who is Наблюдатель (2z) открытие формализма MS4
who is Наблюдатель -- введение и оглавление;
who is Наблюдатель (2) результаты-"открытия"
Четвёрка в иероглифе MS4, который стоит в заголовке и других местах, должна в идеале оформляться как верхний индекс -- как показано красным на картинке, приводимой в записи где-то дальше.
Речь об этой публикации, ей предшествовало предварительная презентация на НН-2019.
***
Сначала тезисы, потом рассказ.
• Формализм MS4 -- это чистая полная независимая альтернатива формализму БПХЦ/BPHZ. Оба предназначены для решения архифундаментальной задачи -- т.наз. ультрафиолетовых перенормировок в пертурбативной квантовой теории поля. Два формализма пересекаются только на самом фундаментальном уровне условий причинности Штюкельберга-Боголюбова, откуда они расходятся в разные стороны (в одном важном техническом отношении -- в прямо противоположные).
• Формализм MS4 полностью формулируется в физическом импульсном пространстве целой размерности без использования вспомогательных регуляризаций (вроде размерной) сверх обрезаний при больших импульсах, которые всегда явно или неявно используются в определении интегралов по бесконечным областям.
• Формализм MS4 полностью органичен математическим структурам петлевых интегралов, так что его проекция на прикладные задачи строго шире, чем у формализма БПХЦ. Но для его эффективного применения необходимо владеть техникой теории асимптотической операции, являющейся развитием методов теории обобщённых функций.
• Формализм MS4 допускает детерминированный (выполняемый алгоритмически по известным правилам) переход в интегралах, перенормированных посредством MS4, к параметрическому (швингеровскому) представлению для целей численных расчётов и т.п. Типичный конечный результат такого перехода -- интеграл по гиперкубу от рациональной абсолютно интегрируемой функции. В отличие от формализма БПХЦ, здесь этот переход имеет лишь вычислительное, но не теоретическое значение, поскольку все теоретические вопросы улаживаются ещё в импульсном представлении.
• Формализм MS4 допускает прямой вывод дифференциальных уравнений ренормгруппы (Каллана-Симанзика), в котором нигде не используются бесконечные перенормировочные факторы (Z).
При этом получаются принципиально новые явные конечные интегральные формулы для вкладов в ренормгрупповые функции в любом порядке теории возмущений (т.наз. B-оператор). Эти формулы естественно интерпретируются как предельный случай R*-операции, доставляющий максимально возможное упрощение соответствующих петлевых интегралов, соответствующее занулению всех масс и внешних импульсов. Роль остаточного размерного параметра переходит к обрезающей экспоненте, а вычисления в итоге (после перехода к параметрическому представлению) сводятся к интегралам по гиперкубам описанного выше типа, но без размерных параметров.
• Формализм MS4 допускает перенос (с некоторыми модификациями) практически любых алгоритмов типа IBP. При этом в выражениях отсутствует зависимость от D#4, что ведёт к серьёзным вычислительным упрощениям. Для вычисления отдельных (неприводимых, базовых, "master") интегралов можно использовать любые методы, в том числе аналитическую и размерную регуляризации, причём метод можно выбирать под конкретный интеграл.
• Формализм MS4 принципиально основан на систематическом использовании новых методов теории обобщённых функций (специальные вычитающие операторы; композитная R-операция и As-операция для произведений сингулярных функций; ...). Эти методы были предложены и развиты в основном Наблюдателем до 1989 г. при локальном участии учеников, из которых следует особо назвать А.Н.Кузнецова.
Следующий пункт заслуживает быть выделенным особо:
Вывод явных выражений для ренормгрупповых функций через B-оператор -- это первый пример того, как формализм обобщённых функций может применяться в сложных конструкциях (композитная R-операция и т.п.) и в соответствующих манипуляциях квази-алгебраического типа для вывода принципиально новых результатов. Можно сказать, что здесь обобщённо-функциональный инструментарий, развитый в теории асимптотической операции, используется как вычислительный аппарат (примерно как комплексные числа используются для решения алгебраических уравнений высоких степеней) -- в отличие от традиционных приложений теории обобщённых функций, где их использование является, скорее, дескриптивным.
Теперь в тему наукоцида:
• Формализм MS4 является итоговой формой формализма GMS, работа над которым прервалась на рубеже 80-90-х гг, сделавшись невозможной в результате чудовищного многолетнего грабежа автора теории асимптотической операции "командой", образовавшейся под сенью Обезъянка и при попустительстве э-Вити, изначально для организации "академического лифта" для любимого Обезъянкина Чучелка ( тупицы из тупиц). Затем "команда" зажила уже своей жизнью. Грабёж сопровождался форменной "академической" травлей (включая эффективное использование механизмов анонимного рецензирования) автора теории асимптотической операции.
• Молодые люди, благодаря чьему любопытству и энтузиазму работа после тридцатилетнего перерыва была-таки возобновлена и привела к публикации формализма MS4 и открытию B-оператора [>> публикация], законно получили на свой счёт звёздный научный результат.
• Нет никаких причин сомневаться в том, что если бы работа над теорией асимптотической операции проходила в 80-х гг. в нормальной научной обстановке, то формализм MS4 и B-операторы были бы найдены ещё тогда. И ландшафт многопетлевых вычислений к настоящему времени был бы совершенно другим -- границы возможного были бы отодвинуты дальше, чем сейчас.
• Прямую ответственность за всё это чудовищное "руководство наукой" несут академические бандиты -- Обезъянко, собранная им банда соратников и учеников ( мразь Макако, э-Витя, Крыско, глюкантор Фаустов, Пугалко ...), а также приползшие на запах жареного шакалы (О.И.Завьялов, мразь Смирнов-ст., Johan Kuhn, Martin Beneke, ...).
Конец тезисов.
********
Теперь рассказ.
Речь пойдёт об открытии -- настоящем, совершенно не рядовом теоретическом открытии в самой сердцевине коренного формализма квантовой теории поля. Открытие представлено в этом письме, а предварительное сообщение было сделано на НН-2019.
Данную выше самооценку работы следует оценивать на фоне сверхнаглого самопарадирования в публичном дискурсе бандитов вроде Пугалка, который сам себя поставил на самое почётное место в программе НН-2019, а мразь Макака следом, проложив для блезиру нейтральным докладом >> как бандиты организуют ....
Упомянутое сообщение от Наблюдателя и ко. нашло себе местечко в программе не без удачи и не без помощи из недр оргкомитета, в самом конце самой неприоритетной из трёх вечерних секций неглавного первого дня [см. левый из двух зелёненьких квадратиков в таблице].
Это зримое -- в ряду с дверями -- проявление наукоцида, который Банда (ср. бинарное фото) безнаказанно творит уже сорок лет.
***
Начнём с обещанной картинки. На конференции про 50 лет этого Института теоретическую физику представлял М.Шапошников. Он, конечно, оголетый космоложец (почему бандиты-организаторы и доверили ему эту роль). Но удалился он из Института достаточно давно, чтобы не замазаться с Бандой и Пугалком.
Интересно тут что. Стоит бандитам выставить незамазанного эксперта, как сразу лезут неприятные для Банды сюрпризы, ср. сюрприз от Гриши Корчемского.
И вот в самом начале презентации М.Ш. показывает слайд, в котором названы три теоретические области, которыми прославился Институт (красная пометка наша):
Первый пункт -- это теоротдельская космолажа ( Кузя-М.Ш.- Капелько- Пугалко-...).
