"Летние письма" 2000 года (к основаниям теории полубесконечных когомологий ассоциативных алгебр)
Письма 2002 года здесь -- http://posic.livejournal.com/190336.html
From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru >
To: roma, hippie
Date: Fri, 1 Sep 2000 09:40:45 +0400 (MSD)
Subject: demystifying A^#, pervaya chast' (s ispravleniyami)
Lines: 65
Privet, Roma i Serezha,
Ya vnes esche nekotorye ispravleniya, krome teh, o kotoryh
uzhe soobschalos', vse v osnovnom po chasti levogo i pravogo,
a takzhe nekotorye dobavleniya. Spasibo za vnimanie i proch.
I. Opisanie algebry A^# v sluchae, kogda A=N\otimes B, gde N i B
-- podalgebry. Ispol'zuet opredelenie A^#, kotoroe obychno daet
Serezha. Neskol'ko proyasnyaet beskonechnomernuyu situaciyu.
V ostal'nom bespolezno.
Pust' A -- grad. algebra s dvumya grad. podalgebrami N i B,
prichem N_i konechnomerno dlya vseh i, N_i=0 dlya i<<0, i
B_i=0 dlya i>>0. Predpolozhim, chto otobrazhenie umnozheniya
N\otimes_k B \to A -- izomorfizm. Togda algebra A odnoznachno
vosstanavlivaetsya po N, B i otobrazheniyu "perestanovki"
\phi: B\otimes N \to N\otimes B.
Putem "podnyatiya indeksov" po otobrazheniyu \psi mozhno
postroit' otobrazhenie
\psi: N^*\otimes B \to Hom_k(N,B) = B\otimes N^*
(poslednee ravenstvo sleduet iz uslovij na graduirovki N i B.
Hom_k oboznachaet graduirovannoe prostranstvo Hom -- pryamuyu
summu prostranstv odnorodnyh otobrazhenij raznyh stepenej).
Teper' ya otvlekus', chtoby napomnit' opredelenie modulej S i S'
imeni Serezhi. Itak, S=N^*\otimes_N A i S'=Hom_{B-right}(A,B)
(Hom pravyh B-modulej). Eto dva pravyh A-modulya. Mezhdu nimi
est' otobrazhenie S \to S':
n^*\otimes_N a \mapsto (a'\mapsto < n^*, aa' >)
gde < n^*, - >: A \to B -- otobrazhenie, sparivayuschee n^*
s pervym tenzornym somnozhitelem v A=N\otimes B.
Na urovne vektornyh prostranstv imeem S = N^*\otimes_k B = S'.
Ya utverzhdayu, chto vysheopisannoe otobrazhenie A-modulej
S \to S' sovpadaet s vysheopisannym otobrazheniem \psi vektornyh
prostranstv. Dlya togo, chtoby Serezhino opredelenie algebry
A^# imelo smysl, neobhodimo, chtoby \psi bylo izomorphizmom,
chto ya i predpolagayu.
Teper' rassmotrim obratnoe otobrazhenie
\psi^{-1}: B\otimes N^* \to N^*\otimes B.
Ya hochu "opustit' v nem indeksy" obratno. Togda poluchitsya
nekotoroe otobrazhenie
\phi^#: N\otimes B \to Hom_k(N^*,B).
Teper' uzhe, k sozhaleniyu, niotkuda ne sleduet, chto obraz \phi^#
soderzhitsya v podprostranstve otobrazhenij N^*\to B konechnogo
ranga, t.e. v B\otimes N \subset Hom_k(N^*,B). Ya utverzhdayu,
chto Serezhina algebra A^# suschestvuet rovno togda, kogda eto
tak, i v etom sluchae algebra A^# stroitsya po otobrazheniyu
"perestanovki" \phi^#.
V konechnomernom sluchae poslednee uslovie trivial'no, tak
chto dostatochno togo, chtoby otobrazhenie \psi bylo obratimo.
Teper' mozhno opredelit' algebru A^#, ne ispol'zuya moduli S i S',
a ispol'zuya tol'ko otobrazheniya \phi i \phi^#. A imenno, dlya
suschestvovania algebry s dannym otobrazheniem "perestanovki"
neobhodimo i dostatochno, chtoby ono udovletvoryalo nekotorym
tozhdestvam (associativnosti). Mozhno proverit', chto
\phi i \phi^# udovletvoryayut etim tozhdestvam odnovremenno.
Lenya.
From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru >
To: roma, hippie
Date: Fri, 1 Sep 2000 09:43:12 +0400 (MSD)
Subject: demystifying A^#, vtoraya chast' (s ispravleniyami)
Lines: 77
II. Opisanie algebry A^# v konechnomernom sluchae. Ne ispol'zuet
ni podalgebru B, ni graduirovku. Ispol'zuet tol'ko podalgebru N.
Rekomenduetsya k upotrebleniyu.
Snachala otstuplenie. Pust N -- konechnomernaya algebra (imenno
tak, graduirovannaya lokal'no konechnomernaya ne podhodit).
Togda N^* yavlyaetsya koalgebroj, prichem N-moduli -- eto to zhe
samoe, chto N^*-komoduli. Na N-modulyah est' operaciya tenzornogo
proizvedeniya, a na N^*-komodulyah -- kotenzornoe proizvedenie.
(Poslednee mozhno, pri zhelanii, opredelit' v modul'nyh terminah
kak Hom_{N-bimod-N}(N,P\otimes_k Q), gde P i Q -- pravyj i levyj
N-moduli, sootvetstvenno.)
Budem oboznachat' tenzornoe proizvedenie N-modulej cherez
P\ot_N Q, a kotenzornoe proizvedenie -- cherez P\oc_{N^*} Q.
Na kategorii N-modulej imeyutsya endofunktory (imeni Serezhi)
P \mapsto N^*\ot_N P i P \mapsto N\oc_{N^*}P = Hom_N(N^*,P).
Ya utverzhdayu, chto dlya lyubogo pravogo N-modulya P i levogo
N-modulya Q imeetsya otobrazhenie (abelevyh grupp)
(1) P\ot_N Q \to P\oc_{N^*} (N^*\ot_N Q),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli modul' Q
svoboden ili modul' P kosvoboden. Analogichnym obrazom, imeetsya
otobrazhenie
(2) P\ot_N (N\oc_{N^*} Q) \to P\oc_{N^*} Q,
i eto izomorfizm, esli modul' Q kosvoboden ili modul' P svoboden.
(Takaya kak by vzaimnaya associativnost' tenzornogo i kotenzornogo
proizvedenij. Prostoe uprazhnenie.)
Konec otstupleniya.
Rassmotrim teper' tenzornuyu kategoriyu N-bimodulej (otnositel'no
tenzornogo proizvedeniya). Bimoduli, svobodnye (skazhem) sleva
obrazuyut tam tenzornuyu podkategoriyu. Analogichno, imeetsya
tenzornaya kategoriya N-bimodulej otnositel'no kotenzornogo
proizvedeniya. Kosvobodnye sleva bimoduli obrazuyut v nej
tenzornuyu podkategoriyu. Togda formuly "associativnosti" (1-2)
oznachayut, chto:
(i) funktor Q \mapsto N^*\ot_N Q -- tenzornyj funktor
iz svobodnyh sleva bimodulej otn. tenzornogo proizvedeniya
v kosvobodnye sleva bimoduli otn. kotenzornogo proizvedeniya;
(ii) Q \mapsto N\oc_{N^*} Q -- tenzornyj funktor v obratnuyu
storonu;
(iii) eti dva funktora vzaimno obratny, i, sledovatel'no,
yavlyayutsya ekvivalentnostyami tenzornyh kategorij.
V chastnosti, eti funktory induciruyut ekvivalentnost' kategorij
ob`jektov-algebr v toj i v drugoj tenzornoj kategorii. Pust'
teper' A -- (obychnaya) algebra, soderzhaschaya podalgebru N;
togda A est' takzhe algebra v kategorii N-bimodulej. My vidim,
chto esli A svobodna nad N sleva, to S = N^*\ot_N A yavlyaetsya
komodul'noj algebroj nad N (t.e. algebroj otn. kotenzornogo
proizvedeniya). Dalee, esli S okazyvaetsya kosvobodnoj sprava
(a ne tol'ko sleva) nad N, to mozhno opredelit'
A^# = S \oc_{N^*} N = (N^* \ot_N A) \oc_{N^*} N.
Eto algebra v kategorii N-bimodulej otn. tenzornogo proizvedeniya,
t.e. -- prosto associativnaya algebra, soderzhaschaya N.
Uslovie, chto S - kosvobodnyj pravyj N-modul', sootvetstvuet
usloviyu obratimosti otobrazheniya \psi iz pervogo pis'ma.
Iz teh zhe samyh formul (1-2) sleduet, chto
(iv) pravye A-moduli sut' to zhe samoe, chto pravye S-moduli
(t.e. pravye N-moduli so strukturoj S-modulej otn. kotenzornogo
proizvedeniya);
(v) levye A^#-moduli sut' to zhe samoe, chto levye S-moduli;
(vi) kategoriya N-svobodnyh levyh A-modulej ekvivalentna
kategorii N-kosvobodnyh levyh S-modulej;
(vii) kategoriya N-svobodnyh pravyh A^#-modulej ekvivalentna
kategorii N-kosvobodnyh pravyh S-modulej.
Lenya.
From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru >
To: roma, hippie
Date: Fri, 1 Sep 2000 09:59:50 +0400 (MSD)
Subject: demystifying A^#, tret'ya chast' (s ispravleniyami i dopolneniyami)
Lines: 120
III. Komodul'naya algebra S i moduli nad nej. Opisanie,
ne ispol'zuyuschee ni podalgebru B, ni graduirovku.
Beskonechnomernyj sluchaj.
Kak vsegda, snachala otstuplenie. Pust' N -- algebra, a C --
koalgebra (nad tem zhe polem). Ya napominayu, chto na vektornom
prostranstve C^* est' estestvennaya struktura algebry (prichem
takaya, chto vsyakij C-komodul' yavlyaetsya C^*-modulem). Pust'
zadan f: N\to C^* -- gomomorfizm algebr so vsyudu plotnym obrazom.
Drugimi slovami, dolzhno byt' zadano sparivanie C\otimes N \to k,
soglasovannoe so strukturami algebry i koalgebry i nevyrozhdennoe
po pervomu argumentu.
Zadanie N, C i f ekvivalentno zadaniyu v kategorii (skazhem,
levyh) N-modulej polnoj podkategorii s takimi svojstvami: ona
zamknuta otnositel'no pod- i faktorob`jektov (no ne obyazatel'no
otnositel'no rasshirenij!) i vsyakij modul' iz etoj podkategorii
yavlyaetsya ob`jedineniem svoih konechnomernyh podmodulej.
A imenno, trojke (N, C, f) sootvetstvuet vpolne strogij funktor
"ogranicheniya skalyarov" f^*: C-comod \to N-mod.
Tipichnyj primer: esli H -- algebraicheskaya gruppa (nad polem
harakteristiki 0), to s nej svyazana trojka (N, C, f), gde N=U(h),
h -- algebra Li gruppy H, i C=C(H) -- koalgebra funkcij na H.
Eta trojka sootvetstvuet podkategorii v U(h)-mod, sostoyaschej
iz teh predstavlenij, kotorye integriruyutsya na H.
