Математике никакая такая "дообоснованность" не нужна. На практике мы пока ни с какими актуальными бесконечностями не сталкиваемся и непонятно сможем ли столкнуться. С конечными множествами наши теории работают вполне надёжно.
Поэтому, бесконечности того или иного вида, это расширения, позволяющие нам удобно решать задачи и строить теории. У нас нет никого способа, кроме логики, чтобы отвергнуть начисто какую-то бесконечность. И выбираем мы такие абстракции из практических и, отчасти, эстетических соображений.
Как для решения уравнений нам бывают нужны мнимые числа. (Которые, затем ещё много для чего пригождаются).
На уровне приложений об основаниях можно не думать, но для самой математики основания все-таки нужны, а иначе как мы будем уверены в том, что наши теории состоятельны и построения будут работать? Ну и опять-таки при изучении математики хочется понимать природу изучаемых вещей.
А сама математика это что такое как не набор отдельных теорий, которые для чего-то такого осмысленного нужны? И в каких-то теориях мы вполне можем использовать один вид бесконечности, а в каких-то другой. Идея создать одну единую универсальную математику, это просто мечта, не потребность. И, скорее всего, мечта несбыточная. Вообще, неясно, не перейдёт ли заметная часть математики под контроль ИИ, так как будет состоять из утверждений и рассуждений, которые человеческий мозг физиологически не в состоянии подумать.
Тот факт что мы, явно конечные существа(как по исследованиям макро так и микромира), способны мыслить о бесконечностях, причем довольно продвинутых уже как бы на что-то намекает. А реальная физическая вселенная точно бесконечна, мы же какая-то не очень продвинутая симуляция в возможно бесконечной башне этих симуляций(то есть те существа которые симулируют нас сами являются симуляцией).
Мы можем фантазировать о бесконечности, но эффекты неполноты, независимости, нестандартности, неразрешимости и т.п. намекают, что это могут быть всего-лишь пустые фантазии. Делать прыжок от очень большого числа миров к бесконечному я бы тем более не стал.
НЕ пасует, а ровно наоборот. Мы легко придумываем не одну модель натуральных чисел а много, и даже строго доказываем невозможность какого-то однозначного выбора. То есть мы как раз легко придумываем возможные варианты и все эти варианты непротиворечивы и могут быть где-то реализованы. Счетную бесконечность мы понимаем более-менее(например через индукцию). Проблема со следующим кардиналами, то есть действительными числами. Вот их природа гораздо менее ясная.
Comments 8
С конечными множествами наши теории работают вполне надёжно.
Поэтому, бесконечности того или иного вида, это расширения, позволяющие нам удобно решать задачи и строить теории. У нас нет никого способа, кроме логики, чтобы отвергнуть начисто какую-то бесконечность. И выбираем мы такие абстракции из практических и, отчасти, эстетических соображений.
Как для решения уравнений нам бывают нужны мнимые числа. (Которые, затем ещё много для чего пригождаются).
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Leave a comment