Третий -- это прогремевшие объяснением проблемы солнечных нейтрино внетеоротдельские С.Михеев и А.Смирнов.
Нас интересует средний пункт. Он состоит из двух строк. Первая строка -- "многопетлевые вычисления etc". Это формулировка, которая охватывает все те замечательные результаты, которые стали возможны в 80-х гг. благодаря теоретическим изобретениям в основном Наблюдателя [>> русская "многопетлевая революция"].
Надо заметить, что там отнюдь не только "вычисления" и "вычислительные методы" -- но и, например, теоретический прорыв с физически корректным операторным разложением для теорий с безмассовыми частицами, см.
Но космоложцы во главе с Кузей, мастурбировавшие на свои пупки, узревая там начало Вселенной и "проблему" её барионной асимметрии, смотрели сверху вниз на эту деятельность ("изучение ножек кузнечиков" (с) Кузя), где действительно бросался в глаза толстый вычислительный компонент [>> хумбаба "вычислитель"].
***
Теперь вторая строка: теория перенормировок. Два года назад этот довесок выглядел бы совершенно непонятно на фоне остальных пунктов -- ведь среди работ, обозначенных как "многопетлевые вычисления", нет ничего, что заслуживало бы такого особого упоминания.
Там, правда, были некоторые, скорее вспомогательные рассуждения в рамках теории асимптотической операции, например, эта работка.Публикация работки в ТМФ -- это была кость, брошенная Бандой Наблюдателю на фоне мегаотлупа основных работ по теории асимптотической операции.
Кстати, мразь Макако тупо переписал эту работку -- парадигматический, можно сказать, образчик его "творчества".
И раз уж речь зашла, эта работка частично вошла в кандидатский диссер Г.Пивоварова, о котором можно было бы сделать небезынтересную записочку в разделе De mortuis veritas.
Но эта работка сама по себе, повторим, никак не тянет на почётное отдельное упоминание, какое сделал Миша -- не зря её пустили в ТМФ.
Так вот. Единственное, что заслуживает такого почётного упоминания, -- это как раз упомянутая свежая работа Наблюдателя и ко.. К ней уже можно подверстывать для пушистости и те кусочки, которые мелькнули в 80-х. Но не наоборот.
Почему докладчик эту свежую работу вообще заметил. Дело в том, что его всегда горячо волновала тема перенормируемости моделек, которые он придумывает. И в прошлом был случай, когда он пару лет приставал с подобным вопросом к кому ни попадя, включая мразь Макака (что отражено в разделах благодарностей в предшествующих публикациях), но всё-таки в конце концов был вынужден обратиться за помощью к Наблюдателю, даже потратившись из гранта на не самый дешевый авиабилет (потому что всё случилось at short notice, а очень хотелось), -- и проблемка была решена за три дня, из которых два с половиной ушло на подготовку интеллигибельных вводных для Наблюдателя. И радушный хозяин был так доволен, что эхо дошло до Москвы в виде несколько (скромно оговоримся) преувеличенной оценки места Наблюдателя среди экспертов по КТП. И прозвучало это эхо в общей комнате теоротдела в самый удачный момент, когда Наблюдатель угощал чаем будущего издателя для будущего "выбора покупателей", и тот проникался атмосферой теоротдела, сидя на легендарном зелёном диване.
Дальше у нас тут идёт объяснение места "формализма MS4" in the grand scheme of things. Кому-то из афисьёнадос придётся пропускать абракадабру.
***
Итак, есть фундаментальный рецепт R-операции Боголюбова (это НН, в тени которого мы тут). Рецепт (если говорить о том, что сделал именно НН) расщепляется на две, грубо говоря, формулы.
Первая -- вот она, из канонической книжки:
Это на самом деле некая формализация условий причинности Штюкельберга-Боголюбова. Точнее, барона Эрнста Карла Герлаха Штюкельберга фон Брайденбаха цу Бранденштайн унд Мелсбах -- и Николая Николаевича нашего православного Боголюбова.
Но прицепляем мы НН в хвост к барону не за силу позиции, как Ц в БПХЦ, а за дело: сам фон барон довести до ума (до удобной формулы) своё наблюдение не сумел, зато НН проявил не-нормальную зоркость насчёт его идей.
Впрочем, и НН не сразу сумел справиться с формальным выражением причинности, во всяком случае не в первом письмеце 1952 г.
Видно, как в формуле к наивным Т-произведениям (они стоят в первой строчке справа от знака равенства) присовокупляется целая охапка т.наз. контрчленов, обозначенных Лямбдами.
От наивности рождаются пресловутые УФ расходимости, которых пугаются физики с их навязчивой манерой выдумывать особый физический смысл для каждой закорючки (хотя чаще полезней подучить математики да почитать философии с историей науки).
А контрчлены -- это взрослое средство от них.
Пресловутый О.И.Завьялов в 1994 году, на первой конференции из той серии, в которую входит и НН-2019, пускал сопли о величии НН, воркуя именно об этой формуле, склоняя "обобщённые функции" и всхлипывая, что (емнип; проверять сейчас недосуг, но мы видели много подобного) что R-операция -- важнейший результат квантовой теории поля. Но О.И.З. в отношении обобщённых функций -- эффективный idiota, всего лишь слышавший звон. Поэтому он не понимал, что на самом деле в этой формуле уже сделан шаг от обобщённых функций. Впрочем, если не забывать об этом, то она способна служить удобным оселком: если какая-то нестандартно сформулированная "схема вычитания УФ расходимостей" может быть приведена к такому виду, то, значит, схема в главном правильная.
***
Прозвучали слова "схема вычитания ультрафиолетовых расходимостей" или, короче, "схема УФ вычитаний" или даже просто "схема". Это любой рецепт, который берёт наивные выражения (обычно интегралы) и что-то с ними делает, чтобы они стали конечными (обычно это какие-то "вычитания").
Разные "схемы" отталкиваются от разных представлений для величин, к которым они применяются, -- импульсное представление или параметрическое и т.п.).
Далее, в одних случаях конечность выглядит как абсолютная интегрируемость (L1), в других (как в схеме MS, см. ниже) как утверждение о сокращении каких-нибудь полюсов или больших логарифмов "в пределе снятия регуляризации".
Но для любой такой схемы нужно доказать одновременно две вещи:
1. Конечность (сходимость интегралов и т.п.).
2. Корректность -- согласие с условием причинности в виде, например, (41).
Основной тезис теории УФ перенормировок суммирует опыт доказывания многих разных утверждений этого типа и чем-то похож на тезис Чёрча -- тоже охватывает много разного и делает предсказание для будущих новых схем.
Этот тезис впервые возник в виде теоремы Боголюбова-Парасюка-Хеппа (см. ниже).
Первая часть тезиса -- это утверждение о возможности одновременно добиться свойств 1. и 2.
Вторая часть -- что разные схемы вычитаний, которые обеспечивают 1. и 2., "физически эквивалентны", т.е. могут обеспечить численно эквивалентные результаты для величин, измеряемых на эксперименте, после конечного подкручивания параметров, фигурирующих в лагранжиане взаимодействия (ренормгруппа -- это несколько мистифицированное, в том числе отсылками к статмеханике, выражение этого свойства).
Кто, что, насколько удовлетворительно -- и удовлетворительно для кого или для каких целей -- доказал относительно конкретной схемы или схем -- не всегда легко разобраться.
