Миф про полезность школьной геометрии для обучения доказательствам почему-то очень рапспространён. Например, в алгебре вопросы ничуть не туманнее, а доказательства даже и яснее. В геометрии очень часто существенно опираются на рисунок. И делают из-за этого ошибки.
да-да, Паш. Не, дети применяли. Занятие странное, по поскольку геометрию не жалко, то полезное. Да поход к основаниям математики абсурден по своей постановке.
Лично твой подход ... ну, мне он кажется бесполезным. и как же ты предлагаешь доказывать аксиому Паша? Счётом на 3 страницы?. Впрочем, в ближайшее время я не буду повторять экспериментов по обучению аксиомам.
Что-то я этого доказательства не осилил. При чем тут "если их две"? Надо же доказать, что не может быть ровно одной точки пересечения прямой с периметром треугольника?
Все равно не понимаю. Пусть у нас треугольник ABC,отметим точку B_1 на луче CA за точкой A, C_1 на луче AB за точкой B, A_1 на отрезке BC. Предположим, что наша плохая "прямая" идет из B_1 в C_1, потом из C_1 в A_1, тут заходит в треугольник, и там и остается навсегда. У меня не получается применить твой аргумент.
У тебя получается, что значение афинной формы, соответствующей прямой BC при движении по рассматриваемой прямой сначала положительно (в точке B_1), потом отрицательно (в точке C_1), потом снова положительно (после точки A_1). Это невозможно по соображениям линейности, поэтому этот случай в решении и не рассматривается.
Очевидность (очевидная невозможность) неразобранных случаев не делает доказательство безупречным. Тут вообще все случаи очевидны по одинаковым причинам. Так бы и сказал: очевидно.
>Очевидность (очевидная невозможность) неразобранных случаев не делает доказательство безупречным. Тут вообще все случаи очевидны по одинаковым причинам. Так бы и сказал: очевидно.
Ты это вообще о чём? Я же не пишу ответ на экзамене, а делаю очень короткий комментарий, чтобы продемонстрировать, что теорема Паша в этом подход доказывается очень легко. Естественно, доказательство на экзамене будет более подробным.
Если до этого доказано тривиальное утверждение о том, что прямая пересекает отрезок во внутренней точке тогда и только тогда, когда концы отрезка при подстановке в уравнение прямой дают разный знак, то теорема Паша доказывается гораздо проще: если прямая пересекает одну сторону треугольника, то соответствующие вершины имеют разный знак. Стало быть, есть две вершины одного знака и одно вершина другого знака. Пара вершин разного знака, отличная от нашей, даёт искомую сторону треугольника.
А вот мне интересно, сколько школьников, «изучавших» геометрию в кружке, в состоянии доказать эту простую теорему.
Полагаю, большинство учащихся в кружке не помнят, что из большого количества равносильных формулировок аксиомы Паша (аксиомы полуплоскости) является аксиомой, а что следствием из неё. Это последнее, за что я буду на них рассержен.
У нас аксиома была такая: любая прямая делит плоскость на две части так, что отрезок между точками разных частей пересекает прямую, а между точками одной части не пересекает. Тогда доказывать нечего: две вершины треугольника лежат по одну сторону от прямой, эту-то сторону прямая и не пересечёт. Собственно, у тебя написано то же самое, только со словами "линейная форма".
>У нас аксиома была такая: любая прямая делит плоскость на две части так, что отрезок между точками разных частей пересекает прямую, а между точками одной части не пересекает.
Это, конечно, хорошо, но тогда у тебя получается, что ты добавлешь в определение плоскости новое данное: помимо множества точек и прямых, предиката инцидентности точки прямой и предиката «лежать между» у тебя возникает разбиение дополнения прямой на две части с указаннными своствами. Либо ты имеешь ввиду, что отношение «отрезок, соединяющий две точки, не пересекает прямую» будет отношением эквивалентности и классов эквивалентности будет два. Но в такой формулировке я не уверен, что школьники могут всё правильно изложить. Либо ты имеешь ввиду какое-то третье толкование, и тогда хотелось бы понять, какое.