Drugoj primer: esli N -- graduirovannaya algebra, takaya chto
vse N_i konechnomerny i N_i=0 dlya i<<0, to mozhno vzyat'
v kachestve C graduirovanno-dvojstvennoe k N prostranstvo N^*.
Togda N^*-komoduli -- eto N-moduli s tem svojstvom, chto dlya
lyubogo elementa x iz takogo modulya N_i x = 0 dlya vseh i>>0.
Banal'nyj primer: esli N konechnomerna, to mozhno vzyat' C=N^*.
Togda vse N-moduli yavlyayutsya C-komodulyami.
Konec otstupleniya.
Itak, pust' zadana trojka (N, C, f). Ya budu schitat',
chto kategorii C-komodulej (levyh i pravyh) vlozheny
v sootvetstvuyuschie kategorii N-modulej posredstvom f^*.
Sootvetstvenno, vyskazyvanie tipa "takoj-to pravyj N-modul'
yavlyaetsya C-komodulem" oznachaet, chto etot modul'
prinadlezhit podkategorii C-komodulej v pravyh N-modulyah.
Teper' v tenzornoj kategorii N-bimodulej est' takaya tenzornaya
podkategoriya: bimodul' E prinadlezhit etoj podkategorii, esli
dlya lyubogo pravogo C-komodulya M pravyj N-modul' M\ot_N E
yavlyaetsya C-komodulem. (Dostatochno, chtoby bimodul' C\ot_N E
yavlyalsya pravym C-komodulem.) Est' takzhe uzhe znakomaya nam
polnaya podkategoriya N-bimodulej, svobodnyh nad N sleva. Menya
interesuet peresechenie etih dvuh podkategorij, t.e. bimoduli,
udovletvoryayuschie oboim usloviyam. Ya budu nazyvat' takie
bimoduli (N,C,f)-dopustimymi sleva.
Ya utverzhdayu, chto funktor E \mapsto C\ot_N E yavlyaetsya
tenzornym funktorom iz (N,C,f)-dopustimyh sleva bimodulej
v bikomoduli nad C (otnositel'no kotenzornogo proizvedeniya).
Takim obrazom, esli algebra N yavlyaetsya podalgebroj algebry A,
prichem poslednyaya (N,C,f)-dopustima sleva, to S = C\ot_N A
est' algebra v kategorii bikomodulej nad C. Bolee togo, pust'
M -- pravyj C-komodul'. Togda zadat' na M stukturu pravogo
A-modulya (prodolzhayuschuyu strukturu N-modulya, svyazannuyu
s zadannoj strukturoj C-komodulya) -- eto to zhe samoe, chto
zadat' na M strukturu pravogo modulya, otnositel'no kotenzornogo
proizvedeniya, nad "komodul'noj algebroj" S.
Drugimi slovami, polnaya podkategoriya v kategorii pravyh
A-modulej, sostoyaschaya iz teh modulej, kotorye, kak N-moduli,
yavlyayutsya C-komodulyami, izomorfna kategorii pravyh modulej
nad S. Eto takoe beskonechnomernoe obobschenie svojstva (iv)
iz predyduschego pis'ma.
Oba utvervzhdeniya sleduyut iz takoj formuly "associativnosti"
dlya tenzornogo i kotenzornogo proizvedenij, obobschayuschej
formulu (1): dlya lyubogo pravogo C-komodulya P i levogo
N-modulya Q imeetsya estestvennoe otobrazhenie
P \ot_N Q \to P\oc_C (C\ot_N Q),
yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli Q svoboden ili P kosvoboden.
Na samom dele, voobsche, dlya lyubyh (ne svyazannyh) algebry N
i coalgebry C, komodulya P i modulya Q, a takzhe prostranstva T
s kommutiruyuschimi strukturami levogo C-komodulya i pravogo
N-modulya est' estestvennoe otobrazhenie
(P\oc_C T) \ot_N Q \to P \oc_C (T\ot_N Q),
yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli Q svoboden ili P kosvoboden,
kakov by ni byl T.
Takim obrazom, v kachestve argumentov funktora polubeskonechnogo
Tor-a sleduet ispol'zovat':
- vmesto graduirovannyh pravyh A-modulej, ogranichennyh sverhu,
togda kak algebra N graduirovana polozhitel'no, kak eto bylo u
Serezhi -- pravye moduli nad "komodul'noj algebroj" S = C\ot_N A;
- vmesto levyh A^#-modulej, ogranichennyh sverhu -- levye
moduli nad S [sm. predyduschee pis'mo, svojstvo (v)].
Okonchanie sleduet.
Lenya.
P.S. Zamechanie: Kak i v predyduschem pis'me, zdes' vazhno,
chtoby komodul'naya algebra S byla C-kosvobodna ne tol'ko sleva
(chto imeet mesto po postroeniyu), no i sprava. Eto trebuetsya,
v chastnosti, dlya togo, chtoby kategoriya levyh modulej nad S
byla abelevoj (sm. takzhe punkt 3 v konce chetvertogo pis'ma).
Pust' A = N\ot_k V kak levyj N-modul', gde V -- kakoe-to vektornoe
prostranstvo. Togda S = C\ot_N A = C\ot_k V. Struktura pravogo
C-komodulya na S zadaetsya nekotorym otobrazheniem S \to S\ot_k C.
Oboznachim cherez \psi_V kompoziciyu otobrazhenij
C\ot_k V = S \to S\ot_k C = C\ot_k V\ot_k C \to V\ot_k C,
gde poslednyaya strelka poluchaetsya primeneniem koedinicy
k pervomu somnozhitelyu. Kak legko videt', eto takoe obobschenie
otobrazheniya \psi iz pervogo pis'ma. Dlya togo, chtoby S byla
C-kosvobodna sprava, ochevidno, dostatochno, chtoby suschestvovalo
podprostranstvo V \subset A, dlya kotorogo \psi_V obratimo.
From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru >
To: roma, hippie
Date: Fri, 1 Sep 2000 10:03:19 +0400 (MSD)
Subject: demystifying A^#, okonchanie (s ispravleniyami i dopolneniyami)
Lines: 364
IV. Kontramoduli. Opisanie kategorii, kotoruyu probegaet vtoroj
argument funktora polubeskonechnogo Ext-a. Netrivial'no uzhe
v konechnomernom sluchae; rabotaet i v beskonechnomernom.
Ya nachnu etot poslednij punkt nastoyaschih zametok s dlinnogo
vvedeniya (v popytke ob`yasnit', kakaya zadacha reshaetsya).
V razumnom smysle, v beskonechnomernom sluchae algebra A (ili A^#)
soderzhit v sebe bol'she informacii, chem komodul'naya algebra S.
Chtoby postroit' A^# po S, kak ob`yasnyalos' v pervom pis'me,
nuzhno imet' podalgebru B. Ne ispol'zuya B, po S mozhno tol'ko
vosstanovit' nekotorye popolneniya algebr A i A^#: a imenno,
A~ = End_{S-left}(S)^op i A^{#~} = End_{S-right}(S) --
endomorfizmy S kak levogo ili pravogo S-modulya. V samom dele,
End_{S-right}(S) = End_{A-right}(S) = Hom_{N-right}(C, C\ot_N A)
= Hom_{C-right}(C, B\ot_k C) = Hom_k(C,B)
kak vektornoe prostranstvo (pervoe ravenstvo imeet mesto vvidu
ekvivalentnosti kategorij modulej iz poslednego pis'ma, tret'e
ravenstvo -- v silu podhodyaschej versii izomorfizma \psi).
Drugimi slovami, po komodul'noj algebre S nel'zya (vidimo)
vosstanovit' vsyu kategoriyu pravyh A-modulej, a mozhno tol'ko
"kategoriyu O" -- podkategoriyu teh modulej, kotorye yavlyayutsya
C-komodulyami. Vysheopisannoe popolnenie algebry A -- eto to
samoe popolnenie, kotoroe dejstvuet na modulyah iz "kategorii O".
(V konechnomernom sluchae etih razlichij net, konechno.)
Ya napomnyu, chto (kak uchil nas Serezha) argumentami funktora
polubeskonechnogo Ext-a yavlyayutsya:
- Pervyj argument ("otkuda") -- levye A^#-moduli, ogranichennye
sverhu. Na yazyke komodul'noj algebry S eto budut levye S-moduli.
- Vtoroj argument ("kuda") -- levye A-moduli, ogranichennye
snizu. Esli algebra N beskonechnomerna, to takie moduli
ne yavlyayutsya dazhe C-komodulyami. Do sih por my ne umeli
opisyvat' ni takie N-moduli v terminah koalgebry C, ni,
tem bolee, takie A-moduli v terminah komodul'noj algebry S.
Nizhe budet ob`yasneno, kak postroit' v terminah komodul'noj
algebry S abelevu kategoriyu, iz kotoroj beretsya vtoroj argument
funktora polubeskonechnogo Ext-a. Kak ni stranno, etot vopros
netrivialen uzhe v konechnomernom sluchae, poskol'ku --
sm. utverzhdeniya (iv-vii) iz vtorogo pis'ma -- my poka ne umeem
vosstanavlivat' v terminah S kategoriyu vseh *levyh* A-modulej
(ili, naoborot, pravyh A^#-modulej), a umeem tol'ko kategorii
pravyh A-modulej i levyh A^#-modulej, a takzhe *N-svobodnyh* levyh
A-modulej i pravyh A^#-modulej. Konechno zhe, v kachestve vtoryh
argumentov polubeskonechnogo Ext-a my hotim imet' dostatochno
proizvol'nye moduli, a ne tol'ko N-svobodnye. Abeleva kategoriya
"kontramodulej", kotoruyu ya postroyu po komodul'noj algebre S,
v konechnomernom sluchae sovpadaet s kategoriej levyh A-modulej.
I kak ni udivitel'no, udaetsya dazhe obobschit' ekvivalentnosti
kategorij N-svobodnyh i N-kosvobodnyh modulej [utv. (vi-vii) iz
vtorogo pis'ma] na beskonechnomernyj sluchaj; tak chto, veroyatno,
obobschaetsya i opredelenie pobeskonechnogo Ext-a imeni Romy.
Itak, snachala otstuplenie.
Byvayut moduli, byvayut komoduli, a byvayut esche kontramoduli.
Po beskonechnomernoj koalgebre C mozhno postroit', naryadu
s kategoriyami levyh i pravyh C-komodulej, dve drugih abelevyh
kategorii -- levyh i pravyh C-kontramodulej. Delaetsya eto tak.
Vektornye prostranstva (nad fiksirovannym polem k) obrazuyut
tenzornuyu kategoriyu. Poetomu mozhno rassmatrivat' algebry
ili koalgebry v etoj tenzornoj kategorii; eto obychnye algebry
i koalgebry. Teper', esli nas interesuyut moduli ili komoduli
nad takimi algebrami ili koalgebrami, to mozhno opredelyat'
takie (ko)moduli kak ob`ekty toj zhe samoj kategorii Vect.
Eto budut obychnye moduli ili komoduli. No mozhno takzhe vybrat'
kakuyu-nibud' *modul'nuyu kategoriyu* nad tenzornoj kategoriej
Vect, to est' kategoriyu M vmeste s funktorom "dejstviya"
Vect\times M \to M, vmeste s associativnost'yu sootvetstvuyuschej
-- i rassmatrivat' ob`ekty etoj modul'noj kategorii, nadelennye
strukturoj (ko)modulya nad fiksirovannoj (ko)algebroj iz Vect.