***
Вторая форма R-операции -- это собственно рецепт (или схема) Боголюбова-Парасюка, для которого пункт 2 (конечность) был правильно доказан другим швейцарцем, Хеппом (по закону прилипания дело на Х остановиться не могло, поэтому получилось БПХЦ/BPHZ).
Схема (или рецепт) Боголюбова-Парасюка формулируется в параметрическом (швингеровском) представлении и в свою очередь допускает вариации: "вычитания на массовой поверхности", "вычитания при фиксированном импульсе" и др.
Далее, могут говорить не "схема БП", а "R-операция БП". А могут "R-операцией Боголюбова" называть формулу (41).
Короче, нужно проявлять осторожность, рассуждая о "схемах" и "операциях".
Upd 2020-12-19 Ниже наряду со "схемами" используется словцо "формализм". Оно имеет два смысла, которые являются двумя сторонами одной медали. Во-первых, это группа родственных по техническому исполнению "схем". А проявляется это родство в том (и это во-вторых), что используется некий общий способ доказывания свойств 1 (конечность) и 2 (корректность/причинность).
***
В формализме Боголюбова-Парасюка след обобщённых функций, ещё видимый в (41), окончательно дезодорирован, остались только пресловутые вычитания, для описания структуры которых громоздятся нелюбимые студентами "трёхточечные произведения" (нелюбимые, потому что когда их -- не выводят, не объясняют, а именно только -- пытаются описать в стандартном курсе КТП, то сами лекторы понимают предмет разговора только на уровне "слышал звон", а для адекватного изложения темы перенормировок нужен другой курс, КТП-2, налаживать который Наблюдатель должен бы был с середины 90-х, но был лишён такой возможности Бандой на корню, начиная с "лишения имени" в первых Актах Грабежа.
***
Особого упоминания требует схема MS, самая популярная у вычислителей петлевых интегралов. Она формулируется в предположениях, что
(1) ко всем расходящимся интегралам применена размерная регуляризация, сводящаяся, грубо говоря, к замене всюду физической размерности пространства-времени, равной 4, на символический параметр D,
(2) после этого интегралы будут разложимы в ряд Лорана по D-4,
(3) вычитания можно формулировать в терминах вычитания таких полюсов.
Это очень странная формулировка -- как-то слишком многих она требует специфических предварительных сведений даже для простой формулировки рецепта. И она очень плохо вписывается в формализм БПХЦ.
Зато её очень легко выучить для манипулятивных целей, так что получается простор для комбинаторного интеллектуса -- и, следовательно, простор для вычисления много чего в аналитическом виде.
Короче, к ней все давно привыкли, а задумываться нормальные не любят -- они любят трясти.
Вот ещё один странный пункт, беспокоивший Наблюдателя с самого начала знакомства с этой странной схемой. Структура вычитаний, постулируемая здесь, -- более хитрая, чем в условии (41):
в каждом т.наз. УФ-расходящемся подграфе по версии (41), для которого (41) вводит особый контрчлен, схема MS видит дополнительные подграфы, для которых она тоже требует вводить контрчлены.
Так что каждый контрчлен в смысле (41) становится некой комбинацией контрчленов в смысле схемы MS.
И чистыми полюсами по D-4 должны быть контрчлены в смысле MS, а не в смысле (41).
Дальше ещё страньше. Контрчлены в смысле (41) должны быть полиномами по внешним импульсам подграфа (другая форма утверждения, что они должны быть "квази-локальными" в координатном представлении). Схема MS это обеспечивает -- хотя формулируется в терминах каких-то полюсов от какого-то искусственного параметра D. То есть полиномиальность по внешним импульсам (сугубо физическое требование, связанное с причинностью) оказывается в схеме MS следствием требования вычитать полюса в какой-то вспомогательной регуляризации.
И совсем неожиданно то, что схема MS обеспечивает и более сильное свойство: её контрчлены (но не контрчлены в формуле (41)) оказываются полиномами не только внешних импульсов, но и масс. Это дико удобно в вычислениях. Например, R*-операция, ставшая предметом Акта III Грабежа, критическим образом основана на этом свойстве.
Но непонятки остаются.
Когда-то в параметрическом представлении определялись семейства вычитательных схем, обладающих такими же свойствами: пользоваться такими схемами совершенно невозможно, а параметрическое представление не менее искусственно, чем размерная регуляризация.
Физически естественными являются координатное и импульсное представления.
Короче, схема MS -- это какой-то мессидж от Природы Вещей. Но какой?
Тем временем угрюмый мейнстрим (завьяловы-циммерманны-...) видел ситуацию так, что схему MS просто надо как-то прибить к шаблонам БПХ(Ц), потому что к этим шаблонам намертво прибиты их эго (Циммерманн придумал лесную формулу своего имени, чтобы окончательно искоренить все рекурсии из доказательств, а Завьялов придумал её на 5 лет раньше и написал книжку, в которой претензий больше, чем смыслов).
Наблюдатель в 1980-х гг. увидел ситуацию совершенно по-другому, из чего в конечном счёте и родилась MS4.
***
Формализм MS4 стоит не в ряду вариаций на тему БПХ(Ц), а рядом -- это чистая автономная тотальная альтернатива всей схеме БПХ(Ц), пересекающаяся с последней только на самом фундаментальном уровне условий причинности вроде формулы (41).
Она разрешает непонятки насчёт схемы MS, показывая откуда и как получаются все её особенности и свойства прямо в импульсном (физическом) представлении. И -- как не пропадает хороший удар в бильярде -- даёт, судя по всем признакам (см. обсуждение на НН-2019), качественно более мощные вычислительные алгоритмы, например, для ренормгрупповых вычислений, да и для численных расчётов вроде g-2.
Правда, не получится так же просто научиться работать с ней, как с размерной регуляризацией. Например, она сделает собственно вычислительную часть в Акте I Грабежа существенно проще, но научить соответствующим рецептам даже конвульсивного Макака, не говоря про тупого Чучелка, было бы проблемой. (Впрочем, их помощь была бы и не нужна: Наблюдатель и так сделал тогда 2/3 расчётной части, и такого объёма трудозатрат хватило бы с запасом, даже если расчётная часть в схеме MS4 всего лишь вдвое меньше, чем в схеме MS.)
Корни формализма MS4 -- в теории асимптотической операции, болезненная история которой -- отдельная тема. Здесь только вкратце.
Сначала Наблюдатель задумался об общей проблеме разложения пертурбативных интегралов по параметрам -- и, всматриваясь во всё семейство частных задач, абстрагируясь от второстепенных вещей и выделяя общее, додумался до задачи асимптотического разложения произведений сингулярных функций по параметрам в смысле теории обобщённых функций. В итоге получились формулы, названные "асимптотическая операция для произведений сингулярных функций".
Поскольку размерная регуляризация была уже рядом на всё готовая, то соблазн был слишком велик. И там был довольно быстро выведен пучок прорывных вычислительных рецептов (далеко не оптимальных, как теперь ясно, но на тот момент революционных -- тех самых, которые М.Ш. собрал под шапкой "многопетлевые вычисления") -- от R*-операции (предмет Акта III Грабежа) до операторного разложения с безмассовыми полями (один из пунктов списка "решений") и до общих разложений в произвольных евклидовых асимптотических режимах (которые мощно сыграли, например, в расчётах для распадов b-кварков).
