprostranstvam (ili, esli ugodno, podkoalgebram) V v C,
ravno nulyu v P.
Primer. V chetvertom pis'me za 2000 god zadavalsya vopros, kak
dokazat', chto vsyakij konechnomernyj C-kontramodul' yavlyaetsya
kontramodulem nad konechnomernoj podkoalgebroj C. Vidno, chto
eto utverzhdenie yavlyaetsya chastnym sluchaem Gipotezy 2.
VII-3. Ispol'zuya Gipotezu 1, mozhno utverzhdat', chto polnaya
podkategoriya v gomotopicheskoj kategorii S-kontramodulej,
sostoyaschaya iz vseh kompleksov C-proektivnyh kontramodulej,
soderzhit rezol'ventnuyu podkategoriyu. Ee peresechenie
s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov sostoit iz vseh
kompleksov C-proektivnyh S-kontramodulej, styagivaemyh nad C.
Sledovatel'no, proizvodnaya kategoriya S-kontramodulej
ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C-proektivnyh S-kontramodulej po polnoj podkategorii
C-styagivaemyh C-proektivnyh kompleksov.
V konce 4-go pis'ma iz "letnej serii" 2000-go goda bylo
pokazano, chto additivnye kategorii injektivnyh C-komodulej
i proektivnyh C-kontramodulej ektvivalentny, i struktury
S-modulya na C-komodulyah odnoznachno sootvetstvuyut strukturam
S-kontramodulya na C-kontramodulyah pri etoj ekvivalentnosti --
tak chto kategorii C-injektivnyh S-modulej i C-proektivnyh
S-kontramodulej ekvivalentny tozhe. Teper' otsyuda nemedlenno
poluchaetsya ekvivalentnost' proizvodnyh kategorij S-modulej i
S-kontramodulej.
VII-4. Utverzhdaetsya, chto pri etoj ekvivalentnosti kategorij
funktor polubeskonechnyh kogomologij perehodit v funktor Hom.
Eto sleduet iz formul, vypisannyh v razdele II-2 nastoyaschego
pis'ma. Tochnee skazat', mozhno rassuzhdat' tak. Pust' nekij
ob'ekt proivodnoj kategorii S-modulej predstavlen kompleksom
C-injektivnyh S-modulej L, a ob'ekt proizvodnoj kategorii
S-kontramodulej predstavlen kompleksom C-injektivnyh
S-kontramodulej P. Togda proizvodnyj funktor funktora Cohom
na ob'ektah L i P mozhno vychislit', vybrav otobrazheniya
s trivial'nymi konusami L_1 \to L i P \to P_1, gde L_1 i P_1
prinadlezhat rezol'ventnym podkategoriyam, i poschitav
Cohom(L_1,P_1), ili Cohom(L_1,P), ili Cohom(L,P_1) (vse ravno).
Soglasno formule iz razdela II-2, my znaem, chto Cohom(L_1,P_1)
= Hom(\psi(L_1), P_1), gde \psi oboznachaet funktor iz
C-injektivnyh S-modulej v C-proektivnye S-kontramoduli, a Hom
beretsya v gomotopicheskoj kategorii. Teper' ostalos' pokazat',
chto \psi(L_1) lezhit v levom, a P_1 -- v pravom ortogonale
k podkategorii C-styagivaemyh kompleksov v gomotopicheskoj
kategorii C-proektivnyh kompleksov S-kontramodulej (ili hotya
by odno iz etih dvuh utverzhdeniij -- na samom dele verny oba).
V samom dele, pust' X -- takoj C-styagivaemyj kompleks, togda
Hom(\psi(L_1), X) = Cohom(L_1, X) = 0, poskol'ku kompleks L_1
poluproektiven. Analogichno Hom(X, P_1) = Cohom(\psi^{-1}(X),
P_1) = 0, poskol'ku psi^{-1}(X) tozhe C-styagivaem, a P_1
poluinjektiven.
