Континуум-гипотеза и теория операторов

[sowa]

Comments

[kapahel]

Еще один аргумент в пользу того, что C(H) -- экзотический объект: она не реализуется как алгебра операторов на сепарабельном пространстве. Более точно: если C(H) вложена в алгебру B(H'), то H' несепарабельно (вложение в B(H') с каким-то H' есть для любой C*-алгебры, как известно).

[sowa]

Да, но она так естественно возникает в К-теории, что трудно ожидать от нее настоящих пакостей.

[kapahel]

Но ведь там нужно главным образом только знание о том, что фредгольмовы операторы проектируются в обратимые, и вычисление K_*(C(H)). Т.е. вопрос о внешних автоморфизмах внешне кажется естественным, но в главных приложениях не встает (ср.: реальные вопросы теории меры или вероятностей каким-то образом минуют теоретико-множественные трудности).

[sowa]

Да, я так и написал - не надо задавать неправильные вопросы. Математика - это в большей степени искусство ставить вопросы, нежели получать ответы. Как художественная литература. Все равно интересно.

[ex_juan_gan]

Кстати. Как-то вообще народ не заметил, что Коэн помер недавно. В Стэнфорде написано в газете, что 2 апреля; в Википедии - что 23 марта.

[kapahel]

Письмо из рассылки FOM от 24 марта

[sowa]

23 марта. Грустно.

[rus4]

Может случиться и так, что приходящая из теории операторов интуиция поможет доказать или опровегнуть континуум-гипотезу.

?

[sowa]

?

В чем состоит вопрос?

[rus4]

Доказать или опровергнуть в какой системе аксиом? Большинство математиков, в том числе владеющих теоретико-операторной интуицией, привыкли к той, где континуум-гипотезу не доказать и не опровергнуть.

[sowa]

Без системы аксиом. Большинство математиков не только не работает в ZFC, но и не знает, что это такое. Нет никаких оснований думать, что ZFC исчерпывает нашу интуицию.

[kdv2005]

Спасибо, очень интересно. Я не знал, что результаты про алгебру Калкина получены совсем недавно. У меня было впечатление, сложившееся в результате рассказов Хелемского много лет назад, что в теории C*-алгебр есть целая серия утверждений об объектах, имеющих свойства которых разнятся в зависимости от того, справедлива континуум-гипотеза или нет. Правда это, скорее, заставляет скептически относиться к возможности выяснить правду о континуум-гипотезе, изучая C*-алгебры.

[sowa]

Вроде дело обстоит неменого не так: специалисты по C*-алгебрам часто использовали континуум-гипотезу; задача, решенная с использованием континуум-гипотезы, считалась решенной. Другой половиной не занимались.

Кроме того, здесь уж очень простая и естественная формулировка.

[kdv2005]

Да, привлекательные результаты. Еще бы внешний автоморфизм построить...

[sowa]

"Еще бы внешний автоморфизм построить..."

Так они в каком-то смысле построены...

[marina_p]

А как определяется норма в C(H)? Как минимальная норма представителей класса эквивалентности?

[sowa]

Да, как в факторпространстве банахова пространства.

[marina_p]

А сколько всего ультрафильтров на N?
С континуум-гипотезой, наверное, 2c (c, наверное, слишком мало), а если без неё?

[sowa]

Никогда не задумавался над таким вопросом. Мне кажется, от континуум-гипотезы ответ не должен зависеть.