Сочетание асимптотической операции с размерной регуляризацией осознавалось как некая профанация. С самого начала было ощущение (дозревшее до чёткого осознания), что весь этот формализм может и должен быть приведён к автономному, чисто 4-мерному виду без каких-либо наложенных извне регуляризаций.
К концу 1988 года такой формализм был полностью построен (и зафиксирован в текстах; с точностью до форматирования вот они; см. ниже о свидетельстве из коммента).
Там в формулах асимптотической операции фигурировали специфические коэффициентики, роль которых была в том, чтобы подкручивать формальное (обычно тейлоровское) разложение так, чтобы результат был корректным асимптотическим разложением в смысле обобщённых функций.
Эти коэффициентики представляли собой как-бы-интегралы, которые соответствовали петлевым интегралам, подобным тем, которые возникали в обычных схемах формализма БПХ/MS при сжатии УФ подграфов в точку, но эти были конечными за счёт вычитания необычных членов (уже в 2019 г. названных "теневыми"). И вычитания не были похожи на то, что делалось в БПХЦ: в новой конструкции требовалось вычислить асимптотическое разложение подынтегральынх выражений в смысле обобщенных функций при больших импульсах интегрирования, а в этом разложении снова появлялись подобные же, только более простые коэффициентики, так что получалась плотная компактная рекурсия (что прямо противоположно упорному уходу ото всех рекурсий в трёхточечных произведениях у Степанова-Завьялова и в эквивалентной им древесной формуле Циммерманна).
Рассматривание этих как-бы-интегралов позволило понять, что при формальном введении туда размерной регуляризации "теневые" члены частично обнулялись, оставляя за собой структуру, в точности соответствующую УФ R-операции в схеме MS, но с чуть более общими контрчленами. Стало понятно, что вычитание этих странных "теневых" членов соответствуют некоторому новому, причём физически корректному способу делать УФ вычитания. Этот новый способ не требовал размерной регуляризации, но давал ответы, практически эквивалентные схеме MS (например, в отношении полиномиальности по массам и проч.) и органично стыковывался со всякими операторными разложениями, потому что там и там использовался один и тот же аппарат разложений в смысле обобщенных функций -- аппарат асимптотической операции.
Этот новый способ делать УФ перенормировку был назван схемой GMS (от generalized MS; сейчас ясно, что правильно говорить "формализм", а не "схема", см. тезисы в начале записи).
На этом развитие новой теории прервалось на ... 30 лет.
Об этой печали отдельно***********.
***
Итак, через 30 лет после прерывания процесса, в конце 2010-х гг. изучение формализма GMS было возобновлено в учебных целях с намерением посмотреть, как бы выглядели в практических вычислениях получающиеся в ней интегралы. И попёрло.
Во-первых, при рассмотрении конкретного примерчика было сделано наблюдение, из которого выросло т.наз. правило конгруэнтности для вычитающих операторов, обозначаемых там малыми r (все такие штучки нужно смотреть в письме).
Именно правило конгруэнтности является решающим уточнением формализма GMS, в результате которого получается её окончательный вариант -- формализм MS4.
Во-вторых, обнаружилась выдающаяся роль экспоненциальных обрезаний (их раньше в другом контексте использовал, как случайно обнаружилось, некто Полчински, прекрасный, кстати, лектор). При переходе к швингеровскому представлению они превращаются в простой сдвиг границ интегрирования. Это резко упрощает переход к параметрическим представлениям, что важно для самых разных вычислений: это означает, что интегралы, перенормированные в формализме MS4, всегда можно алгоритмически привести к параметрическому представлению, хотя общий явный вид ответа (типа, как в обычном альфа-представлении с двумя полиномами Симанзика в канонической книжке) пока неизвестен. Но и особой нужды в нём нет, это вопрос только алгоритмического удобства, ведь в отличие от формализма БПХ здесь параметрическое представление никакой теоретической роли не играет и вводится исключительно для расчётных целей, после утрясания всех теоретических вопросов в импульсном представлении.
В-третьих, для формализма MS4 был найден прямой способ вывода уравнения Каллана-Симанзика. Это был пункт принципиальный, ведь обычно эти уравнения выводятся через посредство бесконечных констант перенормировки (пресловутые Z, не путать с Zavyalov и Zimmermann). Здесь же никаких таких бесконечных констант нет в принципе: в схеме MS4 не делается даже шага того типа, который приводит к формуле (41), все манипуляции проводятся без развала участвующих обобщённых функций на регуляризованную основную часть и бесконечные добавки, да и регуляризаций никаких в обычном смысле не вводится.
Полным сюрпризом (отражённым в названии статьи: "Finite Z-less ...") оказались явные конечные, совершенно небывалые формулы для ренормгрупповых функций -- коэффициентов уравнений ренормгруппы (Каллана-Симанзика). Эти формулы выражены через т.наз. B-операторы (B от beauty). Они представляют собой предельный мыслимый случай упрощения, обычно достигаемого посредством всяких R*-операций. Можно ожидать, что чисто вычислительная часть в задачах типа вычисления 5-петлевой бета-функции в КХД будет менее затратной по скорости и памяти буквально на порядки величины по сравнению со схемой MS. Наблюдатель достаточно много собак съел на таких расчётах, чтобы делать подобные предсказания. Хотя, конечно, в таком новом (novel) формализме время от времени выскакивают какие-то заморочки, заставляющие вздрагивать, но пока все они благополучно, и даже красиво разрешались.
Ещё пример. Часть материала этой работы вошла в диплом, который недавно упоминался. В дипломе, среди прочего, было полностью расписано и вычисление треугольной аномалии в формализме MS4 (4 страницы крупным шрифтом через 2 интервала). Рецензент в отзыве на диплом нашёл, что это "вычисление весьма примечательно", потому что оно "является проблемой для размерной регуляризации". Чтобы оценить эту констатацию, достаточно попытаться расписать это вычисление в размерной регуляризации так же явно, как это сделано в дипломе; соответствующий сценарий описан, например, тут.
----------------------------------------------------
Теперь про 30-летний разрыв непрерывности.
К концу 1988 года формализм был полностью построен и зафиксирован в публикабельных текстах.
Варианты, выложенные в arXiv, отличаются от версии 1988 г. только форматом: тогда было 6 статей в формате ТМФ, и набиты они были в ChiWriter'е; стоящий первым по алфавиту в списке авторов А.Н.Кузнецов, тоже изрядно помудохавшийся с этими текстами (и в плане общения с ТМФ, и в плане презентации на знаковой конференции (RG'91) в отсутствие Наблюдателя, и в плане конвертации в LaTeX, и в плане смены темы кандидатской), всё это подтвердит.
Upd 2020-12-22 Подтверждение пришло в комменте.
Чудовищное количество усилий и нервов, потраченных на попытки преодоления блокады, устроенной этим текстам (а также параллельным текстам, где все рассуждения были гораздо короче проведены с размерной регуляризацией) Завьяловым, мразью Смирновым (его фамилия в роли рецензента в ТМФ называлась явно), мразью Макаком (который порецензировал для Nuclear Physics B) и всем, кто принимал их сторону -- сторону "признанных экспертов".
Если бы публикация не была тупо, нагло и наглухо заблокирована Завьяловым и мразью Смирновым (который, как мы помним, был тогда прямо заинтересован в таком блокировании, потому что занимался переписыванием на себя основных результатов), то на волне эйфории этот результат был бы получен году в 90-м, и история многопетлевых вычислений (да и размерной регуляризации) пошла бы сильно по-другому.
who is Наблюдатель (2) результаты-"открытия"
Четвёрка в иероглифе MS4, который стоит в заголовке и других местах, должна в идеале оформляться как верхний индекс -- как показано красным на картинке, приводимой в записи где-то дальше.
