Зачем нужны модельные категории

[siyuv]

Модельные категории были введены Квилленом в конце 60-х и сразу же получили интересные применения: рациональная гомотопическая теория, когомологии Андре-Квиллена. Однако больше Квиллен к ним кажется не возвращался. Даже в большой работе по алгебраической К-теории, принесшей ему медаль Филдса, модельные категории не используются, хотя и

Comments

[aron_turgenev]

Очень хорошо написано. Известно ли что-нибудь о современном использовании S-конструкции Вальдчаузена (вопрос, конечно, не совсем по теме).

[siyuv]

Спасибо.

Я не знаю пробовал ли кто-нибудь строить новые инварианты с помощью S-конструкции Вальдхаузена, но алгебраическая К-теория топологических пространств (А-функтор) продолжает активно изучаться на стыке дифференциальной и гомотопической топологии (имеются недавние работы Джона Клайна и Брюса Уильямса и др.).

Я думал следует ли включать работу Вальдхаузена в этот обзор, но решил этого не делать, поскольку это действительно другая область (К-теория с применениями к диффернциальной топологии), и уж конечно нарушила бы общую картину упадка в алгебраической топологии в середине 80-х.

[siyuv]

Я вспомнил об одном недавнем использовании S-конструкции, связанном с модельными категориями. Вальдхаузен предложил двум своим мастерантам (с разницей в несколько лет) подумать над К-теорией модельной категории. Штефен Сагаве опубликовал статью по своей мастерской диссертации. Проблема в том, что модельные категории как правило большие, поэтому непосредственное применение S-конструкции к категории, скажем, кофибрантных объектов наталкивается на теоретико-множественные трудности. Штефен, правда, указывает (в начале 3-й части), что даже если их игнорировать, то из теоремы аддитивности Вальдхаузена можно извлечь стягиваемость S-конструкции для любой категории с бесконечными суммами. Короче, чтобы получить нетривиальные инварианты нужно как-то ограничивать набор объектов. Сагаве рассматривает конечно-представимые (категорное обобщение компактных) объекты и развивает некую теорию. Остается вопрос, а что будет, если взять больший набор объектов? Изменится от этого К-теория, или нет? Пока на него не будет дан внятный ответ, я не думаю, что

[aron_turgenev]

Мне кажется, что комбинаторные свойства S-конструкции интересны сами по себе (т.е. их следует изучать еще до перехода к гомотопическим группам). Они, например, связаны с произведениями Масси для расширений первого порядка.

[sowa]

Здорово! Очень интересно.

Не могли бы Вы привести более точные ссылки? Например, мне не хочется гадать, как менее известные имена записываются по-английски. И что стало с этой рукописью, которая была доступна 5 лет? Пополнила немалый список (полу)утраченных топологических работ?

"По мнемоническому правилу, выведенному Марком Хови, модельная категория возникает там, где появляется слово "гомология". Слабыми эквивалентностями должны стать гомологические эквивалентности."

Это меня заинтриговало. Теория переориентировалась с гомотопических эквивалентностей на гомологические? Для пространств это принципиально разные вещи.

[siyuv]

Спасибо.

Я вставил некоторые ссылки в текст. Если мало, то скажите, добавлю еще.

Какое-то время действительно казалось, что рукопись Хиршхорна может постигнуть печальная участь. Время от времени в ней вылавливали ошибки и особого доверия основной результат (теорема о локализации) не вызывал. В то же время, даже на ранних этапах она была очень полезна, поскольку собрала очень большое количество материала, включая неопубликованные леммы Кана. Но в конце-концов Хиршхорн взял себя в руки и дописал ее, выкинув, правда, одну интересную главу (мне из-за этого пришлось ссылки менять по всему докторату). Книжка вышла в 2003.

Теория переориентировалась с гомотопических эквивалентностей на гомологические? -- не знаю можно ли так сказать, просто в середине 70х стало понятно, что гомологические эквивалентности можно рассматривать как расширение понятия слабых эквивалентностей. Боусфилд построил локализации пространств по-отношению к гомологическим эквивалентностям. Соответствующие модельные категории строились в приложении, но построение

[sowa]

Спасибо!

Вы добавили как раз те ссылки, которые я хотел. Хорошо, что Вы указали на связь рукописи с книгой. А что он выкинул?

К самому посту. А почему Вы игнорируете работы по гипотезам Сулливана и Сигала, в 80-е? Если их добавить, то получится, что никакого особенного "спада активности в алгебраической топологии с середины 70-х по середину 80-х" не было.