Na kategorii Vect^op, protivopolozhnoj k Vect, imeetsya struktura
(levoj) modul'noj kategorii nad Vect, kotoraya zadaetsya formuloj
(V, W^op) \mapsto Hom_k(V,W)^op.
Eto modul'naya kategoriya, poskol'ku imeet mesto izomorfizm
Hom(U\ot_k V, W) = Hom(U, Hom(V,W)).
Struktura pravoj modul'noj kategorii poluchitsya, esli v kachestve
"konstreinta associativnosti" ispol'zovat' drugoj izomorfizm:
Hom(U\ot_k V, W) = Hom(V, Hom(U,W)).
Teper' esli B -- algebra v Vect, to kontramodulem nad B nazyvaetsya
B-modul' v modul'noj kategorii Vect^op nad Vect. Tochnee skazat',
levym B-kontramodulem nazyvaetsya ob`ekt kategorii,
protivopolozhnoj k kategorii modulej nad B v *pravoj* modul'noj
kategorii Vect^op (tak chto zabyvayuschij funktor iz kontramodulej
v Vect kovarianten). Poprostu govorya, kontramodul' -- eto
vektornoe prostranstvo V vmeste s otobrazheniem V \to Hom_k(B,V),
kotoroe dolzhno udovletvoryat' nekotorym usloviyam associativnosti
i edinicy. Odnako, zadat' otobrazhenie V \to Hom_k(B,V) -- eto
to zhe samoe, chto zadat' otobrazhenie B\ot_k V \to V; otsyuda
levye B-kontramoduli sut' to zhe samoe, chto levye B-moduli.
Ne tak dlya koalgebr. Opredelenie takoe zhe: esli C -- koalgebra
v Vect, to levym kontramodulem nad C nazyvaetsya ob`ekt kategorii,
protivopolozhnoj k kategorii komodulej nad C v pravoj modul'noj
kategorii Vect^op nad Vect. Drugimi slovami, kontramodul' nad C
-- eto vektornoe prostranstvo V vmeste s otobrazheniem
Hom_k(C,V) \to V,
udovletvoryayuschim usloviyam koassociativnosti i koedinicy
takogo vida: dva otobrazheniya iz vektornogo prostranstva
Hom_k(C, Hom_k(C,V)) = Hom_k(C\ot C, V)
v prostranstvo V -- odno poluchayuscheesya iterirovaniem operacii
"kontradejstviya" i drugoe zavisyaschee ot koumnozheniya na C --
dolzhny sovpadat'; kompoziciya otobrazhenij V \to Hom_k(C,V) \to V,
gde pervaya strelka svyazana s koediniciej C, a vtoraya est'
"kontradejstvie", dolzhna byt' tozhdestvennym otobrazheniem.
Na vsyakom C-kontramodule (tak zhe, kak i na vsyakom C-komodule)
imeetsya estestvennya struktura modulya nad algebroj C^*,
poskol'ku prostranstvo C^*\ot_k V vkladyvaetsya v Hom_k(C,V).
Vse tri kategorii (levye C-komoduli, levye C-kontramoduli
i levye C^*-moduli) sovpadayut, esli koalgebra C konechnomerna;
v protivnom sluchae, oni vse tri raznye. (V chastnosti, hotya
operacii beskonechnoj pryamoj summy i beskonechnogo pryamogo
proizvedeniya suschestvuyut na vseh treh kategoriyah, no funktor
iz C-komodulej v C^*-moduli soglasovan tol'ko s beskonechnoj
summoj, a funktor iz C-kontramodulej v C^*-moduli -- tol'ko
s beskonechnym proizvedeniem, no ne naoborot.)
Primery: (1) Esli M -- pravyj komodul' nad C i U -- proizvol'noe
vektornoe prostranstvo, to na prostranstve Hom_k(M,U) imeetsya
estestvennaya struktura levogo kontramodulya nad C. Bolee obscho,
esli na M est' struktura levogo D-(ko)modulya, kommutiruyuschaya
so strukturoj pravogo C-komodulya, a U -- kakoj-to D-(ko)modul',
to Hom_D(M,U) yavlyaetsya levym kontramodulem nad C.
(2) Pust' N -- graduirovannaya algebra s konechnomernymi
komponentami, takaya chto N_i=0 dlya i<<0, i pust' N^* --
graduirovanno-dvojstvennaya koalgebra. Togda esli M --
graduirovannyj levyj N-modul', ogranichennyj snizu, to
na pryamom proizvedenii graduirovochnyh komponent modulya M
est' estestvennaya struktura levogo kontramodulya nad N^*.
Kontramoduli vida Hom_k(C,U), gde koalgebra C rassmatrivaetsya
kak pravyj komodul' nad soboj, a U -- proizvol'noe vektornoe
prostranstvo, nazyvayutsya svobodnymi C-kontramodulyami.
Korotkoe oboznachenie: Hom_k(C,U) =: U^C. Uprazhnenie:
imeet mesto kanonicheskij izomorfizm
(a) Hom_{C-contra}(U^C, P) = Hom_k(U,P)
dlya lyubogo levogo C-kontramodulya P.
A sleduyuschee uprazhnenie ya sam ne umeyu reshat': verno li, chto
konechnomernye kontramoduli nad beskonechnomernoj koalgebroj C --
eto to zhe samoe, chto konechnomernye komoduli; to est', drugimi
slovami, chto vsyakij konechnomernyj C-kontramodul' yavlyaetsya
kontramodulem nad konechnomernoj podkoalgebroj C?
(Otvet: neverno. Pust' C -- takaya koalgebra, chto algebra C^*
imeet vid C^* = ke_1 \oplus e_1V^*e_2 \oplus ke_2, gde e_1 i e_2
-- idempotenty, e_1 + e_2 = 1, a V -- kakoe-to vektornoe pr-vo.
Togda kategoriya C-komodulej ekvivalentna kategorii par vektornyh
prostranstv (M_1,M_2), snabzhennyh otobrazheniem M_2 \to V\ot M_1;
a kategoriya C-kontramodulej ekvivalentna kategorii par
vektornyh prostranstv (P_1, P_2), snabzhennyh otobrazheniem
Hom(V,P_2) \to P_1. Esli V beskonechnomerno, to konechnomernyh
kontramodulej bol'she, chem konechnomernyh komodulej. Voobsche,
esli X i Y -- dva konechnomernyh komodulya nad koalgebroj C, to
Ext^i_{C-contra}(X,Y) = (Ext^i_{C-comod}(X,Y))^** --
dvazhdy dvojstvennoe vektornoe prostranstvo. V to zhe vremya,
klassy neprivodimyh C-kontramodulej i neprivodimyh C-komodulej
nahodyatsya v biektivnom sootvetstvii -- sm. Dobavlenie v konce
vtorogo pis'ma serii 2002 goda. (Dobavleno v iyune 2006 goda.))
Konec otstupleniya.
Est' dve operacii tipa tenzornogo proizvedeniya, opredelennye
na komodulyah i kontramodulyah. A imenno, esli M -- pravyj
C-komodul', a P -- levyj C-kontramodul', to kontratenzornoe
proizvedenie M \ocn_C P opredelyaetsya kak faktorprostranstvo
vektornogo prostranstva M\ot_k P po obrazu otobrazheniya iz
M \ot_k Hom_k(C,P), gde poslednee otobrazhenie est' raznost' dvuh:
odno proiskhodit iz kontradejstviya na P, drugoe ravno kompozicii
M \ot_k Hom_k(C,P) \to M\ot_k C \ot_k Hom_k(C,P) \to M\ot_k P,
gde pervaya strelka -- kodejstvie na M, a vtoraya -- podstanovka
("evaluation"). Esli M yavlyaetsya D-C-bikomodulem, to M\ocn_C P
okazyvaetsya levym D-komodulem. Dalee, esli M -- levyj C-komodul',
a P -- levyj C-kontramodul', to prostranstvo Cohom_C(M,P) est'
faktoprostranstvo prostranstva Hom_k(M,P) po obrazu ochevidnogo
otobrazheniya iz Hom_k(C\ot_k M, P) = Hom_k(M, Hom_k(C,P)).
Esli M yavlyaetsya C-D-bikomodulem, to na prostranstve
Cohom_C(M,P) poyavlyaetsya struktura levogo D-kontramodulya.
Nikakoj operacii proizvedeniya dvuh kontramodulej, po-vidimomu,
ne suschestvuet. To est' kontramoduli vedut sebya, kak
obobschennye funkcii (kotorye mozhno umnozhat' tol'ko
na obychnye funkcii, a mezhdu soboj nel'zya).
Vazhnejshie tozhdestva, vklyuchayuschie dve vysheopredelennye
operacii, takovy. Dlya kontratenzornogo proizvedeniya:
(b) Hom_{D-comod}(M\ocn_C P, L)
= Hom_{C-contra}(P, Hom_{D-comod}(M,L))
dlya lyubyh D-C-komodulya M, levogo D-komodulya L i levogo
C-kontramodulya P. Iz formul (a) i (b) srazu sleduet, chto
kontratenzornoe proizvedenie na svobodnyj kontramodul' est'
(c) M \ocn_C U^C = M \ot_k U.
Tozhdestvo dlya prostranstva kogomomorfizmov:
(d) Cohom_D(M\oc_C L, P) = Cohom_C(L, Cohom_D(M,P))
dlya lyubyh D-C-komodulya M, levogo C-komodulya L i levogo
D-kontramodulya P. Est' takzhe formuly dlya kogomomorfizmov
iz kosvobodnogo komodulya ili v svobodnyj kontramodul':
(e) Cohom_C(C, P) = P;
(f) Cohom_C(M, U^C) = Hom_k(M,U).
Iz svojstva (b) vidno, v chastnosti, chto mezhdu kategoriyami
C-comod i C-contra imeetsya para sopryazhennyh funktorov:
L \mapsto Hom_{C-comod}(C,L) i P \mapsto C\ocn_C P.
Iz formuly (c) yasno, chto ogranicheniya etih dvuh funktorov
na polnye podkategorii kosvobodnyh komodulej i svobodnyh
kontramodulej yavlyayutsya vzaimno-obratnymi ekvivalentnostyami
mezhdu etimi podkategoriyami.
Nakonec, svojstva (d) i (e) oznachayut, chto operaciya Cohom
opredelyaet na kategorii (C-contra)^op strukturu pravoj
modul'noj kategorii nad tenzornoj kategoriej C-bicomod-C
(s kotenzornym proizvedeniem).
Pust' teper' S -- algebra v kategorii bikomodulej nad koalgebroj
C. Levym kontramodulem nad S nazyvaetsya ob`ekt kategorii,
protivopolozhnoj k kategorii S-modulej v vyshenazvannoj pravoj
modul'noj kategorii (C-contra)^op nad C-bicomod-C; drugimi
slovami, levyj kontramodul' M nad komodul'noj algebroj S -- eto
levyj C-kontramodul', snabzhennyj gomomorfizmom C-kontramodulej
M \to Cohom_C(S,M), udovletvoryayuschim usloviyam associativnosti
i edinicy takogo vida: dva otobrazheniya iz M v prostranstvo
Cohom_C(S\oc_C S, M) = Cohom_C(S, Cohom_C(S, M))
dolzhny sovpadat', a kompoziciya
M \to Cohom_C(S,M) \to Cohom_C(C,M) = M,
gde vtoraya strelka inducirovana otobrazheniem edinicy algebry S,
dolzhna byt' tozhdestvennym otobrazheniem.