Речь об этой публикации, ей предшествовало предварительная презентация на НН-2019.
***
Сначала тезисы, потом рассказ.
• Формализм MS4 -- это чистая полная независимая альтернатива формализму БПХЦ/BPHZ. Оба предназначены для решения архифундаментальной задачи -- т.наз. ультрафиолетовых перенормировок в пертурбативной квантовой теории поля. Два формализма пересекаются только на самом фундаментальном уровне условий причинности Штюкельберга-Боголюбова, откуда они расходятся в разные стороны (в одном важном техническом отношении -- в прямо противоположные).
• Формализм MS4 полностью формулируется в физическом импульсном пространстве целой размерности без использования вспомогательных регуляризаций (вроде размерной) сверх обрезаний при больших импульсах, которые всегда явно или неявно используются в определении интегралов по бесконечным областям.
• Формализм MS4 полностью органичен математическим структурам петлевых интегралов, так что его проекция на прикладные задачи строго шире, чем у формализма БПХЦ. Но для его эффективного применения необходимо владеть техникой теории асимптотической операции, являющейся развитием методов теории обобщённых функций.
• Формализм MS4 допускает детерминированный (выполняемый алгоритмически по известным правилам) переход в интегралах, перенормированных посредством MS4, к параметрическому (швингеровскому) представлению для целей численных расчётов и т.п. Типичный конечный результат такого перехода -- интеграл по гиперкубу от рациональной абсолютно интегрируемой функции. В отличие от формализма БПХЦ, здесь этот переход имеет лишь вычислительное, но не теоретическое значение, поскольку все теоретические вопросы улаживаются ещё в импульсном представлении.
• Формализм MS4 допускает прямой вывод дифференциальных уравнений ренормгруппы (Каллана-Симанзика), в котором нигде не используются бесконечные перенормировочные факторы (Z).
При этом получаются принципиально новые явные конечные интегральные формулы для вкладов в ренормгрупповые функции в любом порядке теории возмущений (т.наз. B-оператор). Эти формулы естественно интерпретируются как предельный случай R*-операции, доставляющий максимально возможное упрощение соответствующих петлевых интегралов, соответствующее занулению всех масс и внешних импульсов. Роль остаточного размерного параметра переходит к обрезающей экспоненте, а вычисления в итоге (после перехода к параметрическому представлению) сводятся к интегралам по гиперкубам описанного выше типа, но без размерных параметров.
• Формализм MS4 допускает перенос (с некоторыми модификациями) практически любых алгоритмов типа IBP. При этом в выражениях отсутствует зависимость от D#4, что ведёт к серьёзным вычислительным упрощениям. Для вычисления отдельных (неприводимых, базовых, "master") интегралов можно использовать любые методы, в том числе аналитическую и размерную регуляризации, причём метод можно выбирать под конкретный интеграл.
• Формализм MS4 принципиально основан на систематическом использовании новых методов теории обобщённых функций (специальные вычитающие операторы; композитная R-операция и As-операция для произведений сингулярных функций; ...). Эти методы были предложены и развиты в основном Наблюдателем до 1989 г. при локальном участии учеников, из которых следует особо назвать А.Н.Кузнецова.
Следующий пункт заслуживает быть выделенным особо:
Вывод явных выражений для ренормгрупповых функций через B-оператор -- это первый пример того, как формализм обобщённых функций может применяться в сложных конструкциях (композитная R-операция и т.п.) и в соответствующих манипуляциях квази-алгебраического типа для вывода принципиально новых результатов. Можно сказать, что здесь обобщённо-функциональный инструментарий, развитый в теории асимптотической операции, используется как вычислительный аппарат (примерно как комплексные числа используются для решения алгебраических уравнений высоких степеней) -- в отличие от традиционных приложений теории обобщённых функций, где их использование является, скорее, дескриптивным.
Теперь в тему наукоцида:
• Формализм MS4 является итоговой формой формализма GMS, работа над которым прервалась на рубеже 80-90-х гг, сделавшись невозможной в результате чудовищного многолетнего грабежа автора теории асимптотической операции "командой", образовавшейся под сенью Обезъянка и при попустительстве э-Вити, изначально для организации "академического лифта" для любимого Обезъянкина Чучелка ( тупицы из тупиц). Затем "команда" зажила уже своей жизнью. Грабёж сопровождался форменной "академической" травлей (включая эффективное использование механизмов анонимного рецензирования) автора теории асимптотической операции.
• Молодые люди, благодаря чьему любопытству и энтузиазму работа после тридцатилетнего перерыва была-таки возобновлена и привела к публикации формализма MS4 и открытию B-оператора [>> публикация], законно получили на свой счёт звёздный научный результат.
• Нет никаких причин сомневаться в том, что если бы работа над теорией асимптотической операции проходила в 80-х гг. в нормальной научной обстановке, то формализм MS4 и B-операторы были бы найдены ещё тогда. И ландшафт многопетлевых вычислений к настоящему времени был бы совершенно другим -- границы возможного были бы отодвинуты дальше, чем сейчас.
• Прямую ответственность за всё это чудовищное "руководство наукой" несут академические бандиты -- Обезъянко, собранная им банда соратников и учеников ( мразь Макако, э-Витя, Крыско, глюкантор Фаустов, Пугалко ...), а также приползшие на запах жареного шакалы (О.И.Завьялов, мразь Смирнов-ст., Johan Kuhn, Martin Beneke, ...).
Конец тезисов.
********
Теперь рассказ.
Речь пойдёт об открытии -- настоящем, совершенно не рядовом теоретическом открытии в самой сердцевине коренного формализма квантовой теории поля. Открытие представлено в этом письме, а предварительное сообщение было сделано на НН-2019.
Данную выше самооценку работы следует оценивать на фоне сверхнаглого самопарадирования в публичном дискурсе бандитов вроде Пугалка, который сам себя поставил на самое почётное место в программе НН-2019, а мразь Макака следом, проложив для блезиру нейтральным докладом >> как бандиты организуют ....
Упомянутое сообщение от Наблюдателя и ко. нашло себе местечко в программе не без удачи и не без помощи из недр оргкомитета, в самом конце самой неприоритетной из трёх вечерних секций неглавного первого дня [см. левый из двух зелёненьких квадратиков в таблице].
Это зримое -- в ряду с дверями -- проявление наукоцида, который Банда (ср. бинарное фото) безнаказанно творит уже сорок лет.
***
Начнём с обещанной картинки. На конференции про 50 лет этого Института теоретическую физику представлял М.Шапошников. Он, конечно, оголетый космоложец (почему бандиты-организаторы и доверили ему эту роль). Но удалился он из Института достаточно давно, чтобы не замазаться с Бандой и Пугалком.
Интересно тут что. Стоит бандитам выставить незамазанного эксперта, как сразу лезут неприятные для Банды сюрпризы, ср. сюрприз от Гриши Корчемского.
И вот в самом начале презентации М.Ш. показывает слайд, в котором названы три теоретические области, которыми прославился Институт (красная пометка наша):
Первый пункт -- это теоротдельская космолажа ( Кузя-М.Ш.- Капелько- Пугалко-...).