[siyuv]

Выкинул недописанную главу о модельных категориях оснащенных над замкнутой, симметричной, моноидальной модельной категорией -- обобщение симплициальных модельных категорий Квиллена, включающее, например, цепные комплексы и категории оснащенные над цепными комплексами. В книжке Хови есть все определения, но у Хиршхорна развивалась теория аналогичная симплициальному случаю. Просто не успел дописать, не уложился в дедлайн выданный издателем

[abhyasa]

Понятно почти все, кроме последнего предложения. О каких вычислениях идет речь? Нестабильные спектралки Адамса записывались уже давно: и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом (он ничего не опубликовал, к сожалению). То, что сложилась некая мотивная наука, позволяющая об арифметике судить универсально и триангулировано - не удивительно, арифметика слишком богата. Попробуйте найти спектралку, существенно использующую модельные категории, которая позволит вам вычислить K_4(Z).

[siyuv]

Понятно почти все, кроме последнего предложения -- это плохо, ради него все и писалось.

О каких вычислениях идет речь? -- о вычислениях гомотопических групп пространств отображений между объектами абстрактной модельной категории.

Нестабильные спектралки Адамса записывались уже давно -- для пространств, да.

и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом -- Стовер ученик Кана, последнего не знаю.

...сложилась некая мотивная наука, позволяющая об арифметике судить универсально и триангулировано - не удивительно, арифметика слишком богата -- этого предложения я не понял.

Попробуйте найти спектралку, существенно использующую модельные категории, которая позволит вам вычислить K_4(Z) -- это не так-то просто сделать. Доказательство Рогнеса не простое и я уверен, что там не одна спектральная последовательность. Вообще же по Квиллену высшие К-группы это гомотопические группы некоего пространства, поэтому новой модельной категории тут не требуется. Просто наличие спектральной последовательности это не панацея. Если удается что-то посчитать, то это

[abhyasa]

> и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом -- Стовер ученик Кана, последнего не знаю.

Дрэкман - ученик Бауэса, написал всего пару статей. В своей диссертации построил интересную спектралку, похожую на спектралку Стовера, с помощью которой гомотопические группы пространств Мура вычисляются. Но это не опубликовано.

Рогнес на идеях Суле все построил, если насчет K_4(Z)=0 говорить. Там хорошая спектралка оказалась, К_3(Z) также считалось.

Вообще, спасибо, интересно.

[abhyasa]

Перечитал постинг более внимательно. Абстрактная теория гомотопий - вещь замечательная, но интересует такой вопрос: есть ли утверждения классической теории гомотопий, для док-ва которых существенно требуется использование модельных категорий? Вы написали о Дваере-Кане. А можно привести "чистые" утверждения? Типа даны две категории (не модельные, а "чистые", приходящие из классического опыта, типа категории к.п. абелевых групп, гомотопические группы которой и есть К-функторы от Z), мы вычисляем (!) гомотопический тип пр-ва отображений между ними, используя какие-то модельные категории. Просто довелось как-то слышать от одного очень авторитетного математика, что модельные категории просто не нужны и являются надуманной абстракцией. Ведь есть еще кофибрантные категории Бауэса, да и еще куча всего. Вопрос прост: зачем нужны модельные категории с точки зрения классической теории гомотопий?

[anonymous]

Другими словами, даже если данная модельная категория не имеет отношения к пространствам или симплициальным множествам (в частности не имеет оснащения над ними), все равно можно говорить о гомотопическом типе пространства отображений между объектами (серия работ Двайера и Кана)

Не подскажете ссылку на соответствующую конструкцию, в современном изложении (или оригинальном) ? Эта конструкция приводится у Хови ?

[siyuv]

Хови приводит в 5-ой главе "Framings" приводит для любой модельной категории C конструкцию структуры модуля на гомотопической категории Ho(C) над замкнутой симметричной моноидальной категорией Ho(S). Оригинальные статьи (взяты с сайта Двайера, поэтому его имя опущено) вот:

(with D. M. Kan) Simplicial localization of categories, J. Pure and Applied Algebra (17), 1980, 267-284.
(with D. M. Kan) Calculating simplicial localizations, J. Pure and Applied Algebra (18), 1980, 17-35.
(with D. M. Kan) Function complexes in homotopical algebra, Topology (19), 1980, 427-440.

В оригинальных работах сделано несколько больше. Там показано, что Ho(C) получает оснащение над S, а не над Ho(S), но при этом игнорируются теоретико-множественные сложности возникающие при гамачной локализации и этот результат кажется пока не вошел в книги.

[udod]

Спасибо, очень полезный обзор

[siyuv]

Спасибо на добром слове. Хорошо бы еще ссылку на разговор с Калединым сюда добавить, но, боюсь, там скоро все перейдет на личности, не хочется сюда это тащить.

[udod]

Дима человек замечательный, но буйный:)