>У нас аксиома была такая
«Ваша» система аксиом где-нибудь существует в записанном виде? Можно на неё взглянуть?
Вот, например, как в упомянутой аксиоматике доказывается существование равностороннего треугольника?
отношение «отрезок, соединяющий две точки, не пересекает прямую» будет отношением эквивалентности и классов эквивалентности будет два.
Ну да, ровно это я и имею в виду и ровно это и сказал, только вместо "класс эквивалентности" употребил слово "часть".
Система аксиом очень вероятно, что избыточна, у меня её в записанном виде нет. Возможно, существование треугольника с данными длинами сторон, удовлетворяющими неравенству треугольника, и постулировалось.
>мне он кажется бесполезным Он полезен хотя бы потому, что готовит к линейной алгебре. Аксиоматическая геометрия в стиле Гильберта - это дорога в никуда.
Например, в алгебре вопросы ничуть не туманнее, а доказательства даже и яснее.
В геометрии очень часто существенно опираются на рисунок.
И делают из-за этого ошибки.
Reply
Лично твой подход ... ну, мне он кажется бесполезным. и как же ты предлагаешь доказывать аксиому Паша? Счётом на 3 страницы?. Впрочем, в ближайшее время я не буду повторять экспериментов по обучению аксиомам.
Reply
Reply
Извини.
Reply
Reply
И в данном случае имеются ввиду пересечения с прямыми, а не с отрезками.
Reply
Reply
Reply
Reply
Ты это вообще о чём?
Я же не пишу ответ на экзамене, а делаю очень короткий комментарий, чтобы продемонстрировать, что теорема Паша в этом подход доказывается очень легко.
Естественно, доказательство на экзамене будет более подробным.
Reply
о том, что прямая пересекает отрезок во внутренней
точке тогда и только тогда, когда концы отрезка при подстановке в уравнение прямой дают разный знак,
то теорема Паша доказывается гораздо проще:
если прямая пересекает одну сторону треугольника,
то соответствующие вершины имеют разный знак.
Стало быть, есть две вершины одного знака и одно вершина другого знака.
Пара вершин разного знака, отличная от нашей,
даёт искомую сторону треугольника.
А вот мне интересно, сколько школьников, «изучавших»
геометрию в кружке, в состоянии доказать эту простую теорему.
Reply
У нас аксиома была такая: любая прямая делит плоскость на две части так, что отрезок между точками разных частей пересекает прямую, а между точками одной части не пересекает. Тогда доказывать нечего: две вершины треугольника лежат по одну сторону от прямой, эту-то сторону прямая и не пересечёт. Собственно, у тебя написано то же самое, только со словами "линейная форма".
Reply
Это, конечно, хорошо, но тогда у тебя получается, что
ты добавлешь в определение плоскости новое данное:
помимо множества точек и прямых,
предиката инцидентности точки прямой и предиката
«лежать между» у тебя возникает
разбиение дополнения прямой на две части с указаннными
своствами. Либо ты имеешь ввиду, что отношение
«отрезок, соединяющий две точки, не пересекает
прямую» будет отношением эквивалентности
и классов эквивалентности будет два. Но в такой формулировке я не уверен, что школьники
могут всё правильно изложить.
Либо ты имеешь ввиду какое-то третье толкование,
и тогда хотелось бы понять, какое.
>У нас аксиома была такая
«Ваша» система аксиом где-нибудь существует
в записанном виде? Можно на неё взглянуть?
Вот, например, как в упомянутой аксиоматике
доказывается существование равностороннего треугольника?
Reply
прямую» будет отношением эквивалентности
и классов эквивалентности будет два.
Ну да, ровно это я и имею в виду и ровно это и сказал, только вместо "класс эквивалентности" употребил слово "часть".
Система аксиом очень вероятно, что избыточна, у меня её в записанном виде нет. Возможно, существование треугольника с данными длинами сторон, удовлетворяющими неравенству треугольника, и постулировалось.
Reply
Reply
Он полезен хотя бы потому, что готовит к линейной алгебре.
Аксиоматическая геометрия в стиле Гильберта - это дорога в никуда.
Reply
Leave a comment