Granichnye sluchai: esli S=C, to S-kontramoduli -- eto prosto
kontramoduli nad koalgebroj C. Esli C=k, to S -- eto obychnaya
algebra v Vect, a S-kontramoduli -- eto obychnye moduli nad S
(kak ob`yasnyalos' vyshe). Predosterezhenie: esli koalgebra C
konechnomerna (ili dazhe S konechnomerna), to, hotya C-komoduli
i C-kontramoduli sut' odno i to zhe, no S-moduli (to est'
C-komoduli so strukturoj S-modulej -- te, chto obsuzhdalis'
v predyduschem pis'me) i S-kontramoduli -- eto raznye veschi!
Mozhno skazat', chto levye S-moduli -- eto levye A^#-moduli,
a levye S-kontramoduli -- eto levye A-moduli (sm. nizhe).
Itak, ya dal opredelenie iskomoj kategorii. Ya polagayu, chto
argumentami funktora polubeskonechnogo Ext-a dolzhny byt':
- pervyj argument ("otkuda") -- levye S-moduli;
- vtoroj argument ("kuda") -- levye S-kontramoduli.
Dalee, esli M -- pravyj S-modul' i U -- proizvo'noe vektornoe
prostranstvo, to na prostranstve Hom_k(M,U) poyavlyaetsya
estestvennaya struktura levogo S-kontramodulya. Dlya takih
kontramodulej dolzhna imet' mesto formula, svyazyvayuschaya
polubeskonechnye Ext i Tor: Ext^{\inf/2}(M_1, Hom_k(M_2,U))
= Hom_k(Tor_{\inf/2}(M_2, M_1), U).
Zamechanie: kategoriya vseh levyh modulej nad komodul'noj
algebroj S yavlyaetsya abelevoj, esli S kosvobodna (ili hotya
by in`ektivna) nad C sprava. Kategoriya levyh kontramodulej
nad S abeleva, esli S kosvobodna (ili in`ektivna) sleva.
V ostavshejsya chasti etogo teksta korotko opisyvayutsya tri
konstrukcii: 1) funktor Cohom dlya S-modulej i S-kontramodulej,
-- ego proizvodnym funktorom dolzhen byt' polubeskonechnyj Ext;
2) ekvivalentnost' mezhdu levymi A-modulyami i levymi
S-kontramodulyami v situacii, kogda komodul'naya algebra S
stroitsya po algebre A s podalgebroj N, t.e. S = C\ot_N A --
eto takoj analog utverzhdenij (iv-v) iz vtorogo pis'ma,
a takzhe osnovnogo rezul'tata tret'ego pis'ma; i
3) ekvivalentnost' mezhdu C-kosvobodnymi levymi S-modulyami
i C-svobodnymi levymi S-kontramodulyami -- eto analog
utverzhdenij (vi-vii) iz vtorogo pis'ma.
1) Esli M -- levyj S-modul', a P -- levyj S-kontramodul', to
prostranstvo Cohom_S(M,P) opredelyaetsya kak yadro otobrazheniya
Cohom_C(M,P) \to Cohom_C(S\oc M, P) = Cohom_C(M, Cohom_C(S,P)),
ravnogo raznosti dvuh -- odnogo svyazannogo s S-modul'noj
strukturoj na M, drugogo -- s S-kontramodul'noj strukturoj na P.
2) Pust' A -- obychnaya algebra, N -- ee podalgebra, takaya chto
A -- svobodnyj levyj N-modul', C -- koalgebra, i f: N \to C^* --
gomomorfizm algebr s plotnym obrazom, kak v tret'em pis'me.
Predpolozhim, chto S = C\ot_N A yavlyaetsya pravym C-komodulem;
togda na S poyavlyaetsya struktura komodul'noj algebry nad C.
V tret'em pis'me ob`yasnyalos', chto kategoriya pravyh modulej
nad S ekvivalentna kategorii pravyh A-modulej, yavlyayuschihsya
C-komodulyami. Ya utverzhdayu, chto imeetsya analogichnaya
ekvivalentnost' dlya kontramodulej -- s toj raznicej, chto
pri etom poluchayutsya levye A-moduli.
Tochnee govorya, kak my znaem, na vsyakom C-kontramodule est'
struktura C^*-modulya; sledovatel'no, est' i inducirovannaya
struktura N-modulya. Dalee, dlya lyubogo levogo N-modulya M
i levogo C-contramodulya P imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(g) Cohom_C(C\ot_N M, P) \to Hom_N(M,P),
yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli modul' M svoboden
ili kontramodul' P svoboden.
Rassmotrim takuyu kategoriyu: ee ob`ekty sut' levye A-moduli P,
snabzhennye dopolnitel'no strukturoj levogo C-kontramodulya.
Eti dve struktury dolzhny udovletvoryat' takim dvum usloviyam
soglasovannosti: vo-pervyh, struktury levogo N-modulya na P,
inducirovannye s etih dvuh struktur, sovpadayut. Vo-vtoryh,
rassmotrim otobrazhenie P \to Hom_N(A,P), sootvetstvuyuschee
otobrazheniyu dejstviya A\ot_N P \to P. Po postroeniyu, eto
gomomorfizm N-modulej. Trebuetsya, chtoby eto byl gomomorfizm
C-contramodulej, gde struktura C-kontramodulya na prostranstve
Hom_N(A,P) proiskhodit iz ego izomorfizma (g) s prostranstvom
Cohom_C(S,P). Postroennaya kategoriya izomorfna kategorii
levyh kontramodulej nad komodul'noj algebroj S po opredeleniyu;
nuzhno tol'ko proverit' soglasovannost' dvuh vidov uslovij
associativnosti i edinicy pri izomorfizme (g).
Zametim, chto esli algebra N konechnomerna i C=N^*, to struktury
levogo C-kontramodulya i levogo N-modulya ekvivalentny, tak chto
kategoriya levyh kontramodulej nad S okazyvaetsya izomorfnoj
kategorii levyh A-modulej -- kak i bylo obeschano vo vvedenii.
Uprazhnenie: pust' my nahodimsya v situacii imeni Serezhi, t.e.
A i N -- graduirovannye algebry, vse komponenty N konechnomerny,
i N_i=0 dlya i<<0. Pust' C=N^* -- graduirovannaya dvojstvennaya
koalgebra, kak v primere (2) vyshe. Predpolozhim, chto mozhno
postroit' komodul'nuyu algebru S = C\ot_N A, kak opisano vyshe,
to est' N-bimodul' A "dopustim sleva" v smysle tret'ego pis'ma.
Predpolozhim dopolnitel'no, chto A = N\ot_k V kak levyj N-modul',
gde graduirovannoe vektornoe prostranstvo V ogranicheno sverhu.
Pust' M -- graduirovannyj levyj A-modul', ogranichennyj snizu.
Togda na prostranstve \prod_i M_i imeetsya estestvennaya
struktura levogo kontramodulya nad S, prodolzhayuschaya
strukturu C-kontramodulya, opisannuyu v primere (2).
3) Ekvivalentnost' kategorij kosvobodnyh levyh C-komodulej
i svobodnyh levyh C-kontramodulej byla postroena vyshe:
M \mapsto Hom_{C-comod}(C,M) i P \mapsto C\ocn_C P.
Ostaetsya proverit', chto pri etoj ekvivalentnosti stuktury
S-modulya na C-komodule biektivno sootvetstvuyut strukturam
S-kontramodulya na sootvetstvuyuschem C-kontramodule.
Poslednee verno, po krajnej mere, pri tom predpolozhenii,
chto komodul'naya algebra S kosvobodna nad C sleva i sprava.
Iskomoe sootvetstvie proiskhodit iz takogo estestvennogo
izomorfizma prostranstv Hom:
(h) Hom_{C-comod}(S\oc_C (C\ocn_C P), M) =
Hom_{C-contra}(P, Cohom_C(S,Hom_C(C,M)),
kotoryj imeet mesto dlya lyubogo levogo komodulya M, levogo
kontramodulya P, i kosvobodnogo sleva i sprava bikomodulya S.
Formula (h), v svoyu ochered', yavlyaetsya sledstviem formuly (b)
i sleduyuschih dvuh svojstv "associativnosti" tenzornyh operacij.
Vo-pervyh, dlya lyubogo pravogo C-komodulya L, C-D-bikomodulya E
i levogo D-kontramodulya P imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(j) (L\oc_C E) \ocn_D P \to L\oc_C (E \ocn_D P),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, esli L kosvoboden ili P svoboden.
Vo-vtoryh, dlya lyubogo levogo C-komodulya L, D-C-bikomodulya E
i levogo D-komodulya M imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(k) Cohom_C(L, Hom_{D-comod}(E,M)) \to Hom_D(E\oc_C L, M),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, esli L ili M kosvoboden.
Chtoby vyvesti (h), nuzhno podstavit' D=C, L=S i E=C.
Vot, eto primerno vse, chto ya imeyu skazat'.
Lenya.
P.S. Zamechanie: Kstati, vot esche odna podobnogo roda formula.
Dlya lyubogo D-C-bikomodulya E, levogo C-kontramodulya P
i levogo D-kontramodulya Q imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(l) Cohom_D(E\ocn_C P, Q) \to Hom_{C-contra}(P, Cohom_D(E,Q)),
yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli P svoboden ili Q svoboden.
Formulami (a-f) i (j-l) vrode by ischerpyvayutsya takie svojstva
operacij, zavisyaschih ot ko- i kontramodul'nyh struktur.
K etomu spisku sledovalo by esche dobavit' formuly, v kotorye
vhodyat odnovremenno struktury ko/kontramodulej nad koalgebroj
i struktury modulej nad algebroj. Odno iz takih tozhdestv bylo
vypisano v konce tret'ego pis'ma, chastnym sluchaem drugogo
yavlyaetsya formula (g), i t.d.
Dobavlenie (aprel' 2006 goda). Vot esche odna poleznaya operaciya
na ko- i kontramodulyah nad komodul'noj algebroj: kontratenzornoe
proizvedenie nad S. Pust' M -- pravyj komodul' nad S i P --
levyj kontramodul' nad S. Po opredeleniyu, M\ocn_S P -- eto
koyadro otobrazheniya (M\oc_C S)\ocn_C P \to M\ocn_C P, kotoroe
yavlyaetsya raznost'yu sleduyuschih dvuh otobrazhenij. Vo-pervyh,
eto otobrazhenie, inducirovannoe dejstviem M\oc_C S \to M.
Vo-vtoryh, eto kompoziciya (M\oc_C S)\ocn_C P \to
(M\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P) \to M\ocn_C P, gde pervoe
komponuemoe otobrazhenie proiskhodit iz kontradejstviya S na P,
a vtoroe komponuemoe otobrazhenie poluchaetsya iz togo, chto,
kak mozhno proverit', kompoziciya M\oc_C S\ot_k Hom_k(S,P) \to
M\ot_k S\ot_k Hom_k(S,P) \to M\ot_k P \to M\ocn_C P
faktorizuetsya cherez surjekciyu M\oc_C S\ot_k Hom_k(S,P) \to
(M\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P). Zametim, chto kontratenzornoe
proizvedenie nad S -- tochnyj sprava funktor (po krajnej mere,
esli S svobodna nad C sleva). Netrudno proverit' takzhe, chto
(M\ocn_S P)^*=Hom_{S-contra}(P,M^*). Po-vidimomu, kogda C = N^*
(N konechnomerna) i S = C\ot_N A, operaciya \ocn_S sootvetstvuet
tenzornomu proizvedeniyu nad A.