Prizmotrevshis' k etomu rassuzhdeniyu, mozhno zametit', chto
i bez predpozheniya Gipotezy 1 ono dokazyvaet suschestvovanie
funktora \Psi iz proizvodnoj kategorii S-modulej v proizvodnuyu
kategoriyu S-kontramodulej, takogo chto proizvodnyj funktor
funktora Cohom raven komposicii funktora \Psi s funktorom Hom
v proizvodnoj kategorii kontramodulej. Gipoteza 1 nuzhna,
chtoby dokazat', chto \Psi -- ekvivalentnost' kategorij. Kogda
koalgebra C konechnomerna, my eto znaem.
P.S. Dobavlenie (maj 2006 goda). Vot prostejshij kontrprimer
k Gipoteze 2 (drugoj kontrprimer priveden v dobavlenii v tekste
chetvertogo pis'ma za 2000 god). Rassmotrim koalgebru C,
dvojstvennuyu k pro-konechnomernoj algebre formal'nyh stepernnyh
ryadov ot odnoj peremennoj C^* = k[[x]]. Togda C-kontramoduli
sut' k-vektornye prostranstva P, snabzhennye operaciej
summirovanija posledovatel'nostej vektorov s formal'nymi
koefficientami x^n, t.e. dlya lyubyh p_0, p_1, ... iz P
opredelena summa \sum x^i p_i kak element P. Rassmotrim
svobodnyj kontramodul', porozhdennyj posledovatel'nost'yu
e_0, e_1, ... ; ego elementy sut' formal'nye summy
\sum a_i(x)e_i, gde formal'nye stepennye ryady a_i(x) obladayut
tem svojstvom, chto ord_x a_i(x) stremitsya k beskonechnosti pri
vozrastayuschem i. Rassmotrim teper' gomomorfizm iz svobodnogo
kontramodulya F, porozhdennogo f_1, f_2, ... v svobodnyj
kontramodul' E, porozhdennyj e_0, e_1, e_2, ... -- voobsche
takie gomomorfizmy biektivno sootvetstvuyut proizvol'nym
posledovatel'nostyam elementov E -- obrazov f_i -- a nas
interesuet gomomorfizm, pri kotorom f_i perehodit v x^i e_i - e_0.
Proizvol'nyj element \sum a_i(x)f_i kontramodulya F perehodit
pri etom otobrazhenii v \sum x^i a_i(x) e_i - (\sum a_i(x))e_0.
Otsyuda neposredstvenno vidno, chto element e_0 ne lezhit
v obraze etogo gomomorfizma. Rassmotrim faktorkontramodul'
P=E/im F; utverzhdaetsya, chto klass elementa e_0 v P lezhit
v im Hom(C/V,P) dlya vseh konechnomernyh podkoalgebr V v C.
V samom dele, dlya lyuboj V najdetsya takoe i, chto x^i kak
element C^* annuliruet V; tak chto vyrazhenie x^i e_i
predstavlyaet element Hom(C/V,P), obraz kotorogo v P raven e_0.
P.P.S. Dobavlenie (iyun' 2006 goda). Spravedliva takaya
oslablennaya versiya utverzhdeniya Gipotezy 2: dlya lyubogo
nenulevogo C-kontramodulya P najdetsya takaya konechnomernaya
podkoalgebra V v C (kotoruyu mozhno vybrat' prostoj, t.e. ne
soderzhaschej netrivial'nyh podkoalgebr), chto obraz Hom(C/V,P)
v P ne raven P. Dokazatel'stvo sostoit iz dvuh lemm.
Lemma 1 (lemma Nakayamy dlya kontramodulej). Pust' C^ss
oboznachaet maksimal'nuyu poluprostuyu podkoalgebru koalgebry C.
Togda dlya lyubogo nenulevogo C-kontramodulya P obraz
prostranstva Hom(C/C^ss,P) v P ne raven P. Dokazatel'stvo:
zametim, chto koalgebra bez koedinicy D=C/C^ss konil'potentna,
t.e. lyuboj element D annuliruetsya otobrazheniem iterirovannogo
koumnozheniya D\to D^{\ot i} pri dostatochno bol'shih i.
