40 лет с момента рождения ... (2) о теореме Хана-Банаха
40 лет с момента рождения -- начало
Надо сказать пару назидательных слов за эту теорему. Точнее, надо порефлексировать, как она сработала для т.наз. принципа продолжения, из которого столько выросло (см. начало).
***
"Анализ" Л. Шварца, на который юный Наблюдатель наложил руки совсем уже поздней осенью, не был первой попыткой обеспечить себе альтернативный источник по матану. Первой был первый том Данфорда и Дж.Шварца. Высокий молчел, стоявший в очереди за Наблюдателем в абонементе на 4-м этаже физфака, увидев книжку, хмыкнул: "вам тут такие книжки на руки выдают?" Понятно, что книжка была слишком сложна для первокурсника, но сколько-то страниц всё-таки были прочитаны -- и там была задачка, где надо было применить что-то типа леммы Цорна к доказательству простейшего варианта теоремы Хана-Банаха (не такого хитромудрого, как у Рудина). Задачка простенькая -- типа, простейшая проверка знания формулировки. Но для Наблюдателя всё это было дико ново, так что успешное решение задачки оставило яркий след в памяти.
На самом деле остался шаблон: (1) совсем простой, если не сказать примитивный, шаг (продолжение функционала с подпространства на одно только измерение: нужно задать только одно значение), за которым следует (2) некая организация уже множества таких шагов.
В нашем ("асимптотическом") принципе продолжения тоже есть элементарный шаг, который тоже практически тривиален, так что может быть даже и непонятно, как такой простенький шаг может что-то там решать для сколь угодно сложных произведений сингулярных функций. Но кунштюк в этом и состоит: раз понято, что проблема в существенном сводится к этому простому шагу (в нашем случае -- сингулярность в изолированной точке), то остальное -- это лишь терпеливая организация многих таких шагов в окончательную конструкцию -- в т.наз. асимптотическую операцию.
Этот элементарный шаг -- как дно, от которого отталкиваешься и всплываешь к поверхности, уже точно зная глубину проблемы и отчётливо понимая, что проблема в главном исчерпана, что там ничего больше нет, кроме организации элементарных шагов (откуда происходят энтузиазм и нетерпение, чреватое грубыми ошибками, проистекающими из отсутствия опыта, хорошего научрука-советчика и понимания того, как будут вести себя матёрые "эксперты").
Организация полного решения из элементарных шагов может быть громоздкой, содержать дополнительные подкрутки (более или менее прямо диктуемые спецификой задачи) и некоторое количество вспомогательных задачек нотационного и "комбинаторного" характера (не в смысле математической комбинаторики, а в смысле комбинаторного интеллекта). Задачек -- но уже не проблем.
Ещё раз: сначала пристальное разглядывание, сопровождаемое критикой смыслов (что важно -- что неважно, etc.) и терпеливо сводящее целый класс разнообразных задач к одному-единственному практически тривиальному шагу, в котором проблема тривиализуется, переставая быть проблемой, -- и потом обратный ход: терпеливая сборка полного, уже вовсе не тривиального решения.
***
Штука в том, что нормальные, не умеющие в такое терпеливое разматывание-сматывание (а они в подавляющем большинстве не умеют), слушая объяснение элементарного шага, просто не врубаются, какое отношение тривиальный элементарный шаг имеет к забубённо сложной задаче, которую они не могли решить. Ситуация усугубляется, если они "признанные эксперты", а объясняющий -- какой-то щенок с претензиями. Именно такая ситуация имела место на семинаре в Стекловке 1982-12-2*, когда Олег Иванович орал из своего угла.
Надо сказать пару назидательных слов за эту теорему. Точнее, надо порефлексировать, как она сработала для т.наз. принципа продолжения, из которого столько выросло (см. начало).
***
"Анализ" Л. Шварца, на который юный Наблюдатель наложил руки совсем уже поздней осенью, не был первой попыткой обеспечить себе альтернативный источник по матану. Первой был первый том Данфорда и Дж.Шварца. Высокий молчел, стоявший в очереди за Наблюдателем в абонементе на 4-м этаже физфака, увидев книжку, хмыкнул: "вам тут такие книжки на руки выдают?" Понятно, что книжка была слишком сложна для первокурсника, но сколько-то страниц всё-таки были прочитаны -- и там была задачка, где надо было применить что-то типа леммы Цорна к доказательству простейшего варианта теоремы Хана-Банаха (не такого хитромудрого, как у Рудина). Задачка простенькая -- типа, простейшая проверка знания формулировки. Но для Наблюдателя всё это было дико ново, так что успешное решение задачки оставило яркий след в памяти.
На самом деле остался шаблон: (1) совсем простой, если не сказать примитивный, шаг (продолжение функционала с подпространства на одно только измерение: нужно задать только одно значение), за которым следует (2) некая организация уже множества таких шагов.
В нашем ("асимптотическом") принципе продолжения тоже есть элементарный шаг, который тоже практически тривиален, так что может быть даже и непонятно, как такой простенький шаг может что-то там решать для сколь угодно сложных произведений сингулярных функций. Но кунштюк в этом и состоит: раз понято, что проблема в существенном сводится к этому простому шагу (в нашем случае -- сингулярность в изолированной точке), то остальное -- это лишь терпеливая организация многих таких шагов в окончательную конструкцию -- в т.наз. асимптотическую операцию.
Этот элементарный шаг -- как дно, от которого отталкиваешься и всплываешь к поверхности, уже точно зная глубину проблемы и отчётливо понимая, что проблема в главном исчерпана, что там ничего больше нет, кроме организации элементарных шагов (откуда происходят энтузиазм и нетерпение, чреватое грубыми ошибками, проистекающими из отсутствия опыта, хорошего научрука-советчика и понимания того, как будут вести себя матёрые "эксперты").
Организация полного решения из элементарных шагов может быть громоздкой, содержать дополнительные подкрутки (более или менее прямо диктуемые спецификой задачи) и некоторое количество вспомогательных задачек нотационного и "комбинаторного" характера (не в смысле математической комбинаторики, а в смысле комбинаторного интеллекта). Задачек -- но уже не проблем.
Ещё раз: сначала пристальное разглядывание, сопровождаемое критикой смыслов (что важно -- что неважно, etc.) и терпеливо сводящее целый класс разнообразных задач к одному-единственному практически тривиальному шагу, в котором проблема тривиализуется, переставая быть проблемой, -- и потом обратный ход: терпеливая сборка полного, уже вовсе не тривиального решения.
***
Штука в том, что нормальные, не умеющие в такое терпеливое разматывание-сматывание (а они в подавляющем большинстве не умеют), слушая объяснение элементарного шага, просто не врубаются, какое отношение тривиальный элементарный шаг имеет к забубённо сложной задаче, которую они не могли решить. Ситуация усугубляется, если они "признанные эксперты", а объясняющий -- какой-то щенок с претензиями. Именно такая ситуация имела место на семинаре в Стекловке 1982-12-2*, когда Олег Иванович орал из своего угла.