From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru >
To: roma, hippie
Date: Fri, 1 Sep 2000 09:40:45 +0400 (MSD)
Subject: demystifying A^#, pervaya chast' (s ispravleniyami)
Lines: 65
Privet, Roma i Serezha,
Ya vnes esche nekotorye ispravleniya, krome teh, o kotoryh
uzhe soobschalos', vse v osnovnom po chasti levogo i pravogo,
a takzhe nekotorye dobavleniya. Spasibo za vnimanie i proch.
I. Opisanie algebry A^# v sluchae, kogda A=N\otimes B, gde N i B
-- podalgebry. Ispol'zuet opredelenie A^#, kotoroe obychno daet
Serezha. Neskol'ko proyasnyaet beskonechnomernuyu situaciyu.
V ostal'nom bespolezno.
Pust' A -- grad. algebra s dvumya grad. podalgebrami N i B,
prichem N_i konechnomerno dlya vseh i, N_i=0 dlya i<<0, i
B_i=0 dlya i>>0. Predpolozhim, chto otobrazhenie umnozheniya
N\otimes_k B \to A -- izomorfizm. Togda algebra A odnoznachno
vosstanavlivaetsya po N, B i otobrazheniyu "perestanovki"
\phi: B\otimes N \to N\otimes B.
Putem "podnyatiya indeksov" po otobrazheniyu \psi mozhno
postroit' otobrazhenie
\psi: N^*\otimes B \to Hom_k(N,B) = B\otimes N^*
(poslednee ravenstvo sleduet iz uslovij na graduirovki N i B.
Hom_k oboznachaet graduirovannoe prostranstvo Hom -- pryamuyu
summu prostranstv odnorodnyh otobrazhenij raznyh stepenej).
Teper' ya otvlekus', chtoby napomnit' opredelenie modulej S i S'
imeni Serezhi. Itak, S=N^*\otimes_N A i S'=Hom_{B-right}(A,B)
(Hom pravyh B-modulej). Eto dva pravyh A-modulya. Mezhdu nimi
est' otobrazhenie S \to S':
n^*\otimes_N a \mapsto (a'\mapsto < n^*, aa' >)
gde < n^*, - >: A \to B -- otobrazhenie, sparivayuschee n^*
s pervym tenzornym somnozhitelem v A=N\otimes B.
Na urovne vektornyh prostranstv imeem S = N^*\otimes_k B = S'.
Ya utverzhdayu, chto vysheopisannoe otobrazhenie A-modulej
S \to S' sovpadaet s vysheopisannym otobrazheniem \psi vektornyh
prostranstv. Dlya togo, chtoby Serezhino opredelenie algebry
A^# imelo smysl, neobhodimo, chtoby \psi bylo izomorphizmom,
chto ya i predpolagayu.
Teper' rassmotrim obratnoe otobrazhenie
\psi^{-1}: B\otimes N^* \to N^*\otimes B.
Ya hochu "opustit' v nem indeksy" obratno. Togda poluchitsya
nekotoroe otobrazhenie
\phi^#: N\otimes B \to Hom_k(N^*,B).
Teper' uzhe, k sozhaleniyu, niotkuda ne sleduet, chto obraz \phi^#
soderzhitsya v podprostranstve otobrazhenij N^*\to B konechnogo
ranga, t.e. v B\otimes N \subset Hom_k(N^*,B). Ya utverzhdayu,
chto Serezhina algebra A^# suschestvuet rovno togda, kogda eto
tak, i v etom sluchae algebra A^# stroitsya po otobrazheniyu
"perestanovki" \phi^#.
V konechnomernom sluchae poslednee uslovie trivial'no, tak
chto dostatochno togo, chtoby otobrazhenie \psi bylo obratimo.
Teper' mozhno opredelit' algebru A^#, ne ispol'zuya moduli S i S',
a ispol'zuya tol'ko otobrazheniya \phi i \phi^#. A imenno, dlya
suschestvovania algebry s dannym otobrazheniem "perestanovki"
neobhodimo i dostatochno, chtoby ono udovletvoryalo nekotorym
tozhdestvam (associativnosti). Mozhno proverit', chto
\phi i \phi^# udovletvoryayut etim tozhdestvam odnovremenno.
Lenya.
From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru >
To: roma, hippie
Date: Fri, 1 Sep 2000 09:43:12 +0400 (MSD)
Subject: demystifying A^#, vtoraya chast' (s ispravleniyami)
Lines: 77
II. Opisanie algebry A^# v konechnomernom sluchae. Ne ispol'zuet
ni podalgebru B, ni graduirovku. Ispol'zuet tol'ko podalgebru N.
Rekomenduetsya k upotrebleniyu.
Snachala otstuplenie. Pust N -- konechnomernaya algebra (imenno
tak, graduirovannaya lokal'no konechnomernaya ne podhodit).
Togda N^* yavlyaetsya koalgebroj, prichem N-moduli -- eto to zhe
samoe, chto N^*-komoduli. Na N-modulyah est' operaciya tenzornogo
proizvedeniya, a na N^*-komodulyah -- kotenzornoe proizvedenie.
(Poslednee mozhno, pri zhelanii, opredelit' v modul'nyh terminah
kak Hom_{N-bimod-N}(N,P\otimes_k Q), gde P i Q -- pravyj i levyj
N-moduli, sootvetstvenno.)
Budem oboznachat' tenzornoe proizvedenie N-modulej cherez
P\ot_N Q, a kotenzornoe proizvedenie -- cherez P\oc_{N^*} Q.
Na kategorii N-modulej imeyutsya endofunktory (imeni Serezhi)
P \mapsto N^*\ot_N P i P \mapsto N\oc_{N^*}P = Hom_N(N^*,P).
Ya utverzhdayu, chto dlya lyubogo pravogo N-modulya P i levogo
N-modulya Q imeetsya otobrazhenie (abelevyh grupp)
(1) P\ot_N Q \to P\oc_{N^*} (N^*\ot_N Q),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli modul' Q
svoboden ili modul' P kosvoboden. Analogichnym obrazom, imeetsya
otobrazhenie
(2) P\ot_N (N\oc_{N^*} Q) \to P\oc_{N^*} Q,
i eto izomorfizm, esli modul' Q kosvoboden ili modul' P svoboden.
(Takaya kak by vzaimnaya associativnost' tenzornogo i kotenzornogo
proizvedenij. Prostoe uprazhnenie.)
Konec otstupleniya.
Rassmotrim teper' tenzornuyu kategoriyu N-bimodulej (otnositel'no
tenzornogo proizvedeniya). Bimoduli, svobodnye (skazhem) sleva
obrazuyut tam tenzornuyu podkategoriyu. Analogichno, imeetsya
tenzornaya kategoriya N-bimodulej otnositel'no kotenzornogo
proizvedeniya. Kosvobodnye sleva bimoduli obrazuyut v nej
tenzornuyu podkategoriyu. Togda formuly "associativnosti" (1-2)
oznachayut, chto:
(i) funktor Q \mapsto N^*\ot_N Q -- tenzornyj funktor
iz svobodnyh sleva bimodulej otn. tenzornogo proizvedeniya
v kosvobodnye sleva bimoduli otn. kotenzornogo proizvedeniya;
(ii) Q \mapsto N\oc_{N^*} Q -- tenzornyj funktor v obratnuyu
storonu;
(iii) eti dva funktora vzaimno obratny, i, sledovatel'no,
yavlyayutsya ekvivalentnostyami tenzornyh kategorij.
V chastnosti, eti funktory induciruyut ekvivalentnost' kategorij
ob`jektov-algebr v toj i v drugoj tenzornoj kategorii. Pust'
teper' A -- (obychnaya) algebra, soderzhaschaya podalgebru N;
togda A est' takzhe algebra v kategorii N-bimodulej. My vidim,
chto esli A svobodna nad N sleva, to S = N^*\ot_N A yavlyaetsya
komodul'noj algebroj nad N (t.e. algebroj otn. kotenzornogo
proizvedeniya). Dalee, esli S okazyvaetsya kosvobodnoj sprava
(a ne tol'ko sleva) nad N, to mozhno opredelit'
A^# = S \oc_{N^*} N = (N^* \ot_N A) \oc_{N^*} N.
Eto algebra v kategorii N-bimodulej otn. tenzornogo proizvedeniya,
t.e. -- prosto associativnaya algebra, soderzhaschaya N.
Uslovie, chto S - kosvobodnyj pravyj N-modul', sootvetstvuet
usloviyu obratimosti otobrazheniya \psi iz pervogo pis'ma.
Iz teh zhe samyh formul (1-2) sleduet, chto
(iv) pravye A-moduli sut' to zhe samoe, chto pravye S-moduli
(t.e. pravye N-moduli so strukturoj S-modulej otn. kotenzornogo
proizvedeniya);
(v) levye A^#-moduli sut' to zhe samoe, chto levye S-moduli;
(vi) kategoriya N-svobodnyh levyh A-modulej ekvivalentna
kategorii N-kosvobodnyh levyh S-modulej;
(vii) kategoriya N-svobodnyh pravyh A^#-modulej ekvivalentna
kategorii N-kosvobodnyh pravyh S-modulej.
Lenya.
From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru >
To: roma, hippie
Date: Fri, 1 Sep 2000 09:59:50 +0400 (MSD)
Subject: demystifying A^#, tret'ya chast' (s ispravleniyami i dopolneniyami)
Lines: 120
III. Komodul'naya algebra S i moduli nad nej. Opisanie,
ne ispol'zuyuschee ni podalgebru B, ni graduirovku.
Beskonechnomernyj sluchaj.
Kak vsegda, snachala otstuplenie. Pust' N -- algebra, a C --
koalgebra (nad tem zhe polem). Ya napominayu, chto na vektornom
prostranstve C^* est' estestvennaya struktura algebry (prichem
takaya, chto vsyakij C-komodul' yavlyaetsya C^*-modulem). Pust'
zadan f: N\to C^* -- gomomorfizm algebr so vsyudu plotnym obrazom.
Drugimi slovami, dolzhno byt' zadano sparivanie C\otimes N \to k,
soglasovannoe so strukturami algebry i koalgebry i nevyrozhdennoe
po pervomu argumentu.
Zadanie N, C i f ekvivalentno zadaniyu v kategorii (skazhem,
levyh) N-modulej polnoj podkategorii s takimi svojstvami: ona
zamknuta otnositel'no pod- i faktorob`jektov (no ne obyazatel'no
otnositel'no rasshirenij!) i vsyakij modul' iz etoj podkategorii
yavlyaetsya ob`jedineniem svoih konechnomernyh podmodulej.
A imenno, trojke (N, C, f) sootvetstvuet vpolne strogij funktor
"ogranicheniya skalyarov" f^*: C-comod \to N-mod.
Tipichnyj primer: esli H -- algebraicheskaya gruppa (nad polem
harakteristiki 0), to s nej svyazana trojka (N, C, f), gde N=U(h),
h -- algebra Li gruppy H, i C=C(H) -- koalgebra funkcij na H.
Eta trojka sootvetstvuet podkategorii v U(h)-mod, sostoyaschej
iz teh predstavlenij, kotorye integriruyutsya na H.
Drugoj primer: esli N -- graduirovannaya algebra, takaya chto
vse N_i konechnomerny i N_i=0 dlya i<<0, to mozhno vzyat'
v kachestve C graduirovanno-dvojstvennoe k N prostranstvo N^*.