Pokazhem, chto dlya lyubogo kontramodulya P nad konil'potentnoj
koalgebroj bez koedinicy D surjektivnost' otobrazheniya
Hom(D,P)\to P vlechet ravenstvo P=0. V samom dele, dopustim,
chto P = im Hom(D,P). Pust' p -- kakoj-to element P; on prihodit
iz nekotorogo otobrazheniya f_1: D\to P. Poskol'ku otobrazhenie
Hom(D,P)\to P surjektivno, otobrazhenie f_1 mozhno podnyat' do
nekotorogo otobrazheniya D \to Hom(D,P), otkuda poluchaetsya
otobrazhenie f_2: D\ot D \to P, i tak dalee. Takim obrazom
stroitsya posledovatel'nost' otobrazhenij f_i: D^{\ot i} \to P,
takih chto f_{i-1}=m'_1(f_i), gde m' -- otobrazhenie
kontradejstviya Hom(C,P) \to P, a m'_1 oboznachaet primenenie m'
po pervomu tenzornomu somnozhitelyu v D^{\ot i}. Polozhim
g_i=m_{2..i}(f_i), i=2,3,..., gde m -- otobrazhenie koumnozheniya
D \to D\ot D, a m_{2..i} oboznachaet podstanovku otobrazheniya
iterirovannogo koumnozheniya D \to D^{\ot i-1} po komponentam
s nomerami ot 2 do i v tenzornom proizvedenii D^{\ot i}.
Togda g_i sut' otobrazheniya D\ot D \to P. Imeem
m'_1(g_i)=m_{1..i-1}(f_{i-1}) i m_{1..2}(g_i)=m_{1..i}(f_i).
Zametim, chto, kak sleduet iz konil'potentnosti koalgebry D,
ryad \sum_{i=2}^\infty g_i shoditsya v smysle potochechnogo
predela funkcij D\ot D \to P, i dazhe potochechnogo predela
funkcij D \to Hom(D,P). (Zdes', kak i ranee, podrazumevaetsya
otozhdestvlenie Hom(X, Hom(Y,Z)) = Hom(Y\ot X, Z).) Poetomu
m'_1(\sum g_i) = \sum m_{1..i-1}(f_{i-1}) i m_{1..2}(\sum g_i) =
\sum m_{1..i}(f_i), otkuda poluchaem m'_1(\sum g_i) -
m_{1..2}(\sum g_i) = f_1, tak chto m'(f_1)=0. Lemma 1 dokazana.
Lemma 2. Pust' koalgebra C yavlyaetsya pryamoj summoj semejstva
koalgebr C_a. Togda vsyakij C-kontramodul' yavlyaetsya pryamym
proizvedeniem kontramodulej nad C_a. Dokazatel'stvo: ochevidno,
chto utverzhdenie Lemmy vypolnyaetsya dlya lyubogo svobodnogo
C-kontramodulya. Pust' teper' C-kontramodul' P yavlyaetsya
pryamym proizvedeniem C_a-kontramodulej P_a. Pokazhem, chto
vsyakij podkontramodul' R v P yavlyaetsya pryamym proizvedeniem
svoih obrazov R_a pri proekciyah P\to P_a. Pust' zadan nabor
elementov r_a v R. Rassmotrim linejnoe otobrazhenie f: C\to R,
ogranichenie kotorogo na C_a ravno kompozicii C_a\to k\to R,
gde pervoe komponuemoe otobrazhenie est' koedinica koalgebry C_a,
a vtoroe otobrazhaet 1 v r_a. Oboznachim cherez r obraz
funkcionala f pri otobrazhenii kontradejstviya Hom(C,R)\to R.
Togda ochevidno, chto obraz elementa r pri proekcii P\to P_a
raven obrazu r_a pri etoj proekcii. Takim obrazom, R yavlyaetsya
pryamym proizvedeniem R_a. Teper' ostalos' zametit', chto
vsyakij C-kontramodul' yavlyaetsya faktorkontramodulem svobodnogo
kontramodulya po nekotoromu ego podkontramodulyu.
P.P.P.S. Dobavlenie (iyun' 2006 goda). Vot dokazatel'stvo
Gipotezy 1, opirayuscheesya na rezul'taty iz predyduschego
Dobavleniya. Dlya lyubogo C-kontramodulya X i lyuboj
podkoalgebry V v C oboznachim cherez X_V = X/im Hom_k(C/V,X) =
Cohom_C(V,X) maksimal'nyj faktorkontramodul' X, yavlyayuschijsya
kontramodulem nad U. Pust' C^ss oboznachaet maksimal'nuyu
poluprostuyu podkoalgebru koalgebry C.
