есть белая овца среди черных овец

[falcao]

Пост -- открытый, для всех желающих ознакомиться с теоретико-вероятностной задачей. Мне она не так давно попалась, и показалась весьма интересной. Вот моя "хищная" версия условия (в оригинале присутствовали белые и чёрные шары).

Имеется стадо овец, куда первоначально входит одна белая и одна чёрная овца. Ежедневно проделывают следующую процедуру:

Comments

[vallerio]

Так как в стаде всегда только одна белая, то на первую попытку шансы один к одному. Белую сожрали и конец задачке. Если не случилось, то прогрессия от 1 к 1 до 1 к бесконечности, так как количество черных будет стремится к бесконечности.

[falcao]

Нет, её сразу сожрать не могут: по условию, она должна быть выбрана два дня подряд!

Если бы её на первый раз съедали, то при неограниченном числе испытаний вероятность равнялась бы единице.

[vallerio]

Ну вот ее и выбрали. Первый раз взяли белую. Запомнили, добавили черную и снова выбрали белую. Хотя да. Начинается с 1 к 2.

[falcao]

Если в первые два дня это произошло, то вероятность равна (1/2)*(1/3)=1/6, то есть итоговая вероятность больше. Вопрос в том, на сколько. Скажем, априори не очевидно, что последующие "добавки" не дадут в сумме единицу.

[one_and_a_half]

Если верить экселю, то чуть меньше 37%

[falcao]

Приблизительный компьютерный подсчёт, конечно, тоже полезен, но здесь имеется в виду, что надо дать "точный" ответ.

[avkh]

1/e ?

[falcao]

Да, оно самое! После эмпирического вычисления достаточно 100 поделить на нормальную температуру человеческого тела, и вуаля! :)

[tinium]

p=1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/3*1/4 + 1/2*2/3 * 1/4*1/5 + 1/2*2/3*3/4 * 1/5*1/6 ...

p (белая с первого+белая со второго) + p (черная с первого + белая со второго+ белая с третьего) +...

~0.25

[deni_ok]

А ЧБЧББ не бывает?

[falcao]

У Вас при суммировании ряда не все случаи учтены, поэтому вероятность оказалась заниженной. Там с какого-то момента всё начинает "ветвиться", и случаев оказывается много. Скажем, уже третий член ряда должен включать в себя возможности БЧББ и ЧЧББ. А дальше вариантов становится ещё больше.

[hiero]

Я так понимаю, ответ - 1/2. Сумма ряда 1/n*(n+1), где n начинается с 2-x. (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... (1/n - 1/n+1). Хорошо, что одна черная овца была изначально, а то быть бы шашлыку со стопроцентной вероятностью :-)

[falcao]

Нет, там ряд более сложный получается, и вероятность будет меньше 1/2. Выше было указано приближённое значение, подсчитанное на компьютере (около 37%) -- оно правильное. Но здесь ставится задача найти точное.

[rus4]

Да, хорошая задача. Надо бы придумать решение без вычислений, у меня чуть, но есть.

[falcao]

У меня есть на этот счёт одна идея -- как сделать всё чисто комбинаторно, при помощи подходящего кодирования. Но я пока не довёл это дело до конца.