Togda N^*-komoduli -- eto N-moduli s tem svojstvom, chto dlya
lyubogo elementa x iz takogo modulya N_i x = 0 dlya vseh i>>0.
Banal'nyj primer: esli N konechnomerna, to mozhno vzyat' C=N^*.
Togda vse N-moduli yavlyayutsya C-komodulyami.
Konec otstupleniya.
Itak, pust' zadana trojka (N, C, f). Ya budu schitat',
chto kategorii C-komodulej (levyh i pravyh) vlozheny
v sootvetstvuyuschie kategorii N-modulej posredstvom f^*.
Sootvetstvenno, vyskazyvanie tipa "takoj-to pravyj N-modul'
yavlyaetsya C-komodulem" oznachaet, chto etot modul'
prinadlezhit podkategorii C-komodulej v pravyh N-modulyah.
Teper' v tenzornoj kategorii N-bimodulej est' takaya tenzornaya
podkategoriya: bimodul' E prinadlezhit etoj podkategorii, esli
dlya lyubogo pravogo C-komodulya M pravyj N-modul' M\ot_N E
yavlyaetsya C-komodulem. (Dostatochno, chtoby bimodul' C\ot_N E
yavlyalsya pravym C-komodulem.) Est' takzhe uzhe znakomaya nam
polnaya podkategoriya N-bimodulej, svobodnyh nad N sleva. Menya
interesuet peresechenie etih dvuh podkategorij, t.e. bimoduli,
udovletvoryayuschie oboim usloviyam. Ya budu nazyvat' takie
bimoduli (N,C,f)-dopustimymi sleva.
Ya utverzhdayu, chto funktor E \mapsto C\ot_N E yavlyaetsya
tenzornym funktorom iz (N,C,f)-dopustimyh sleva bimodulej
v bikomoduli nad C (otnositel'no kotenzornogo proizvedeniya).
Takim obrazom, esli algebra N yavlyaetsya podalgebroj algebry A,
prichem poslednyaya (N,C,f)-dopustima sleva, to S = C\ot_N A
est' algebra v kategorii bikomodulej nad C. Bolee togo, pust'
M -- pravyj C-komodul'. Togda zadat' na M stukturu pravogo
A-modulya (prodolzhayuschuyu strukturu N-modulya, svyazannuyu
s zadannoj strukturoj C-komodulya) -- eto to zhe samoe, chto
zadat' na M strukturu pravogo modulya, otnositel'no kotenzornogo
proizvedeniya, nad "komodul'noj algebroj" S.
Drugimi slovami, polnaya podkategoriya v kategorii pravyh
A-modulej, sostoyaschaya iz teh modulej, kotorye, kak N-moduli,
yavlyayutsya C-komodulyami, izomorfna kategorii pravyh modulej
nad S. Eto takoe beskonechnomernoe obobschenie svojstva (iv)
iz predyduschego pis'ma.
Oba utvervzhdeniya sleduyut iz takoj formuly "associativnosti"
dlya tenzornogo i kotenzornogo proizvedenij, obobschayuschej
formulu (1): dlya lyubogo pravogo C-komodulya P i levogo
N-modulya Q imeetsya estestvennoe otobrazhenie
P \ot_N Q \to P\oc_C (C\ot_N Q),
yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli Q svoboden ili P kosvoboden.
Na samom dele, voobsche, dlya lyubyh (ne svyazannyh) algebry N
i coalgebry C, komodulya P i modulya Q, a takzhe prostranstva T
s kommutiruyuschimi strukturami levogo C-komodulya i pravogo
N-modulya est' estestvennoe otobrazhenie
(P\oc_C T) \ot_N Q \to P \oc_C (T\ot_N Q),
yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli Q svoboden ili P kosvoboden,
kakov by ni byl T.
Takim obrazom, v kachestve argumentov funktora polubeskonechnogo
Tor-a sleduet ispol'zovat':
- vmesto graduirovannyh pravyh A-modulej, ogranichennyh sverhu,
togda kak algebra N graduirovana polozhitel'no, kak eto bylo u
Serezhi -- pravye moduli nad "komodul'noj algebroj" S = C\ot_N A;
- vmesto levyh A^#-modulej, ogranichennyh sverhu -- levye
moduli nad S [sm. predyduschee pis'mo, svojstvo (v)].
Okonchanie sleduet.
Lenya.
P.S. Zamechanie: Kak i v predyduschem pis'me, zdes' vazhno,
chtoby komodul'naya algebra S byla C-kosvobodna ne tol'ko sleva
(chto imeet mesto po postroeniyu), no i sprava. Eto trebuetsya,
v chastnosti, dlya togo, chtoby kategoriya levyh modulej nad S
byla abelevoj (sm. takzhe punkt 3 v konce chetvertogo pis'ma).
Pust' A = N\ot_k V kak levyj N-modul', gde V -- kakoe-to vektornoe
prostranstvo. Togda S = C\ot_N A = C\ot_k V. Struktura pravogo
C-komodulya na S zadaetsya nekotorym otobrazheniem S \to S\ot_k C.
Oboznachim cherez \psi_V kompoziciyu otobrazhenij
C\ot_k V = S \to S\ot_k C = C\ot_k V\ot_k C \to V\ot_k C,
gde poslednyaya strelka poluchaetsya primeneniem koedinicy
k pervomu somnozhitelyu. Kak legko videt', eto takoe obobschenie
otobrazheniya \psi iz pervogo pis'ma. Dlya togo, chtoby S byla
C-kosvobodna sprava, ochevidno, dostatochno, chtoby suschestvovalo
podprostranstvo V \subset A, dlya kotorogo \psi_V obratimo.
From: Leonid Positselski < posic@mccme.ru >
To: roma, hippie
Date: Fri, 1 Sep 2000 10:03:19 +0400 (MSD)
Subject: demystifying A^#, okonchanie (s ispravleniyami i dopolneniyami)
Lines: 364
IV. Kontramoduli. Opisanie kategorii, kotoruyu probegaet vtoroj
argument funktora polubeskonechnogo Ext-a. Netrivial'no uzhe
v konechnomernom sluchae; rabotaet i v beskonechnomernom.
Ya nachnu etot poslednij punkt nastoyaschih zametok s dlinnogo
vvedeniya (v popytke ob`yasnit', kakaya zadacha reshaetsya).
V razumnom smysle, v beskonechnomernom sluchae algebra A (ili A^#)
soderzhit v sebe bol'she informacii, chem komodul'naya algebra S.
Chtoby postroit' A^# po S, kak ob`yasnyalos' v pervom pis'me,
nuzhno imet' podalgebru B. Ne ispol'zuya B, po S mozhno tol'ko
vosstanovit' nekotorye popolneniya algebr A i A^#: a imenno,
A~ = End_{S-left}(S)^op i A^{#~} = End_{S-right}(S) --
endomorfizmy S kak levogo ili pravogo S-modulya. V samom dele,
End_{S-right}(S) = End_{A-right}(S) = Hom_{N-right}(C, C\ot_N A)
= Hom_{C-right}(C, B\ot_k C) = Hom_k(C,B)
kak vektornoe prostranstvo (pervoe ravenstvo imeet mesto vvidu
ekvivalentnosti kategorij modulej iz poslednego pis'ma, tret'e
ravenstvo -- v silu podhodyaschej versii izomorfizma \psi).
Drugimi slovami, po komodul'noj algebre S nel'zya (vidimo)
vosstanovit' vsyu kategoriyu pravyh A-modulej, a mozhno tol'ko
"kategoriyu O" -- podkategoriyu teh modulej, kotorye yavlyayutsya
C-komodulyami. Vysheopisannoe popolnenie algebry A -- eto to
samoe popolnenie, kotoroe dejstvuet na modulyah iz "kategorii O".
(V konechnomernom sluchae etih razlichij net, konechno.)
Ya napomnyu, chto (kak uchil nas Serezha) argumentami funktora
polubeskonechnogo Ext-a yavlyayutsya:
- Pervyj argument ("otkuda") -- levye A^#-moduli, ogranichennye
sverhu. Na yazyke komodul'noj algebry S eto budut levye S-moduli.
- Vtoroj argument ("kuda") -- levye A-moduli, ogranichennye
snizu. Esli algebra N beskonechnomerna, to takie moduli
ne yavlyayutsya dazhe C-komodulyami. Do sih por my ne umeli
opisyvat' ni takie N-moduli v terminah koalgebry C, ni,
tem bolee, takie A-moduli v terminah komodul'noj algebry S.
Nizhe budet ob`yasneno, kak postroit' v terminah komodul'noj
algebry S abelevu kategoriyu, iz kotoroj beretsya vtoroj argument
funktora polubeskonechnogo Ext-a. Kak ni stranno, etot vopros
netrivialen uzhe v konechnomernom sluchae, poskol'ku --
sm. utverzhdeniya (iv-vii) iz vtorogo pis'ma -- my poka ne umeem
vosstanavlivat' v terminah S kategoriyu vseh *levyh* A-modulej
(ili, naoborot, pravyh A^#-modulej), a umeem tol'ko kategorii
pravyh A-modulej i levyh A^#-modulej, a takzhe *N-svobodnyh* levyh
A-modulej i pravyh A^#-modulej. Konechno zhe, v kachestve vtoryh
argumentov polubeskonechnogo Ext-a my hotim imet' dostatochno
proizvol'nye moduli, a ne tol'ko N-svobodnye. Abeleva kategoriya
"kontramodulej", kotoruyu ya postroyu po komodul'noj algebre S,
v konechnomernom sluchae sovpadaet s kategoriej levyh A-modulej.
I kak ni udivitel'no, udaetsya dazhe obobschit' ekvivalentnosti
kategorij N-svobodnyh i N-kosvobodnyh modulej [utv. (vi-vii) iz
vtorogo pis'ma] na beskonechnomernyj sluchaj; tak chto, veroyatno,
obobschaetsya i opredelenie pobeskonechnogo Ext-a imeni Romy.
Itak, snachala otstuplenie.
Byvayut moduli, byvayut komoduli, a byvayut esche kontramoduli.
Po beskonechnomernoj koalgebre C mozhno postroit', naryadu
s kategoriyami levyh i pravyh C-komodulej, dve drugih abelevyh
kategorii -- levyh i pravyh C-kontramodulej. Delaetsya eto tak.
Vektornye prostranstva (nad fiksirovannym polem k) obrazuyut
tenzornuyu kategoriyu. Poetomu mozhno rassmatrivat' algebry
ili koalgebry v etoj tenzornoj kategorii; eto obychnye algebry
i koalgebry. Teper', esli nas interesuyut moduli ili komoduli
nad takimi algebrami ili koalgebrami, to mozhno opredelyat'
takie (ko)moduli kak ob`ekty toj zhe samoj kategorii Vect.
Eto budut obychnye moduli ili komoduli. No mozhno takzhe vybrat'
kakuyu-nibud' *modul'nuyu kategoriyu* nad tenzornoj kategoriej
Vect, to est' kategoriyu M vmeste s funktorom "dejstviya"
Vect\times M \to M, vmeste s associativnost'yu sootvetstvuyuschej
-- i rassmatrivat' ob`ekty etoj modul'noj kategorii, nadelennye
strukturoj (ko)modulya nad fiksirovannoj (ko)algebroj iz Vect.
Na kategorii Vect^op, protivopolozhnoj k Vect, imeetsya struktura
(levoj) modul'noj kategorii nad Vect, kotoraya zadaetsya formuloj
(V, W^op) \mapsto Hom_k(V,W)^op.