Lemma. Dlya lyubogo C^ss-kontramodulya T najdetsya takoj
proektivnyj C-kontramodul' P, chto P_{C^ss} izomofen T.
Dokazatel'stvo: Soglasno Lemme 2 vyshe, T yavlyaetsya pryamym
proizvedeniem kontramodulej nad prostymi komponentami C_a
poluprostoj koalgebry C^ss. Vsyakij C_a-kontramodul', v svoyu
ochered', yavlyaetsya pryamoj summoj nekotorogo kolichestva kopij
edinstvennogo neprivodimogo C_a-kontramodulya. Otsyuda netrudno
zaklyuchit', chto dostatochno rassmotret' sluchaj, kogda T --
neprivodimyj C_a-kontramodul'. Pust' e_a -- takoj idempotentnyj
element algebry C_a^*, chto T izomorfen C_a^*e_a. Rassmotrim
idempotentnyj linejnyj funkcional e_ss na algebre C^ss, ravnyj
e_a na C_a i nulyu na vseh C_b pri b ne ravnom a. Kak izvestno,
dlya lyubogo surjektivnogo otobrazheniya kolec A\to B, yadro
kotorogo yavlyaetsya nil'-idealom v A, vsyakij idempotentnyj
element B mozhno podnyat' do idempotenta v A. Ispol'zuya etot
fakt dlya konechnomernyh algebr i lemmu Zorn'a, netrudno
pokazat', chto lyuboj idempotentnyj linejnyj funkcional na C^ss
prodolzhaetsya do idempotentnogo linejnogo funkcionala na C.
Pust' e -- takoj idempotentnyj element C^*, prodolzhayuschij
e_ss; polozhim P = C^*e. Legko videt', chto C^ss-kontramodul'
P_{C^ss} izomorfen T. Lemma dokazana.
Pust' teper' Q -- kontraploskij C-kontramodul'; pokazhem, chto
on proektiven. Rassmotrim proektivnyj C-kontramodul' P, dlya
kotorogo P_{C^ss} izomorfen Q_{C^ss}. Poskol'ku P proektiven,
surjektivnoe otobrazhenie P\to Q_{C^ss} mozhno podnyat' do
gomomorfizma kontramodulej f: P\to Q. Poskol'ku
(coker f)_{C^ss} = coker(f_{C^ss}) = 0, iz Lemmy 1 vyshe sleduet,
chto gomomorfizm f surjektiven. Ostalos' pokazat', chto f
injektiven. Zametim, chto dlya lyubogo pravogo komodulya M nad
podkoalgebroj V koalgebry C imeet mesto izomorfizm
M\ocn_C Q = M\ocn_V Q_V, otkuda yasno, chto V-kontramodul' Q_V
kontraploskij. Pust' teper' podkoalgebra V konechnomerna;
togda Q_V -- ploskij V^*-modul'. Rassmotrim otobrazhenie
f_V: P_V\to Q_V i oboznachim ego yadro cherez K. Dlya lyubogo
pravogo V^*-modulya M imeem korotkuyu tochnuyu posledovatel'nost'
0 \to M\ot_{V^*}K \to M\ot_{V^*} P_V \to M\ot_{V^*} Q_V \to 0.
V chastnosti, poskol'ku dlya lyuboj prostoj podkoalgebry V_a v V
otobrazhenie V_a^*\ot_{V^*}f_V = f_{V_a} yavlyaetsya izomorfizmom,
mozhno zaklyuchit', chto modul' V_a^*\ot_{V^*}K = K_{V_a} raven
nulyu. Otsyuda sleduet, chto K=0 i f_V -- izomorfizm. Nakonec,
pust' R -- yadro otobrazheniya f: P\to Q. Poskol'ku f_V
izomorfizm, podkontramodul' R soderzhitsya v obraze Hom(C/V,P)
v P dlya lyuboj konechnomernoj podkoalgebry V v C; no
peresechenie vseh takih obrazov ravno nulyu, tak kak
C-kontramodul' P proektiven.