Третий -- это прогремевшие объяснением проблемы солнечных нейтрино внетеоротдельские С.Михеев и А.Смирнов.
Нас интересует средний пункт. Он состоит из двух строк. Первая строка -- "многопетлевые вычисления etc". Это формулировка, которая охватывает все те замечательные результаты, которые стали возможны в 80-х гг. благодаря теоретическим изобретениям в основном Наблюдателя [>> русская "многопетлевая революция"].
Надо заметить, что там отнюдь не только "вычисления" и "вычислительные методы" -- но и, например, теоретический прорыв с физически корректным операторным разложением для теорий с безмассовыми частицами, см.
Но космоложцы во главе с Кузей, мастурбировавшие на свои пупки, узревая там начало Вселенной и "проблему" её барионной асимметрии, смотрели сверху вниз на эту деятельность ("изучение ножек кузнечиков" (с) Кузя), где действительно бросался в глаза толстый вычислительный компонент [>> хумбаба "вычислитель"].
***
Теперь вторая строка: теория перенормировок. Два года назад этот довесок выглядел бы совершенно непонятно на фоне остальных пунктов -- ведь среди работ, обозначенных как "многопетлевые вычисления", нет ничего, что заслуживало бы такого особого упоминания.
Там, правда, были некоторые, скорее вспомогательные рассуждения в рамках теории асимптотической операции, например, эта работка.Публикация работки в ТМФ -- это была кость, брошенная Бандой Наблюдателю на фоне мегаотлупа основных работ по теории асимптотической операции.
Кстати, мразь Макако тупо переписал эту работку -- парадигматический, можно сказать, образчик его "творчества".
И раз уж речь зашла, эта работка частично вошла в кандидатский диссер Г.Пивоварова, о котором можно было бы сделать небезынтересную записочку в разделе De mortuis veritas.
Но эта работка сама по себе, повторим, никак не тянет на почётное отдельное упоминание, какое сделал Миша -- не зря её пустили в ТМФ.
Так вот. Единственное, что заслуживает такого почётного упоминания, -- это как раз упомянутая свежая работа Наблюдателя и ко.. К ней уже можно подверстывать для пушистости и те кусочки, которые мелькнули в 80-х. Но не наоборот.
Почему докладчик эту свежую работу вообще заметил. Дело в том, что его всегда горячо волновала тема перенормируемости моделек, которые он придумывает. И в прошлом был случай, когда он пару лет приставал с подобным вопросом к кому ни попадя, включая мразь Макака (что отражено в разделах благодарностей в предшествующих публикациях), но всё-таки в конце концов был вынужден обратиться за помощью к Наблюдателю, даже потратившись из гранта на не самый дешевый авиабилет (потому что всё случилось at short notice, а очень хотелось), -- и проблемка была решена за три дня, из которых два с половиной ушло на подготовку интеллигибельных вводных для Наблюдателя. И радушный хозяин был так доволен, что эхо дошло до Москвы в виде несколько (скромно оговоримся) преувеличенной оценки места Наблюдателя среди экспертов по КТП. И прозвучало это эхо в общей комнате теоротдела в самый удачный момент, когда Наблюдатель угощал чаем будущего издателя для будущего "выбора покупателей", и тот проникался атмосферой теоротдела, сидя на легендарном зелёном диване.
Дальше у нас тут идёт объяснение места "формализма MS4" in the grand scheme of things. Кому-то из афисьёнадос придётся пропускать абракадабру.
***
Итак, есть фундаментальный рецепт R-операции Боголюбова (это НН, в тени которого мы тут). Рецепт (если говорить о том, что сделал именно НН) расщепляется на две, грубо говоря, формулы.
Первая -- вот она, из канонической книжки:
Это на самом деле некая формализация условий причинности Штюкельберга-Боголюбова. Точнее, барона Эрнста Карла Герлаха Штюкельберга фон Брайденбаха цу Бранденштайн унд Мелсбах -- и Николая Николаевича нашего православного Боголюбова.
Но прицепляем мы НН в хвост к барону не за силу позиции, как Ц в БПХЦ, а за дело: сам фон барон довести до ума (до удобной формулы) своё наблюдение не сумел, зато НН проявил не-нормальную зоркость насчёт его идей.
Впрочем, и НН не сразу сумел справиться с формальным выражением причинности, во всяком случае не в первом письмеце 1952 г.
Видно, как в формуле к наивным Т-произведениям (они стоят в первой строчке справа от знака равенства) присовокупляется целая охапка т.наз. контрчленов, обозначенных Лямбдами.
От наивности рождаются пресловутые УФ расходимости, которых пугаются физики с их навязчивой манерой выдумывать особый физический смысл для каждой закорючки (хотя чаще полезней подучить математики да почитать философии с историей науки).
А контрчлены -- это взрослое средство от них.
Пресловутый О.И.Завьялов в 1994 году, на первой конференции из той серии, в которую входит и НН-2019, пускал сопли о величии НН, воркуя именно об этой формуле, склоняя "обобщённые функции" и всхлипывая, что (емнип; проверять сейчас недосуг, но мы видели много подобного) что R-операция -- важнейший результат квантовой теории поля. Но О.И.З. в отношении обобщённых функций -- эффективный idiota, всего лишь слышавший звон. Поэтому он не понимал, что на самом деле в этой формуле уже сделан шаг от обобщённых функций. Впрочем, если не забывать об этом, то она способна служить удобным оселком: если какая-то нестандартно сформулированная "схема вычитания УФ расходимостей" может быть приведена к такому виду, то, значит, схема в главном правильная.
***
Прозвучали слова "схема вычитания ультрафиолетовых расходимостей" или, короче, "схема УФ вычитаний" или даже просто "схема". Это любой рецепт, который берёт наивные выражения (обычно интегралы) и что-то с ними делает, чтобы они стали конечными (обычно это какие-то "вычитания").
Разные "схемы" отталкиваются от разных представлений для величин, к которым они применяются, -- импульсное представление или параметрическое и т.п.).
Далее, в одних случаях конечность выглядит как абсолютная интегрируемость (L1), в других (как в схеме MS, см. ниже) как утверждение о сокращении каких-нибудь полюсов или больших логарифмов "в пределе снятия регуляризации".
Но для любой такой схемы нужно доказать одновременно две вещи:
1. Конечность (сходимость интегралов и т.п.).
2. Корректность -- согласие с условием причинности в виде, например, (41).
Основной тезис теории УФ перенормировок суммирует опыт доказывания многих разных утверждений этого типа и чем-то похож на тезис Чёрча -- тоже охватывает много разного и делает предсказание для будущих новых схем.
Этот тезис впервые возник в виде теоремы Боголюбова-Парасюка-Хеппа (см. ниже).
Первая часть тезиса -- это утверждение о возможности одновременно добиться свойств 1. и 2.
Вторая часть -- что разные схемы вычитаний, которые обеспечивают 1. и 2., "физически эквивалентны", т.е. могут обеспечить численно эквивалентные результаты для величин, измеряемых на эксперименте, после конечного подкручивания параметров, фигурирующих в лагранжиане взаимодействия (ренормгруппа -- это несколько мистифицированное, в том числе отсылками к статмеханике, выражение этого свойства).
Кто, что, насколько удовлетворительно -- и удовлетворительно для кого или для каких целей -- доказал относительно конкретной схемы или схем -- не всегда легко разобраться.