Eto modul'naya kategoriya, poskol'ku imeet mesto izomorfizm
Hom(U\ot_k V, W) = Hom(U, Hom(V,W)).
Struktura pravoj modul'noj kategorii poluchitsya, esli v kachestve
"konstreinta associativnosti" ispol'zovat' drugoj izomorfizm:
Hom(U\ot_k V, W) = Hom(V, Hom(U,W)).
Teper' esli B -- algebra v Vect, to kontramodulem nad B nazyvaetsya
B-modul' v modul'noj kategorii Vect^op nad Vect. Tochnee skazat',
levym B-kontramodulem nazyvaetsya ob`ekt kategorii,
protivopolozhnoj k kategorii modulej nad B v *pravoj* modul'noj
kategorii Vect^op (tak chto zabyvayuschij funktor iz kontramodulej
v Vect kovarianten). Poprostu govorya, kontramodul' -- eto
vektornoe prostranstvo V vmeste s otobrazheniem V \to Hom_k(B,V),
kotoroe dolzhno udovletvoryat' nekotorym usloviyam associativnosti
i edinicy. Odnako, zadat' otobrazhenie V \to Hom_k(B,V) -- eto
to zhe samoe, chto zadat' otobrazhenie B\ot_k V \to V; otsyuda
levye B-kontramoduli sut' to zhe samoe, chto levye B-moduli.
Ne tak dlya koalgebr. Opredelenie takoe zhe: esli C -- koalgebra
v Vect, to levym kontramodulem nad C nazyvaetsya ob`ekt kategorii,
protivopolozhnoj k kategorii komodulej nad C v pravoj modul'noj
kategorii Vect^op nad Vect. Drugimi slovami, kontramodul' nad C
-- eto vektornoe prostranstvo V vmeste s otobrazheniem
Hom_k(C,V) \to V,
udovletvoryayuschim usloviyam koassociativnosti i koedinicy
takogo vida: dva otobrazheniya iz vektornogo prostranstva
Hom_k(C, Hom_k(C,V)) = Hom_k(C\ot C, V)
v prostranstvo V -- odno poluchayuscheesya iterirovaniem operacii
"kontradejstviya" i drugoe zavisyaschee ot koumnozheniya na C --
dolzhny sovpadat'; kompoziciya otobrazhenij V \to Hom_k(C,V) \to V,
gde pervaya strelka svyazana s koediniciej C, a vtoraya est'
"kontradejstvie", dolzhna byt' tozhdestvennym otobrazheniem.
Na vsyakom C-kontramodule (tak zhe, kak i na vsyakom C-komodule)
imeetsya estestvennya struktura modulya nad algebroj C^*,
poskol'ku prostranstvo C^*\ot_k V vkladyvaetsya v Hom_k(C,V).
Vse tri kategorii (levye C-komoduli, levye C-kontramoduli
i levye C^*-moduli) sovpadayut, esli koalgebra C konechnomerna;
v protivnom sluchae, oni vse tri raznye. (V chastnosti, hotya
operacii beskonechnoj pryamoj summy i beskonechnogo pryamogo
proizvedeniya suschestvuyut na vseh treh kategoriyah, no funktor
iz C-komodulej v C^*-moduli soglasovan tol'ko s beskonechnoj
summoj, a funktor iz C-kontramodulej v C^*-moduli -- tol'ko
s beskonechnym proizvedeniem, no ne naoborot.)
Primery: (1) Esli M -- pravyj komodul' nad C i U -- proizvol'noe
vektornoe prostranstvo, to na prostranstve Hom_k(M,U) imeetsya
estestvennaya struktura levogo kontramodulya nad C. Bolee obscho,
esli na M est' struktura levogo D-(ko)modulya, kommutiruyuschaya
so strukturoj pravogo C-komodulya, a U -- kakoj-to D-(ko)modul',
to Hom_D(M,U) yavlyaetsya levym kontramodulem nad C.
(2) Pust' N -- graduirovannaya algebra s konechnomernymi
komponentami, takaya chto N_i=0 dlya i<<0, i pust' N^* --
graduirovanno-dvojstvennaya koalgebra. Togda esli M --
graduirovannyj levyj N-modul', ogranichennyj snizu, to
na pryamom proizvedenii graduirovochnyh komponent modulya M
est' estestvennaya struktura levogo kontramodulya nad N^*.
Kontramoduli vida Hom_k(C,U), gde koalgebra C rassmatrivaetsya
kak pravyj komodul' nad soboj, a U -- proizvol'noe vektornoe
prostranstvo, nazyvayutsya svobodnymi C-kontramodulyami.
Korotkoe oboznachenie: Hom_k(C,U) =: U^C. Uprazhnenie:
imeet mesto kanonicheskij izomorfizm
(a) Hom_{C-contra}(U^C, P) = Hom_k(U,P)
dlya lyubogo levogo C-kontramodulya P.
A sleduyuschee uprazhnenie ya sam ne umeyu reshat': verno li, chto
konechnomernye kontramoduli nad beskonechnomernoj koalgebroj C --
eto to zhe samoe, chto konechnomernye komoduli; to est', drugimi
slovami, chto vsyakij konechnomernyj C-kontramodul' yavlyaetsya
kontramodulem nad konechnomernoj podkoalgebroj C?
(Otvet: neverno. Pust' C -- takaya koalgebra, chto algebra C^*
imeet vid C^* = ke_1 \oplus e_1V^*e_2 \oplus ke_2, gde e_1 i e_2
-- idempotenty, e_1 + e_2 = 1, a V -- kakoe-to vektornoe pr-vo.
Togda kategoriya C-komodulej ekvivalentna kategorii par vektornyh
prostranstv (M_1,M_2), snabzhennyh otobrazheniem M_2 \to V\ot M_1;
a kategoriya C-kontramodulej ekvivalentna kategorii par
vektornyh prostranstv (P_1, P_2), snabzhennyh otobrazheniem
Hom(V,P_2) \to P_1. Esli V beskonechnomerno, to konechnomernyh
kontramodulej bol'she, chem konechnomernyh komodulej. Voobsche,
esli X i Y -- dva konechnomernyh komodulya nad koalgebroj C, to
Ext^i_{C-contra}(X,Y) = (Ext^i_{C-comod}(X,Y))^** --
dvazhdy dvojstvennoe vektornoe prostranstvo. V to zhe vremya,
klassy neprivodimyh C-kontramodulej i neprivodimyh C-komodulej
nahodyatsya v biektivnom sootvetstvii -- sm. Dobavlenie v konce
vtorogo pis'ma serii 2002 goda. (Dobavleno v iyune 2006 goda.))
Konec otstupleniya.
Est' dve operacii tipa tenzornogo proizvedeniya, opredelennye
na komodulyah i kontramodulyah. A imenno, esli M -- pravyj
C-komodul', a P -- levyj C-kontramodul', to kontratenzornoe
proizvedenie M \ocn_C P opredelyaetsya kak faktorprostranstvo
vektornogo prostranstva M\ot_k P po obrazu otobrazheniya iz
M \ot_k Hom_k(C,P), gde poslednee otobrazhenie est' raznost' dvuh:
odno proiskhodit iz kontradejstviya na P, drugoe ravno kompozicii
M \ot_k Hom_k(C,P) \to M\ot_k C \ot_k Hom_k(C,P) \to M\ot_k P,
gde pervaya strelka -- kodejstvie na M, a vtoraya -- podstanovka
("evaluation"). Esli M yavlyaetsya D-C-bikomodulem, to M\ocn_C P
okazyvaetsya levym D-komodulem. Dalee, esli M -- levyj C-komodul',
a P -- levyj C-kontramodul', to prostranstvo Cohom_C(M,P) est'
faktoprostranstvo prostranstva Hom_k(M,P) po obrazu ochevidnogo
otobrazheniya iz Hom_k(C\ot_k M, P) = Hom_k(M, Hom_k(C,P)).
Esli M yavlyaetsya C-D-bikomodulem, to na prostranstve
Cohom_C(M,P) poyavlyaetsya struktura levogo D-kontramodulya.
Nikakoj operacii proizvedeniya dvuh kontramodulej, po-vidimomu,
ne suschestvuet. To est' kontramoduli vedut sebya, kak
obobschennye funkcii (kotorye mozhno umnozhat' tol'ko
na obychnye funkcii, a mezhdu soboj nel'zya).
Vazhnejshie tozhdestva, vklyuchayuschie dve vysheopredelennye
operacii, takovy. Dlya kontratenzornogo proizvedeniya:
(b) Hom_{D-comod}(M\ocn_C P, L)
= Hom_{C-contra}(P, Hom_{D-comod}(M,L))
dlya lyubyh D-C-komodulya M, levogo D-komodulya L i levogo
C-kontramodulya P. Iz formul (a) i (b) srazu sleduet, chto
kontratenzornoe proizvedenie na svobodnyj kontramodul' est'
(c) M \ocn_C U^C = M \ot_k U.
Tozhdestvo dlya prostranstva kogomomorfizmov:
(d) Cohom_D(M\oc_C L, P) = Cohom_C(L, Cohom_D(M,P))
dlya lyubyh D-C-komodulya M, levogo C-komodulya L i levogo
D-kontramodulya P. Est' takzhe formuly dlya kogomomorfizmov
iz kosvobodnogo komodulya ili v svobodnyj kontramodul':
(e) Cohom_C(C, P) = P;
(f) Cohom_C(M, U^C) = Hom_k(M,U).
Iz svojstva (b) vidno, v chastnosti, chto mezhdu kategoriyami
C-comod i C-contra imeetsya para sopryazhennyh funktorov:
L \mapsto Hom_{C-comod}(C,L) i P \mapsto C\ocn_C P.
Iz formuly (c) yasno, chto ogranicheniya etih dvuh funktorov
na polnye podkategorii kosvobodnyh komodulej i svobodnyh
kontramodulej yavlyayutsya vzaimno-obratnymi ekvivalentnostyami
mezhdu etimi podkategoriyami.
Nakonec, svojstva (d) i (e) oznachayut, chto operaciya Cohom
opredelyaet na kategorii (C-contra)^op strukturu pravoj
modul'noj kategorii nad tenzornoj kategoriej C-bicomod-C
(s kotenzornym proizvedeniem).
Pust' teper' S -- algebra v kategorii bikomodulej nad koalgebroj
C. Levym kontramodulem nad S nazyvaetsya ob`ekt kategorii,
protivopolozhnoj k kategorii S-modulej v vyshenazvannoj pravoj
modul'noj kategorii (C-contra)^op nad C-bicomod-C; drugimi
slovami, levyj kontramodul' M nad komodul'noj algebroj S -- eto
levyj C-kontramodul', snabzhennyj gomomorfizmom C-kontramodulej
M \to Cohom_C(S,M), udovletvoryayuschim usloviyam associativnosti
i edinicy takogo vida: dva otobrazheniya iz M v prostranstvo
Cohom_C(S\oc_C S, M) = Cohom_C(S, Cohom_C(S, M))
dolzhny sovpadat', a kompoziciya
M \to Cohom_C(S,M) \to Cohom_C(C,M) = M,
gde vtoraya strelka inducirovana otobrazheniem edinicy algebry S,
dolzhna byt' tozhdestvennym otobrazheniem.
Granichnye sluchai: esli S=C, to S-kontramoduli -- eto prosto
kontramoduli nad koalgebroj C. Esli C=k, to S -- eto obychnaya
algebra v Vect, a S-kontramoduli -- eto obychnye moduli nad S
(kak ob`yasnyalos' vyshe). Predosterezhenie: esli koalgebra C
konechnomerna (ili dazhe S konechnomerna), to, hotya C-komoduli
i C-kontramoduli sut' odno i to zhe, no S-moduli (to est'
C-komoduli so strukturoj S-modulej -- te, chto obsuzhdalis'
v predyduschem pis'me) i S-kontramoduli -- eto raznye veschi!
Mozhno skazat', chto levye S-moduli -- eto levye A^#-moduli,
a levye S-kontramoduli -- eto levye A-moduli (sm. nizhe).
Itak, ya dal opredelenie iskomoj kategorii. Ya polagayu, chto
argumentami funktora polubeskonechnogo Ext-a dolzhny byt':
- pervyj argument ("otkuda") -- levye S-moduli;
- vtoroj argument ("kuda") -- levye S-kontramoduli.
Dalee, esli M -- pravyj S-modul' i U -- proizvo'noe vektornoe
prostranstvo, to na prostranstve Hom_k(M,U) poyavlyaetsya
estestvennaya struktura levogo S-kontramodulya. Dlya takih
kontramodulej dolzhna imet' mesto formula, svyazyvayuschaya
polubeskonechnye Ext i Tor: Ext^{\inf/2}(M_1, Hom_k(M_2,U))
= Hom_k(Tor_{\inf/2}(M_2, M_1), U).
Zamechanie: kategoriya vseh levyh modulej nad komodul'noj
algebroj S yavlyaetsya abelevoj, esli S kosvobodna (ili hotya
by in`ektivna) nad C sprava. Kategoriya levyh kontramodulej
nad S abeleva, esli S kosvobodna (ili in`ektivna) sleva.
V ostavshejsya chasti etogo teksta korotko opisyvayutsya tri
konstrukcii: 1) funktor Cohom dlya S-modulej i S-kontramodulej,
-- ego proizvodnym funktorom dolzhen byt' polubeskonechnyj Ext;
2) ekvivalentnost' mezhdu levymi A-modulyami i levymi
S-kontramodulyami v situacii, kogda komodul'naya algebra S
stroitsya po algebre A s podalgebroj N, t.e. S = C\ot_N A --
eto takoj analog utverzhdenij (iv-v) iz vtorogo pis'ma,
a takzhe osnovnogo rezul'tata tret'ego pis'ma; i
3) ekvivalentnost' mezhdu C-kosvobodnymi levymi S-modulyami
i C-svobodnymi levymi S-kontramodulyami -- eto analog
utverzhdenij (vi-vii) iz vtorogo pis'ma.
1) Esli M -- levyj S-modul', a P -- levyj S-kontramodul', to
prostranstvo Cohom_S(M,P) opredelyaetsya kak yadro otobrazheniya
Cohom_C(M,P) \to Cohom_C(S\oc M, P) = Cohom_C(M, Cohom_C(S,P)),
ravnogo raznosti dvuh -- odnogo svyazannogo s S-modul'noj
strukturoj na M, drugogo -- s S-kontramodul'noj strukturoj na P.
2) Pust' A -- obychnaya algebra, N -- ee podalgebra, takaya chto
A -- svobodnyj levyj N-modul', C -- koalgebra, i f: N \to C^* --
gomomorfizm algebr s plotnym obrazom, kak v tret'em pis'me.
Predpolozhim, chto S = C\ot_N A yavlyaetsya pravym C-komodulem;
togda na S poyavlyaetsya struktura komodul'noj algebry nad C.
V tret'em pis'me ob`yasnyalos', chto kategoriya pravyh modulej
nad S ekvivalentna kategorii pravyh A-modulej, yavlyayuschihsya
C-komodulyami. Ya utverzhdayu, chto imeetsya analogichnaya
ekvivalentnost' dlya kontramodulej -- s toj raznicej, chto
pri etom poluchayutsya levye A-moduli.
Tochnee govorya, kak my znaem, na vsyakom C-kontramodule est'
struktura C^*-modulya; sledovatel'no, est' i inducirovannaya
struktura N-modulya. Dalee, dlya lyubogo levogo N-modulya M
i levogo C-contramodulya P imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(g) Cohom_C(C\ot_N M, P) \to Hom_N(M,P),
yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli modul' M svoboden
ili kontramodul' P svoboden.
Rassmotrim takuyu kategoriyu: ee ob`ekty sut' levye A-moduli P,
snabzhennye dopolnitel'no strukturoj levogo C-kontramodulya.
Eti dve struktury dolzhny udovletvoryat' takim dvum usloviyam
soglasovannosti: vo-pervyh, struktury levogo N-modulya na P,
inducirovannye s etih dvuh struktur, sovpadayut. Vo-vtoryh,
rassmotrim otobrazhenie P \to Hom_N(A,P), sootvetstvuyuschee
otobrazheniyu dejstviya A\ot_N P \to P. Po postroeniyu, eto
gomomorfizm N-modulej. Trebuetsya, chtoby eto byl gomomorfizm
C-contramodulej, gde struktura C-kontramodulya na prostranstve
Hom_N(A,P) proiskhodit iz ego izomorfizma (g) s prostranstvom
Cohom_C(S,P). Postroennaya kategoriya izomorfna kategorii
levyh kontramodulej nad komodul'noj algebroj S po opredeleniyu;
nuzhno tol'ko proverit' soglasovannost' dvuh vidov uslovij
associativnosti i edinicy pri izomorfizme (g).
Zametim, chto esli algebra N konechnomerna i C=N^*, to struktury
levogo C-kontramodulya i levogo N-modulya ekvivalentny, tak chto
kategoriya levyh kontramodulej nad S okazyvaetsya izomorfnoj
kategorii levyh A-modulej -- kak i bylo obeschano vo vvedenii.
Uprazhnenie: pust' my nahodimsya v situacii imeni Serezhi, t.e.
A i N -- graduirovannye algebry, vse komponenty N konechnomerny,
i N_i=0 dlya i<<0. Pust' C=N^* -- graduirovannaya dvojstvennaya
koalgebra, kak v primere (2) vyshe. Predpolozhim, chto mozhno
postroit' komodul'nuyu algebru S = C\ot_N A, kak opisano vyshe,
to est' N-bimodul' A "dopustim sleva" v smysle tret'ego pis'ma.
Predpolozhim dopolnitel'no, chto A = N\ot_k V kak levyj N-modul',
gde graduirovannoe vektornoe prostranstvo V ogranicheno sverhu.
Pust' M -- graduirovannyj levyj A-modul', ogranichennyj snizu.
Togda na prostranstve \prod_i M_i imeetsya estestvennaya
struktura levogo kontramodulya nad S, prodolzhayuschaya
strukturu C-kontramodulya, opisannuyu v primere (2).
3) Ekvivalentnost' kategorij kosvobodnyh levyh C-komodulej
i svobodnyh levyh C-kontramodulej byla postroena vyshe:
M \mapsto Hom_{C-comod}(C,M) i P \mapsto C\ocn_C P.
Ostaetsya proverit', chto pri etoj ekvivalentnosti stuktury
S-modulya na C-komodule biektivno sootvetstvuyut strukturam
S-kontramodulya na sootvetstvuyuschem C-kontramodule.
Poslednee verno, po krajnej mere, pri tom predpolozhenii,
chto komodul'naya algebra S kosvobodna nad C sleva i sprava.
Iskomoe sootvetstvie proiskhodit iz takogo estestvennogo
izomorfizma prostranstv Hom:
(h) Hom_{C-comod}(S\oc_C (C\ocn_C P), M) =
Hom_{C-contra}(P, Cohom_C(S,Hom_C(C,M)),
kotoryj imeet mesto dlya lyubogo levogo komodulya M, levogo
kontramodulya P, i kosvobodnogo sleva i sprava bikomodulya S.
Formula (h), v svoyu ochered', yavlyaetsya sledstviem formuly (b)
i sleduyuschih dvuh svojstv "associativnosti" tenzornyh operacij.
Vo-pervyh, dlya lyubogo pravogo C-komodulya L, C-D-bikomodulya E
i levogo D-kontramodulya P imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(j) (L\oc_C E) \ocn_D P \to L\oc_C (E \ocn_D P),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, esli L kosvoboden ili P svoboden.
Vo-vtoryh, dlya lyubogo levogo C-komodulya L, D-C-bikomodulya E
i levogo D-komodulya M imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(k) Cohom_C(L, Hom_{D-comod}(E,M)) \to Hom_D(E\oc_C L, M),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, esli L ili M kosvoboden.
Chtoby vyvesti (h), nuzhno podstavit' D=C, L=S i E=C.
Vot, eto primerno vse, chto ya imeyu skazat'.
Lenya.
P.S. Zamechanie: Kstati, vot esche odna podobnogo roda formula.
Dlya lyubogo D-C-bikomodulya E, levogo C-kontramodulya P
i levogo D-kontramodulya Q imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(l) Cohom_D(E\ocn_C P, Q) \to Hom_{C-contra}(P, Cohom_D(E,Q)),
yavlyayuscheesya izomorfizmom, esli P svoboden ili Q svoboden.
Formulami (a-f) i (j-l) vrode by ischerpyvayutsya takie svojstva
operacij, zavisyaschih ot ko- i kontramodul'nyh struktur.
K etomu spisku sledovalo by esche dobavit' formuly, v kotorye
vhodyat odnovremenno struktury ko/kontramodulej nad koalgebroj
i struktury modulej nad algebroj. Odno iz takih tozhdestv bylo
vypisano v konce tret'ego pis'ma, chastnym sluchaem drugogo
yavlyaetsya formula (g), i t.d.
Dobavlenie (aprel' 2006 goda). Vot esche odna poleznaya operaciya
na ko- i kontramodulyah nad komodul'noj algebroj: kontratenzornoe
proizvedenie nad S. Pust' M -- pravyj komodul' nad S i P --
levyj kontramodul' nad S. Po opredeleniyu, M\ocn_S P -- eto
koyadro otobrazheniya (M\oc_C S)\ocn_C P \to M\ocn_C P, kotoroe
yavlyaetsya raznost'yu sleduyuschih dvuh otobrazhenij. Vo-pervyh,
eto otobrazhenie, inducirovannoe dejstviem M\oc_C S \to M.
Vo-vtoryh, eto kompoziciya (M\oc_C S)\ocn_C P \to
(M\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P) \to M\ocn_C P, gde pervoe
komponuemoe otobrazhenie proiskhodit iz kontradejstviya S na P,
a vtoroe komponuemoe otobrazhenie poluchaetsya iz togo, chto,
kak mozhno proverit', kompoziciya M\oc_C S\ot_k Hom_k(S,P) \to
M\ot_k S\ot_k Hom_k(S,P) \to M\ot_k P \to M\ocn_C P
faktorizuetsya cherez surjekciyu M\oc_C S\ot_k Hom_k(S,P) \to
(M\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P). Zametim, chto kontratenzornoe
proizvedenie nad S -- tochnyj sprava funktor (po krajnej mere,
esli S svobodna nad C sleva). Netrudno proverit' takzhe, chto
(M\ocn_S P)^*=Hom_{S-contra}(P,M^*). Po-vidimomu, kogda C = N^*
(N konechnomerna) i S = C\ot_N A, operaciya \ocn_S sootvetstvuet
tenzornomu proizvedeniyu nad A.