***
Вторая форма R-операции -- это собственно рецепт (или схема) Боголюбова-Парасюка, для которого пункт 2 (конечность) был правильно доказан другим швейцарцем, Хеппом (по закону прилипания дело на Х остановиться не могло, поэтому получилось БПХЦ/BPHZ).
Схема (или рецепт) Боголюбова-Парасюка формулируется в параметрическом (швингеровском) представлении и в свою очередь допускает вариации: "вычитания на массовой поверхности", "вычитания при фиксированном импульсе" и др.
Далее, могут говорить не "схема БП", а "R-операция БП". А могут "R-операцией Боголюбова" называть формулу (41).
Короче, нужно проявлять осторожность, рассуждая о "схемах" и "операциях".
Upd 2020-12-19 Ниже наряду со "схемами" используется словцо "формализм". Оно имеет два смысла, которые являются двумя сторонами одной медали. Во-первых, это группа родственных по техническому исполнению "схем". А проявляется это родство в том (и это во-вторых), что используется некий общий способ доказывания свойств 1 (конечность) и 2 (корректность/причинность).
***
В формализме Боголюбова-Парасюка след обобщённых функций, ещё видимый в (41), окончательно дезодорирован, остались только пресловутые вычитания, для описания структуры которых громоздятся нелюбимые студентами "трёхточечные произведения" (нелюбимые, потому что когда их -- не выводят, не объясняют, а именно только -- пытаются описать в стандартном курсе КТП, то сами лекторы понимают предмет разговора только на уровне "слышал звон", а для адекватного изложения темы перенормировок нужен другой курс, КТП-2, налаживать который Наблюдатель должен бы был с середины 90-х, но был лишён такой возможности Бандой на корню, начиная с "лишения имени" в первых Актах Грабежа.
***
Особого упоминания требует схема MS, самая популярная у вычислителей петлевых интегралов. Она формулируется в предположениях, что
(1) ко всем расходящимся интегралам применена размерная регуляризация, сводящаяся, грубо говоря, к замене всюду физической размерности пространства-времени, равной 4, на символический параметр D,
(2) после этого интегралы будут разложимы в ряд Лорана по D-4,
(3) вычитания можно формулировать в терминах вычитания таких полюсов.
Это очень странная формулировка -- как-то слишком многих она требует специфических предварительных сведений даже для простой формулировки рецепта. И она очень плохо вписывается в формализм БПХЦ.
Зато её очень легко выучить для манипулятивных целей, так что получается простор для комбинаторного интеллектуса -- и, следовательно, простор для вычисления много чего в аналитическом виде.
Короче, к ней все давно привыкли, а задумываться нормальные не любят -- они любят трясти.
Вот ещё один странный пункт, беспокоивший Наблюдателя с самого начала знакомства с этой странной схемой. Структура вычитаний, постулируемая здесь, -- более хитрая, чем в условии (41):
в каждом т.наз. УФ-расходящемся подграфе по версии (41), для которого (41) вводит особый контрчлен, схема MS видит дополнительные подграфы, для которых она тоже требует вводить контрчлены.
Так что каждый контрчлен в смысле (41) становится некой комбинацией контрчленов в смысле схемы MS.
И чистыми полюсами по D-4 должны быть контрчлены в смысле MS, а не в смысле (41).
Дальше ещё страньше. Контрчлены в смысле (41) должны быть полиномами по внешним импульсам подграфа (другая форма утверждения, что они должны быть "квази-локальными" в координатном представлении). Схема MS это обеспечивает -- хотя формулируется в терминах каких-то полюсов от какого-то искусственного параметра D. То есть полиномиальность по внешним импульсам (сугубо физическое требование, связанное с причинностью) оказывается в схеме MS следствием требования вычитать полюса в какой-то вспомогательной регуляризации.
И совсем неожиданно то, что схема MS обеспечивает и более сильное свойство: её контрчлены (но не контрчлены в формуле (41)) оказываются полиномами не только внешних импульсов, но и масс. Это дико удобно в вычислениях. Например, R*-операция, ставшая предметом Акта III Грабежа, критическим образом основана на этом свойстве.
Но непонятки остаются.
Когда-то в параметрическом представлении определялись семейства вычитательных схем, обладающих такими же свойствами: пользоваться такими схемами совершенно невозможно, а параметрическое представление не менее искусственно, чем размерная регуляризация.
Физически естественными являются координатное и импульсное представления.
Короче, схема MS -- это какой-то мессидж от Природы Вещей. Но какой?
Тем временем угрюмый мейнстрим (завьяловы-циммерманны-...) видел ситуацию так, что схему MS просто надо как-то прибить к шаблонам БПХ(Ц), потому что к этим шаблонам намертво прибиты их эго (Циммерманн придумал лесную формулу своего имени, чтобы окончательно искоренить все рекурсии из доказательств, а Завьялов придумал её на 5 лет раньше и написал книжку, в которой претензий больше, чем смыслов).
Наблюдатель в 1980-х гг. увидел ситуацию совершенно по-другому, из чего в конечном счёте и родилась MS4.
***
Формализм MS4 стоит не в ряду вариаций на тему БПХ(Ц), а рядом -- это чистая автономная тотальная альтернатива всей схеме БПХ(Ц), пересекающаяся с последней только на самом фундаментальном уровне условий причинности вроде формулы (41).
Она разрешает непонятки насчёт схемы MS, показывая откуда и как получаются все её особенности и свойства прямо в импульсном (физическом) представлении. И -- как не пропадает хороший удар в бильярде -- даёт, судя по всем признакам (см. обсуждение на НН-2019), качественно более мощные вычислительные алгоритмы, например, для ренормгрупповых вычислений, да и для численных расчётов вроде g-2.
Правда, не получится так же просто научиться работать с ней, как с размерной регуляризацией. Например, она сделает собственно вычислительную часть в Акте I Грабежа существенно проще, но научить соответствующим рецептам даже конвульсивного Макака, не говоря про тупого Чучелка, было бы проблемой. (Впрочем, их помощь была бы и не нужна: Наблюдатель и так сделал тогда 2/3 расчётной части, и такого объёма трудозатрат хватило бы с запасом, даже если расчётная часть в схеме MS4 всего лишь вдвое меньше, чем в схеме MS.)
Корни формализма MS4 -- в теории асимптотической операции, болезненная история которой -- отдельная тема. Здесь только вкратце.
Сначала Наблюдатель задумался об общей проблеме разложения пертурбативных интегралов по параметрам -- и, всматриваясь во всё семейство частных задач, абстрагируясь от второстепенных вещей и выделяя общее, додумался до задачи асимптотического разложения произведений сингулярных функций по параметрам в смысле теории обобщённых функций. В итоге получились формулы, названные "асимптотическая операция для произведений сингулярных функций".
Поскольку размерная регуляризация была уже рядом на всё готовая, то соблазн был слишком велик. И там был довольно быстро выведен пучок прорывных вычислительных рецептов (далеко не оптимальных, как теперь ясно, но на тот момент революционных -- тех самых, которые М.Ш. собрал под шапкой "многопетлевые вычисления") -- от R*-операции (предмет Акта III Грабежа) до операторного разложения с безмассовыми полями (один из пунктов списка "решений") и до общих разложений в произвольных евклидовых асимптотических режимах (которые мощно сыграли, например, в расчётах для распадов b-кварков).
Сочетание асимптотической операции с размерной регуляризацией осознавалось как некая профанация. С самого начала было ощущение (дозревшее до чёткого осознания), что весь этот формализм может и должен быть приведён к автономному, чисто 4-мерному виду без каких-либо наложенных извне регуляризаций.
К концу 1988 года такой формализм был полностью построен (и зафиксирован в текстах; с точностью до форматирования вот они; см. ниже о свидетельстве из коммента).
Там в формулах асимптотической операции фигурировали специфические коэффициентики, роль которых была в том, чтобы подкручивать формальное (обычно тейлоровское) разложение так, чтобы результат был корректным асимптотическим разложением в смысле обобщённых функций.
Эти коэффициентики представляли собой как-бы-интегралы, которые соответствовали петлевым интегралам, подобным тем, которые возникали в обычных схемах формализма БПХ/MS при сжатии УФ подграфов в точку, но эти были конечными за счёт вычитания необычных членов (уже в 2019 г. названных "теневыми"). И вычитания не были похожи на то, что делалось в БПХЦ: в новой конструкции требовалось вычислить асимптотическое разложение подынтегральынх выражений в смысле обобщенных функций при больших импульсах интегрирования, а в этом разложении снова появлялись подобные же, только более простые коэффициентики, так что получалась плотная компактная рекурсия (что прямо противоположно упорному уходу ото всех рекурсий в трёхточечных произведениях у Степанова-Завьялова и в эквивалентной им древесной формуле Циммерманна).
Рассматривание этих как-бы-интегралов позволило понять, что при формальном введении туда размерной регуляризации "теневые" члены частично обнулялись, оставляя за собой структуру, в точности соответствующую УФ R-операции в схеме MS, но с чуть более общими контрчленами. Стало понятно, что вычитание этих странных "теневых" членов соответствуют некоторому новому, причём физически корректному способу делать УФ вычитания. Этот новый способ не требовал размерной регуляризации, но давал ответы, практически эквивалентные схеме MS (например, в отношении полиномиальности по массам и проч.) и органично стыковывался со всякими операторными разложениями, потому что там и там использовался один и тот же аппарат разложений в смысле обобщенных функций -- аппарат асимптотической операции.
Этот новый способ делать УФ перенормировку был назван схемой GMS (от generalized MS; сейчас ясно, что правильно говорить "формализм", а не "схема", см. тезисы в начале записи).
На этом развитие новой теории прервалось на ... 30 лет.
Об этой печали отдельно***********.
***
Итак, через 30 лет после прерывания процесса, в конце 2010-х гг. изучение формализма GMS было возобновлено в учебных целях с намерением посмотреть, как бы выглядели в практических вычислениях получающиеся в ней интегралы. И попёрло.
Во-первых, при рассмотрении конкретного примерчика было сделано наблюдение, из которого выросло т.наз. правило конгруэнтности для вычитающих операторов, обозначаемых там малыми r (все такие штучки нужно смотреть в письме).
Именно правило конгруэнтности является решающим уточнением формализма GMS, в результате которого получается её окончательный вариант -- формализм MS4.
Во-вторых, обнаружилась выдающаяся роль экспоненциальных обрезаний (их раньше в другом контексте использовал, как случайно обнаружилось, некто Полчински, прекрасный, кстати, лектор). При переходе к швингеровскому представлению они превращаются в простой сдвиг границ интегрирования. Это резко упрощает переход к параметрическим представлениям, что важно для самых разных вычислений: это означает, что интегралы, перенормированные в формализме MS4, всегда можно алгоритмически привести к параметрическому представлению, хотя общий явный вид ответа (типа, как в обычном альфа-представлении с двумя полиномами Симанзика в канонической книжке) пока неизвестен. Но и особой нужды в нём нет, это вопрос только алгоритмического удобства, ведь в отличие от формализма БПХ здесь параметрическое представление никакой теоретической роли не играет и вводится исключительно для расчётных целей, после утрясания всех теоретических вопросов в импульсном представлении.
В-третьих, для формализма MS4 был найден прямой способ вывода уравнения Каллана-Симанзика. Это был пункт принципиальный, ведь обычно эти уравнения выводятся через посредство бесконечных констант перенормировки (пресловутые Z, не путать с Zavyalov и Zimmermann). Здесь же никаких таких бесконечных констант нет в принципе: в схеме MS4 не делается даже шага того типа, который приводит к формуле (41), все манипуляции проводятся без развала участвующих обобщённых функций на регуляризованную основную часть и бесконечные добавки, да и регуляризаций никаких в обычном смысле не вводится.
Полным сюрпризом (отражённым в названии статьи: "Finite Z-less ...") оказались явные конечные, совершенно небывалые формулы для ренормгрупповых функций -- коэффициентов уравнений ренормгруппы (Каллана-Симанзика). Эти формулы выражены через т.наз. B-операторы (B от beauty). Они представляют собой предельный мыслимый случай упрощения, обычно достигаемого посредством всяких R*-операций. Можно ожидать, что чисто вычислительная часть в задачах типа вычисления 5-петлевой бета-функции в КХД будет менее затратной по скорости и памяти буквально на порядки величины по сравнению со схемой MS. Наблюдатель достаточно много собак съел на таких расчётах, чтобы делать подобные предсказания. Хотя, конечно, в таком новом (novel) формализме время от времени выскакивают какие-то заморочки, заставляющие вздрагивать, но пока все они благополучно, и даже красиво разрешались.
Ещё пример. Часть материала этой работы вошла в диплом, который недавно упоминался. В дипломе, среди прочего, было полностью расписано и вычисление треугольной аномалии в формализме MS4 (4 страницы крупным шрифтом через 2 интервала). Рецензент в отзыве на диплом нашёл, что это "вычисление весьма примечательно", потому что оно "является проблемой для размерной регуляризации". Чтобы оценить эту констатацию, достаточно попытаться расписать это вычисление в размерной регуляризации так же явно, как это сделано в дипломе; соответствующий сценарий описан, например, тут.
----------------------------------------------------
Теперь про 30-летний разрыв непрерывности.
К концу 1988 года формализм был полностью построен и зафиксирован в публикабельных текстах.
Варианты, выложенные в arXiv, отличаются от версии 1988 г. только форматом: тогда было 6 статей в формате ТМФ, и набиты они были в ChiWriter'е; стоящий первым по алфавиту в списке авторов А.Н.Кузнецов, тоже изрядно помудохавшийся с этими текстами (и в плане общения с ТМФ, и в плане презентации на знаковой конференции (RG'91) в отсутствие Наблюдателя, и в плане конвертации в LaTeX, и в плане смены темы кандидатской), всё это подтвердит.
Upd 2020-12-22 Подтверждение пришло в комменте.
Чудовищное количество усилий и нервов, потраченных на попытки преодоления блокады, устроенной этим текстам (а также параллельным текстам, где все рассуждения были гораздо короче проведены с размерной регуляризацией) Завьяловым, мразью Смирновым (его фамилия в роли рецензента в ТМФ называлась явно), мразью Макаком (который порецензировал для Nuclear Physics B) и всем, кто принимал их сторону -- сторону "признанных экспертов".
Если бы публикация не была тупо, нагло и наглухо заблокирована Завьяловым и мразью Смирновым (который, как мы помним, был тогда прямо заинтересован в таком блокировании, потому что занимался переписыванием на себя основных результатов), то на волне эйфории этот результат был бы получен году в 90-м, и история многопетлевых вычислений (да и размерной регуляризации) пошла бы сильно по-другому.